কোয়ান্টাম ফেজ অনুমানের অ্যালগরিদমে "ফেজ কিকব্যাক" প্রক্রিয়া কেন কাজ করে?

কোয়ান্টাম ফুরিয়ার রূপান্তরকরণ এবং নীলসন এবং চুয়াং (10 তম বার্ষিকী সংস্করণ) এর প্রয়োগগুলি অধ্যায়টি সম্ভবত কয়েকবার পড়েছি এবং এটি এই বিষয়টিকে মর্যাদাবান বলে মনে হয়েছিল, কিন্তু আজ যখন আমি আবার এটি দেখলাম তখন তা হয় নি ' আমার কাছে মোটেই স্পষ্ট মনে হচ্ছে না!

ফেজ অনুমানের অ্যালগরিদমের সার্কিট ডায়াগ্রাম এখানে:

কুইটসযুক্ত প্রথম নিবন্ধটি সম্ভবত "নিয়ন্ত্রণ রেজিস্টার"। প্রথম রেজিস্ট্রারে যদি কোনও কুইবিট রাজ্যে থাকে তবে বর্ণিত সংশ্লিষ্ট নিয়ন্ত্রিত ইউনিটরি গেট দ্বিতীয় রেজিস্টারে প্রয়োগ হবে । যদি এটি একটি স্থানে থাকে তবে এটি দ্বিতীয় রেজিস্টারে প্রয়োগ হয় না । যদি এটি দুটি রাজ্যের এবং সাথে দ্বিতীয় রেজিস্টারে সংশ্লিষ্ট ইউনিটারির ক্রিয়াটি "লিনিয়ারিটি" দ্বারা নির্ধারণ করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন, সমস্ত গেটগুলি কেবল দ্বিতীয় রেজিস্টারে কাজ করছে এবং প্রথম রেজিস্টারে কোনও কিছুই নেই। প্রথম রেজিস্টারটি কেবল একটি নিয়ন্ত্রণ বলে মনে করা হচ্ছে । $t$ $|1\rangle$ $|0\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

তবে, তারা দেখায় যে প্রথম নিবন্ধকের চূড়ান্ত অবস্থা হিসাবে:

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

আমি কেন অবাক হয়েছি কেন আমরা কেন সেখানে হাদামারদ গেটগুলির ক্রিয়া করার পরে কোয়েটগুলির প্রথম নিবন্ধকের অবস্থার পরিবর্তন হিসাবে বিবেচনা করি? প্রথম নিবন্ধকের চূড়ান্ত অবস্থাটি সবেমাত্র হওয়া উচিত ছিল

{(\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})}^{\otimes t}

$\left(\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt 2}\right)^{\otimes t}$

তাই না? আমি এটি বলছি কারণ প্রথম রেজিস্টারটি কেবল একটি নিয়ন্ত্রণ হিসাবে অনুমিত হয়। নিয়ন্ত্রণ হিসাবে কাজ করার সময় প্রথম নিবন্ধকের অবস্থা কীভাবে বা কেন পরিবর্তন করা উচিত তা আমি বুঝতে পারি না।

আমি প্রথমে ভেবেছিলাম যে সূচকীয় কারণগুলি প্রথম নিবন্ধকারের কুইট রাজ্যের অংশ হিসাবে বিবেচনা করা কেবল একটি গাণিতিক সুবিধাই ছিল, তবে তার অর্থ তা লাভ করে নি। একটি কুইট বা রাজ্যগুলির একটি সিস্টেমের অবস্থা আমাদের গাণিতিকভাবে কী সুবিধাজনক তা নির্ভর করে না!

সুতরাং, কেউ দয়া করে ব্যাখ্যা করতে পারেন কেন দ্বিতীয় রেজিস্টারের জন্য কেবল "নিয়ন্ত্রণ" হিসাবে কাজ করা সত্ত্বেও কোয়েটগুলির প্রথম নিবন্ধকের অবস্থার পরিবর্তন কেন হয়? এটি কি কেবল একটি গাণিতিক সুবিধার বা আরও গভীর কিছু আছে?

