কোয়ান্টাম রাজ্যগুলি ইউনিট ভেক্টর… কোন রীতি অনুসারে?

Question

আমি যে কোয়ান্টাম রাষ্ট্রের সর্বাধিক সাধারণ সংজ্ঞা পেয়েছি তা হ'ল ( উইকিপিডিয়া থেকে সংজ্ঞাটি পুনরায় প্রকাশ করা )

কোয়ান্টাম রাজ্যগুলিকে জটিল সংখ্যার উপরে সীমাবদ্ধ বা সীমাহীন-মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে একটি রশ্মি দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়।

তদুপরি, আমরা জানি যে দরকারী উপস্থাপনের জন্য আমাদের নিশ্চিত করতে হবে যে কোয়ান্টাম রাজ্যের প্রতিনিধিত্বকারী ভেক্টর একটি ইউনিট ভেক্টর ।

তবে উপরের সংজ্ঞাটিতে, তারা বিবেচিত হিলবার্ট জায়গার সাথে সম্পর্কিত আদর্শ (বা স্কেলার পণ্য) সুনির্দিষ্ট করে না। প্রথম নজরে আমি যদিও আদর্শটি খুব গুরুত্বপূর্ণ ছিল না তবে আমি গতকাল বুঝতে পেরেছিলাম যে আদর্শটি সর্বত্রই ইউক্যালিডিয়ান আদর্শ (২-আদর্শ) হিসাবে বেছে নেওয়া হয়েছিল । এমনকি ব্রা-কেট স্বরলিপিটি ইউক্যালিডিয়ান আদর্শের জন্য বিশেষভাবে তৈরি বলে মনে হয়।

আমার প্রশ্ন: ইউক্লিডিয়ান রীতিটি কেন সর্বত্র ব্যবহৃত হয়? অন্য আদর্শ ব্যবহার করছেন না কেন? ইউক্যালিডিয়ান রীতিতে কি এমন দরকারী বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা কোয়ান্টাম মেকানিকগুলিতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা অন্যেরা করে না?

Comments

আসলে আমি কেবল একটি মন্তব্য যুক্ত করতে চেয়েছিলাম তবে এর জন্য আমার সুনাম নেই: নোট করুন, আপনি আপনার প্রশ্নে যেমন লিখেছেন - কোয়ান্টাম রাজ্যগুলি হিলবার্ট স্পেসের রশ্মি। এর অর্থ হ'ল এগুলি স্বাভাবিক করা হয়নি, বরং হিলবার্ট স্পেসের সমস্ত ভেক্টর যে একই দিক নির্দেশ করেছে এটি সমান। সাধারণীকৃত রাজ্যগুলির সাথে কাজ করা আরও সুবিধাজনক তবে পদার্থবিজ্ঞানগুলি একে অপরের সাথে রাজ্যের ওভারল্যাপে লুকিয়ে রয়েছে। এই কারণেই কোনও রাষ্ট্রের সংজ্ঞায় কোনও আদর্শ নেই।

— ওমরি হার-শেমশ

Answer 1

জন্মানোর নিয়মে বলা হয়েছে যে যা রাজ্যে কোয়ান্টাম সিস্টেম সন্ধান করার সম্ভাবনা একটি পরিমাপের পরে । আমাদের সকল এর সমষ্টি (বা অবিচ্ছেদ্য!) 1 হতে হবে:| এক্স ⟩ $|\psi(x)|^2 = P(x)$$|x\rangle$$x$

$$\begin{align} \sum_x P_x &= \sum_x |\psi_x|^2 = 1,\\ \int P(x)dx &= \int |\psi(x)|^2 dx= 1. \end{align}$$

এগুলির কোনওটিই বৈধ নিয়ম নয় কারণ এগুলি সমজাতীয় নয় । আপনি কেবল স্কোয়ার রুট করে এগুলিকে একজাত করতে পারেন:

$$\begin{align} \sqrt{\sum_x |\psi_x|^2} = 1,\\ \sqrt{\int |\psi(x)|^2dx} = 1. \end{align}$$

এবং আপনি এটিকে ইউক্যালিডিয়ান রীতি হিসাবে এবং ইউক্যালিডিয়ান আদর্শকে একটি অ-বিযুক্ত ডোমেনে সাধারণীকরণ হিসাবে স্বীকৃতি দিতে পারেন। আমরা একটি ভিন্ন আদর্শ ব্যবহার করতে পারি:

$$\begin{align} \sqrt{\sum_x \psi_x A \psi_x^*} = 1,\\ \sqrt{\int \psi(x)A\psi^*(x)} = 1, \end{align}$$

কিছু ইতিবাচক নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স / ফাংশন এ জন্য।