— সঁচায়ণ দত্ত
সূত্র

কোনও উত্তর নয়, তবে: এটি 'গাণিতিক সুবিধার্থে' হওয়া মানে কী, যদি তা রাজ্যে কোনও আসল পরিবর্তনের প্রতিনিধিত্ব না করে? হয় গণিতগুলি কোয়ান্টামের রাজ্যগুলি কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা সঠিকভাবে বর্ণনা করে বা তা হয় না। যদি তা না হয় তবে আপনার একটি উদাহরণের চেয়ে বড় সমস্যা রয়েছে। আপনি যদি মনে করেন যে গণিতটি পদার্থবিজ্ঞানের সঠিকভাবে বর্ণনা করে, তবে গাণিতিক উপস্থাপনা কেবল সুবিধাজনক নয়: "নিয়ন্ত্রণ" তারের রাজ্যগুলি আসলে এই সাব্রোটিনে পরিবর্তিত হয়। এটি কেন বিভ্রান্ত হওয়া ঠিক আছে তবে প্রথমে আপনাকে মেনে নিতে হবে যে তারা পরিবর্তন করে।

— নিল দে বিউড্রাপ

গণিতগুলি ঠিক এই উত্তরটিতে ব্যাখ্যা করা হয়েছে: কোয়ান্টামকমপুটিং.স্ট্যাকেক্সেঞ্জিং.com / a / 1791 / 1837 তবে সেই পরিস্থিতিটি সহজ এবং সম্ভবত বুঝতে সহজ

— দ্যাফটুলি

@ নীলদেউদরপ ওয়েল, আমার প্রশ্নটি অবিকল "কেন" পরিবর্তিত হয়েছে

— সঁচায়ন দত্ত

পছন্দ করুন আসুন আমরা কেবল একটি নিয়ন্ত্রিত- গেটের একটি সাধারণ উদাহরণ গ্রহণ করি । নিয়ন্ত্রণ রেজিস্ট্রার যদি অবস্থায় থাকে তবে এটি দিতে সাথে প্রয়োগ হয় । কিন্তু, তারা বিবেচনা করছেন যে এর সূচকীয় ফ্যাক্টর প্রথম রেজিস্টার করো অর্থাত নিয়ন্ত্রণ qubit একটি গুণক হতে এবং দ্বিতীয় রেজিস্টার এর। আমার প্রশ্ন: কেন এমন?

U^{2^{0}}

$U^{2^0}$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

| u ⟩

$|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ) | u ⟩

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)|u\rangle$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

\exp (2 π i 2^{0} ϕ)

$\exp(2\pi i 2^0 \phi)$

— সঁচায়ন দত্ত

সিসি @ নীলদেবুদ্রাডপ ^

— দত্ত

উত্তর:

কল্পনা করুন আপনি একটি eigenvector আছে এর । আপনার যদি মতো একটি অবস্থা থাকে এবং আপনি এটিতে নিয়ন্ত্রিত- প্রয়োগ করেন , আপনি বেরিয়ে । পর্যায়টি একটি নির্দিষ্ট নিবন্ধের সাথে সংযুক্ত নয়, এটি কেবলমাত্র একটি সামগ্রিক গুণক গুণক। $|u\rangle$ $U$ $|1\rangle|u\rangle$ $U$ $e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

এখন প্রথম রেজিস্টারটিতে একটি সুপারপজিশন ব্যবহার করা যাক: আপনি এটিকে পুনরায় লিখতে পারেন যাতে এটি প্রথম রেজিস্টারে প্রদর্শিত হয়, যদিও এটি দ্বিতীয় রেজিস্টারে তৈরি করা হয়েছিল। (অবশ্যই এই ব্যাখ্যাটি পুরোপুরি সত্য নয় কারণ এটি দুটি কুইবিট গেট উভয় কুইবিটে অভিনয় করে তৈরি করা হয়েছিল)।

(| 0 ⟩ + | 1 ⟩) | u ⟩ \mapsto | 0 ⟩ | u ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩ | u ⟩

$(|0\rangle+|1\rangle)|u\rangle\mapsto |0\rangle|u\rangle+e^{i\phi}|1\rangle|u\rangle$

(| 0 ⟩ + e^{i ϕ} | 1 ⟩) | u ⟩

$(|0\rangle+e^{i\phi}|1\rangle)|u\rangle$

এই পদক্ষেপটি অনেকগুলি কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের কেন্দ্রস্থলে।

আমরা কেন লিখব না? এবং কেবল দাবি করুন যে এটি পৃথক নয়? $|\Psi\rangle=|0\rangle|u\rangle+|1\rangle(e^{i\phi}|u\rangle)$

কেউ কেবল এটি দাবি করতে পারে না, তবে এটি গাণিতিকভাবে প্রদর্শন করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা দ্বিতীয় কুইবিট, আংশিক ট্রেস নিতে পারি আংশিক ট্রেস নিতে, আমরা যোগফলের জন্য একটি ভিত্তি বাছাই করি। সরলতার জন্য, আসুন আমরা pick যেখানে এবং । তারপর আপনি পাবেন

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = {Tr}_{B} (| 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | + | 1 ⟩ ⟨ 0 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | + | 0 ⟩ ⟨ 1 | \otimes | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes e^{i ϕ} | u ⟩ ⟨ u | e^{- i ϕ})

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=\text{Tr}_B(|0\rangle\langle 0|\otimes |u\rangle\langle u|+|1\rangle\langle 0|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|+|0\rangle\langle 1|\otimes |u\rangle\langle u|e^{-i\phi}+|1\rangle\langle 1|\otimes e^{i\phi}|u\rangle\langle u|e^{-i\phi})$

{| u ⟩, | u^{⊥} ⟩}

$\{|u\rangle,|u^\perp\rangle\}$

⟨ u | u^{⊥} ⟩ = 0

$\langle u|u^\perp\rangle=0$

⟨ u | (e^{i ϕ} | u ⟩ = e^{i ϕ}

$\langle u|(e^{i\phi}|u\rangle=e^{i\phi}$

{Tr}_{B} (| Ψ ⟩ ⟨ Ψ |_{A B}) = | 0 ⟩ ⟨ 0 | + e^{i ϕ} | 1 ⟩ ⟨ 1 | + e^{- i ϕ} | 0 ⟩ ⟨ 1 | + | 1 ⟩ ⟨ 1 |

$\text{Tr}_B(|\Psi\rangle\langle\Psi|_{AB})=|0\rangle\langle 0|+e^{i\phi}|1\rangle\langle 1|+e^{-i\phi}|0\rangle\langle 1|+|1\rangle\langle 1|$ এটি র‌্যাঙ্ক 1 (এবং আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে প্রথম রেজিস্টারে পর্বটি হাজির হয়েছে), সুতরাং রাষ্ট্র জড়িয়ে পড়ে না। এটি পৃথকযোগ্য।

— DaftWullie
সূত্র

আমার মূল সমস্যাটি "পুনরায় লেখার" অংশ নিয়ে। গাণিতিকভাবে এটি কেবল একটি পুনঃব্যবস্থা হয় তবে শারীরিকভাবে পুনঃ-লেখার গভীর প্রভাব থাকতে পারে। বলুন, আমি কেন হিসাবে এটি লিখছি না এবং কেবল দাবি করুন যে এটি টেনসর পণ্যগুলিতে পৃথক নয় claim জড়িয়ে যাওয়ার কারণে? দ্বিতীয় রেজিস্টারে একটি ক্যুবিটের অবস্থার চেয়ে প্রথম রেজিস্টারে একটি ফ্যাক্টরটি কেন একটি কুইটের রাজ্যের অন্তর্ভুক্ত হওয়া উচিত?

| 0 ⟩ (| u ⟩) + | 1 ⟩ (e^{i ϕ} | u ⟩)

$|0\rangle(|u\rangle) + |1\rangle (e^{i\phi}|u\rangle)$

e^{i ϕ}

$e^{i\phi}$

— সঁচায়ণ দত্ত

আপনি কীভাবে "জড়িত" সংজ্ঞায়িত করেন? কোনও সংজ্ঞা দ্বারা, এটি জড়িত নয়। উদাহরণস্বরূপ আংশিক ট্রেস নেওয়ার চেষ্টা করুন। তদুপরি, আমি অনুমান করি যে বিভিন্ন উপাদানগুলিতে এই পর্বটি ধরে রাখার তুলনায় আপনার সম্পূর্ণরূপে কোনও অভিব্যক্তি থেকে বিশ্বব্যাপী পর্ব সরিয়ে নিয়ে কোনও সমস্যা নেই?

— ডাফটওয়ুলি

আমার সম্ভবত কিছু প্রাথমিক ধারণা রয়েছে। বলুন, আমার দুটি কুইবিট রয়েছে, যেখানে প্রথমটি (কুইবিট ) রাজ্যে এবং দ্বিতীয়টি (কুইবিট বি) রাজ্যে রয়েছে । তারপর যৌগিক রাষ্ট্র । এখন আমি সত্যিই এটি হিসাবে লিখিত হতে দেখেছি , তবে কেন এটি সম্ভব হবে তা আমি নিশ্চিত নই। এক্ষেত্রে কুইট এ এবং কুইট বিয়ের আসল শারীরিক অবস্থা কী ? এটি & নাকি এটি এবং

A

$A$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta }|0\rangle)_B$

(| 0 ⟩)_{A} \otimes (e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(|0\rangle)_A\otimes (e^{i\theta}|0\rangle)_B$

e^{i θ} (| 0 ⟩)_{A} \otimes (| 0 ⟩)_{B}

$e^{i\theta}(|0\rangle)_A\otimes (|0\rangle)_B$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{A}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_A$

| 0 ⟩_{B}

$|0\rangle_B$

(| 0 ⟩)_{A}

$(|0\rangle)_A$

(e^{i θ} | 0 ⟩)_{B}

$(e^{i\theta}|0\rangle)_B$ ?

— সঁচায়ন দত্ত

আমার ধারণা আমার মতো "গ্লোবাল ফেজ" সরিয়ে নিয়ে আমার কোনও সমস্যা আছে। আমি এর আগে কখনও ভাবিনি।

— সঁচায়ন দত্ত

শারীরিক কোনও পার্থক্য নেই। এটি এইভাবে চিন্তা করুন: আপনি দুটি পরীক্ষা করার জন্য কোন পরীক্ষা করবেন? যদি শারীরিক পার্থক্য থাকে তবে তাদের পার্থক্য করার একটি উপায় অবশ্যই রয়েছে।

— ডাফটওয়ুলি

প্রথম মন্তব্য

'নিয়ন্ত্রণ' পরিস্থিতি পরিবর্তনের এই একই ঘটনাটি কিছু পরিস্থিতিতে নিয়ন্ত্রিত-নট গেটগুলির সাথে ঘটে; প্রকৃতপক্ষে, এটি ইগেনভ্যালু অনুমানের সম্পূর্ণ ভিত্তি। সুতরাং কেবল এটিই সম্ভব নয়, এটি কোয়ান্টাম গণনা সম্পর্কে একটি গুরুত্বপূর্ণ ঘটনা এটিও সম্ভব। এটির একটি নামও রয়েছে: একটি "ফেজ কিক", যাতে নিয়ন্ত্রণ লক্ষ্য (বা আরও সাধারণভাবে একটি নিয়ন্ত্রণ রেজিস্টার) কিছু টার্গেট রেজিস্টারে কোনও ক্রিয়াকলাপের মাধ্যমে অভিনয়ের ফলে আপেক্ষিক পর্যায়গুলি গ্রহণ করে। $\def\ket#1{\lvert#1\rangle}$

যে কারণে এটি ঘটে

কেন এই মামলা করা উচিত? মূলত এটি অবতীর্ণ হয় যে স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিটি আসলে ততটা গুরুত্বপূর্ণ নয় যতটা আমরা কখনও কখনও এটি সত্তার হিসাবে বর্ণনা করি।

সংক্ষিপ্ত সংস্করণ. নিয়ন্ত্রণ কুইটগুলিতে কেবল স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিক রাজ্যগুলি প্রভাবিত হয় না। নিয়ন্ত্রণ qubit একটি রাষ্ট্র যা থাকে না একটি প্রমিত ভিত্তিতে রাষ্ট্র, এটা নীতিগতভাবে পরিবর্তন করা যাবে।

দীর্ঘ সংস্করণ -

ব্লচ গোলকটি বিবেচনা করুন। এটি শেষ অবধি, একটি গোলক - পুরোপুরি প্রতিসাম্যযুক্ত, কোনও বিন্দু অন্যর চেয়ে বেশি বিশেষ নয়, এবং কোনও অক্ষই অন্য কোনওটির চেয়ে বেশি বিশেষ নয়। বিশেষত, স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তি বিশেষভাবে বিশেষ নয়।

সিএনওটি অপারেশন নীতিগতভাবে একটি শারীরিক অপারেশন। এটি বর্ণনা করতে, আমরা প্রায়শই এটি ভেক্টরের উপস্থাপনাগুলি how ব্যবহার করে কীভাবে এটি স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিতে প্রভাবিত করে তার শর্তে এটি প্রকাশ করি - তবে এটি কেবল একটি উপস্থাপনা। এটি সিএনওটি রূপান্তরের একটি নির্দিষ্ট প্রতিনিধিত্বের দিকে পরিচালিত করে: th ম্যাথর্ম

| 00 ⟩ \to [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}]

$\ket{00} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}}$

C N O T \to [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] .

$\mathrm{CNOT} \to {\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}}\,.$ এবং সংক্ষিপ্ততা অনুরোধে জন্য আমরা বলবো যে, এসব কলাম ভেক্টর হয় দুই qubits উপর মান ভিত্তিতে রাজ্যের এবং এই ম্যাট্রিক্স যে হয় একটি CNOT ম্যাট্রিক্স।

আপনি কি কখনো একটি প্রাথমিক বিশ্ববিদ্যালয় গণিত বর্গ কি করেছিলেন, নাকি একটি পাঠ্যপুস্তক, যেখানে এটি একটি রৈখিক রূপান্তর এবং ম্যাট্রিক্স মধ্যে পার্থক্য জোর দেওয়া শুরু করে পড়া - যেখানে বলা হত, উদাহরণস্বরূপ, যে একটি ম্যাট্রিক্স পারে প্রতিনিধিত্ব একটি রৈখিক রূপান্তর, কিন্তু ছিল না রৈখিক রূপান্তর হিসাবে একই ? কোয়ান্টাম গণনাতে সিএনওটির সাথে পরিস্থিতি এই পার্থক্যটি কীভাবে অর্থবহ তা একটি উদাহরণ। সিএনওটি হ'ল শারীরিক ব্যবস্থার রূপান্তর , কলাম ভেক্টরগুলির নয়; মানক ভিত্তিক রাজ্যগুলি একটি শারীরিক ব্যবস্থার কেবল একটি ভিত্তি , যা আমরা প্রচলিতভাবে কলাম ভেক্টর দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করি । $\{0,1\}$

যদি এর পরিবর্তে e কলামের ভেক্টরগুলির দ্বারা - আমরা এক্স ইগেনবাসিস - একটি ভিন্ন ভিত্তিতে প্রতিনিধিত্ব করা চয়ন করি ? মনে করুন যে আমরা $\{0,1\}$

\begin{aligned} | + + ⟩ \to & [1 0 0 0]^{†}, \\ | + - ⟩ \to & [0 1 0 0]^{†}, \\ | - + ⟩ \to & [0 0 1 0]^{†}, \\ | - - ⟩ \to & [0 0 0 1]^{†} . \end{aligned}

$\begin{aligned} \ket{++} \to{}& [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{+-} \to{}& [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{-+} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 1 \;\; 0 \,]^\dagger\,, \\ \ket{--} \to{}& [\, 0 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 1 \,]^\dagger \,. \end{aligned}$ এটি গাণিতিকভাবে একটি সম্পূর্ণ বৈধ পছন্দ, এবং কারণ এটি কেবল একটি নীতিগত পছন্দ, এটি পদার্থবিজ্ঞানের উপর প্রভাব ফেলবে না - এটি কেবল সেইভাবে প্রভাবিত করে যা আমরা পদার্থবিজ্ঞানটি লিখব। এর সমতুল্য উপায়ে বিশ্লেষণ করা সাহিত্যে অস্বাভাবিক কিছু নয় (যদিও আমি এখানে এখানে করেছি বলে কলাম ভেক্টরদের জন্য স্পষ্টভাবে আলাদা কনভেনশন লিখতে বিরল)। আমাদের দ্বারা স্ট্যান্ডার্ড বেস ভেক্টরগুলি উপস্থাপন করতে হবে:

| 00 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}], | 01 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 10 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 1 \\ - 1 \end{matrix}], | 11 ⟩ \to \frac{1}{2} [\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}] .

$\ket{00} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{01} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{10} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}}\,, \quad \ket{11} \to \tfrac{1}{2}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}}\,.$ আবার, আমরা কেবল বাম দিকে অবস্থিত প্রতিনিধিত্ব করতে ডানদিকে কলাম ভেক্টর ব্যবহার করছি । তবে প্রতিনিধিত্বের এই পরিবর্তনটি কীভাবে আমরা সিএনটি গেটের প্রতিনিধিত্ব করতে চাই তা প্রভাবিত করবে।

একটি তীক্ষ্ণ চোখের পাঠক লক্ষ্য করতে পারেন যে আমি ঠিক উপরে উপরে যে ভেক্টরগুলি লিখেছি তা এর স্বাভাবিক ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনের কলামগুলি । এর একটি যুক্তিসঙ্গত কারণ রয়েছে: প্রতিনিধিত্বের এই পরিবর্তনের পরিমাণটি কীভাবে রেফারেন্স ফ্রেমের পরিবর্তন হয় যা দুটি কুইটের রাজ্যের বর্ণনা দিতে পারে। বর্ণনা করার জন্য , , এবং , আমরা প্রতিটি কুইটটির জন্য আমাদের রেফারেন্সের ফ্রেমটিকে একটি ঘূর্ণন দ্বারা পরিবর্তন করেছি যা হাদামার্ড অপারেটরের সাধারণ ম্যাট্রিক্স প্রতিনিধিত্বের সমান - কারণ একই অপারেটর এবং পর্যবেক্ষণগুলিতে আন্তঃসংযোগ করে , সংযোগ দিয়ে। $H \otimes H$ $\ket{++} = [\, 1 \;\; 0 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $\ket{+-} = [\, 0 \;\; 1 \;\; 0 \;\; 0 \,]^\dagger$ $X$ $Z$

এই একই ফ্রেমের রেফারেন্সটি কীভাবে আমরা সিএনওটি অপারেশনকে উপস্থাপন করি তার জন্য প্রযোজ্য, সুতরাং এই স্থানান্তরিত উপস্থাপনায়, আমরা হতে হবে 0 \ শেষ {bmatrix}} \ end {প্রান্তিককরণ} যা - কলামগুলি এখন eigenstates প্রতিনিধিত্ব করে মনে করে - সিএনওটি রূপান্তর সম্পাদন করে

\begin{aligned} C N O T \to \frac{1}{4} [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT} \to \tfrac{1}{4}{}\,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} \,\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\, \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} }\, = \,{\scriptstyle \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}} \end{aligned}$

X

$X$

\begin{aligned} C N O T | + + ⟩ & = | + + ⟩, \\ C N O T | + - ⟩ & = | - - ⟩, \\ C N O T | - + ⟩ & = | - + ⟩, \\ C N O T | - - ⟩ & = | + - ⟩ . \end{aligned}

$\begin{aligned} \mathrm{CNOT}\,\ket{++} &= \ket{++} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{+-} &= \ket{--}, \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{-+} &= \ket{-+} , \\ \mathrm{CNOT}\,\ket{--} &= \ket{+-} . \end{aligned}$ here এখানে লক্ষ্য করুন যে এটি শুধুমাত্র প্রথম, 'নিয়ন্ত্রণ' কোয়েট যার রাজ্য পরিবর্তন করে; লক্ষ্যটি অপরিবর্তিত রয়েছে।

এখন, আমি রেফারেন্স ফ্রেমে পরিবর্তনগুলি নিয়ে এই সমস্ত কথা না বলেই এই একই সত্যটি আরও অনেক দ্রুত প্রদর্শন করতে পারতাম। কম্পিউটার বিজ্ঞানের কোয়ান্টাম গণনার প্রাথমিক পাঠ্যক্রমগুলিতে 'রেফারেন্স ফ্রেম' শব্দের উল্লেখ না করেই অনুরূপ ঘটনা বর্ণিত হতে পারে। তবে আমি আপনাকে নিছক গণনার চেয়ে আরও বেশি কিছু দিতে চেয়েছিলাম। আমি এই বিষয়ে দৃষ্টি আকর্ষণ করতে চেয়েছিলাম যে সিএনওটি নীতিগতভাবে কেবল একটি ম্যাট্রিক্স নয়; যে স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তি একটি বিশেষ ভিত্তি নয়; এবং যখন আপনি এই জিনিসগুলি সরিয়ে ফেলেন, তখন এটি স্পষ্ট হয়ে যায় যে সিএনওটি দ্বারা উপলব্ধ অপারেশনটি স্পষ্টতই নিয়ন্ত্রণ কোয়েটের অবস্থাকে প্রভাবিত করার সম্ভাবনা রাখে, এমনকি সিএনওটি যদি আপনি নিজের কুইটগুলির সাথে করছেন তবেই।

একটি 'নিয়ন্ত্রণ' কোয়েট রয়েছে এমন ধারণাটিই আদর্শ ভিত্তিতে কেন্দ্রিক এবং কোয়েটগুলির অবস্থা সম্পর্কে আমাদের পক্ষপাতিত্বকে একতরফা বলে মনে করার আমন্ত্রণ জানায় qu তবে পদার্থবিদ হিসাবে আপনার একতরফা অপারেশন সম্পর্কে গভীর সন্দেহ হওয়া উচিত। প্রতিটি কর্মের জন্য একটি সমান এবং বিপরীত প্রতিক্রিয়া থাকে ; এবং এখানে স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিতে সিএনওটির আপাত একতরফাতা এড়িয়ে গেছে যে এক্স ইগেনবাসিস রাজ্যের ক্ষেত্রে এটি 'লক্ষ্য' যা একতরফাভাবে 'নিয়ন্ত্রণের' রাষ্ট্রের সম্ভাব্য পরিবর্তনকে নির্ধারণ করে।

আপনি আশ্চর্য হয়েছিলেন যে খেলতে এমন কিছু আছে যা কেবল একটি গাণিতিক সুবিধাযুক্ত ছিল, তাতে স্বরলিপি বাছাইয়ের বিষয়টি জড়িত। প্রকৃতপক্ষে, এখানে রয়েছে: আমরা আমাদের রাজ্যগুলিকে স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিতে জোর দিয়ে লিখি, যা আপনাকে কেবল স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তির ভিত্তিতে অপারেশনটির একটি অ-গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টি বিকাশ করতে পারে । তবে উপস্থাপনাটি পরিবর্তন করুন এবং এটি অ-গাণিতিক অন্তর্দৃষ্টি চলে যায়।

এক্স-ইগেনবাসীস রাজ্যে সিএনওটি-র প্রভাবের জন্য আমি একই জিনিসটি কীভাবে স্কেচ করেছি, সেটিও সিএনওটির চেয়ে আলাদা রূপান্তর নিয়ে, পর্যায় অনুমানের মধ্যে চলছে। 'টার্গেট' কুইজেটে সঞ্চিত 'ফেজ'টিকে' নিয়ন্ত্রণ 'কোয়েট পর্যন্ত লাথি দেওয়া হয়, কারণ লক্ষ্যটি একটি ক্রিয়াকলাপের আইজেনস্টেটে থাকে যা প্রথম কোবিট দ্বারা সুসংগতভাবে নিয়ন্ত্রিত হয়। কোয়ান্টাম গণনার কম্পিউটার বিজ্ঞানের দিকে, এটি ক্ষেত্রের মধ্যে অন্যতম উদযাপিত ঘটনা। এটি আমাদের এই সত্যটির মুখোমুখি হতে জোর করে যে স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তিটি কেবলমাত্র বিশেষ যে এটি আমাদের ডেটাগুলির সাথে বর্ণনা করতে পছন্দ করে - তবে পদার্থবিজ্ঞান নিজে কীভাবে আচরণ করে তা নয়।

— নিল ডি বৌদ্রাপ
সূত্র

-1

দুর্দান্ত প্রশ্ন।
আমি একবার এটিও জিজ্ঞাসা করেছি, তবে এটি কেবল গাণিতিক সুবিধার বিষয় নয়।
নিয়ন্ত্রিত-ইউ একটি "জড়িয়ে পড়া" গেট।
একবার জড়িয়ে পড়ার পরে, আপনি রাষ্ট্রটিকে "প্রথম নিবন্ধক" এবং "দ্বিতীয় রেজিস্টারে" আলাদা করতে পারবেন না।
কেবলমাত্র এই নিবন্ধগুলি শুরুতে আলাদাভাবে ভাবুন বা যখন কোনও জড়িয়ে পড়বেন না। বিভ্রান্তির পরে, আপনার সেরা বাজি হ'ল গণিতে (ম্যাট্রিক্স গুণ) পুরোপুরি কাজ করা এবং আপনি নিলসেন এবং চুয়াং দ্বারা প্রদত্ত রাষ্ট্রটি পেয়ে যাবেন।

প্রশ্নটি উঁচু করে তোলার চেষ্টা করছে তবে 15 খ্যাতি না পাওয়া পর্যন্ত অপেক্ষা করা দরকার।

আমি কোনও জট দেখতে পাচ্ছি না। আউটপুট দুটি নিবন্ধের মধ্যে পৃথকযোগ্য বলে মনে হচ্ছে। প্রথম নিবন্ধকের রাষ্ট্র যেখানে দ্বিতীয় নিবন্ধকের রাষ্ট্র।

\frac{1}{2^{t / 2}} (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 1} φ) | 1 ⟩) (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{t - 2} φ) | 1 ⟩) . . . (| 0 ⟩ + exp (2 π i 2^{0} φ) | 1 ⟩)

$\frac{1}{2^{t/2}}\left(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-1}\varphi)|1\rangle)(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{t-2}\varphi)|1\rangle)...(|0\rangle+\text{exp}(2\pi i 2^{0}\varphi)|1\rangle\right)$

| u ⟩

$|u\rangle$

— সঁচায়ন দত্ত

@ ব্লু আমি এটিকে পুরো উত্তর হিসাবে লিখি না কারণ আমি নিজেই মনে মনে ধারণাটি অভ্যন্তরীণ করতে অসুবিধে করি, যাইহোক এটি "ফেজ কিক-ব্যাক" ঘটনার কারণে এবং এটি আসলে নিয়ন্ত্রণের সত্যতার কারণেও এবং লক্ষ্য কিছুটা জড়িয়ে আছে। মোছার পিএইচডি থিসিসের ২.২ বিভাগে চেষ্টা করুন এবং পড়ুন, এটি আমি এখনও অবধি খুঁজে পেলাম explanation

— এফএসিক

@ এফ.সিসিলিয়ানো ঠিক আছে, আপনাকে ধন্যবাদ আমি এটি একটি পঠন করব

— সানচায়ান দত্ত