---

তবে একটিসঙ্গে -normকারণ উদাহরণস্বরূপ উপযোগী করে হবে না:p > $p$$p>2$

$$\begin{align} \sqrt[5]{\sum_x |\psi_x|^5} \\ \end{align}$$

1 হতে হবে না।

এইভাবে ইউক্লিডিয়ান রীতিটি বিশেষ কারণ কারণ 2 বোর্নের শাসনে শক্তি, যা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি পোস্টুলেটস।

Comments

এই উত্তরটি @ দাফটওয়ুলির একটিতে আমার মন্তব্যের সাথে সম্পর্কিত । সুতরাং ইউক্যালিডিয়ান রীতিটি ব্যবহৃত হয় কারণ পরিমাপের সারণি আমাদেরকে বলে যে এটি কেবলমাত্র নাম্মটি বৈধ? $p$

— নীলিমি

এটি একমাত্র পি-আদর্শ যা অর্থপূর্ণ। আমরা সম্ভাবনার যোগফল 1 হতে চাই (যা গণিতের আইন) এবং সম্ভাবনাগুলি ওয়েভফংশনের বর্গ দ্বারা নির্ধারিত হয় (যা বোর্নের নিয়ম নামে কোয়ান্টাম মেকানিকগুলির একটি পোস্টুলেট)।

— ব্যবহারকারী 1271772

@ নীলিমে: চ্যাটে আপনার বার্তার জন্য ধন্যবাদ। আমি উত্তর দিতে পারছি না কারণ আমাকে আরও 2 দিনের জন্য চ্যাট করতে নিষিদ্ধ করা হয়েছে। প্রথম উত্তরের কারণটি ছিল কারণ আমি আপনার প্রশ্নগুলি "ইউক্যালিডিয়ান রীতিটি কেন সর্বত্র ব্যবহৃত হয়? কেন অন্য আদর্শ ব্যবহার করা হচ্ছে না?" এবং তাত্ক্ষণিকভাবে এমন একটি ক্ষেত্রে বিবেচনা করা হয়েছে যেখানে বৈধ আদর্শ ইউক্যালিডীয় আদর্শ নয় বরং একটি ভিন্ন 2-আদর্শ, যা ভেরিয়েবলের অ-পৃথক সংখ্যার 2-আদর্শ। আমি ভেবেছিলাম যে ইউক্লিডিয়ান আদর্শটি একমাত্র বৈধ নিয়ম নয়, এবং ইউক্লিডিয়ান নিয়মটি কেন ব্যবহৃত হয় তা বোঝাতে এটি যথেষ্ট was তবে যখন আমি খেয়াল করেছিলাম ড্যাফটুলি উপগ্রহটি পেয়েছে এবং আমি তা করি নি, আমি

— ব্যবহারকারী 1271772

সুতরাং আপনার উত্তর "জন্মের শাসনের কারণে"? এটি কি এই প্রশ্নটিকে "কেন বার্নের শাসন 2 এর শক্তি ব্যবহার করে?" - এ প্রশ্ন সরিয়ে দেয় না?

— দফটউইলি

"প্রথমে কী এসেছিল, মুরগি নাকি ডিম?" বলে মনে হচ্ছে? কেস।

— ব্যবহারকারী 1271772

Answer 2

কিছু পরিভাষা এখানে কিছুটা ঝাঁপিয়ে পড়েছে বলে মনে হচ্ছে। কোয়ান্টাম রাজ্যগুলি দৈর্ঘ্য 1 এর জটিল ভেক্টর দ্বারা (সীমাবদ্ধ মাত্রিক হিলবার্ট স্থানের মধ্যে) প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যেখানে দৈর্ঘ্য ইউক্যালিডিয়ান আদর্শ দ্বারা পরিমাপ করা হয়। এগুলি একক নয়, কারণ এককটি ম্যাট্রিক্সের শ্রেণিবিন্যাস, ভেক্টর নয়।

কোয়ান্টামের রাজ্যগুলি কিছু ম্যাট্রিক্স অনুসারে পরিবর্তিত / বিকশিত হয়। কোয়ান্টাম রাজ্যের দৈর্ঘ্য 1 রয়েছে তা প্রদত্ত, এটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত প্রমাণিত হয়েছে যে খাঁটি রাষ্ট্রগুলিতে খাঁটি রাষ্ট্রগুলির মানচিত্র একক ম্যাট্রিক দ্বারা বর্ণিত হয়। এগুলিই একমাত্র ম্যাট্রিক যা (ইউক্লিডিয়ান) নিয়ম সংরক্ষণ করে।

এটি অবশ্যই একটি বৈধ প্রশ্ন "" আমরা কি আমাদের কোয়ান্টাম রাজ্যের জন্য আলাদা ( ) আদর্শ ব্যবহার করতে পারি ? " আপনি যদি সেই ক্রিয়াকলাপগুলিকে শ্রেণীবদ্ধ করেন যা মানচিত্রকে রাজ্যগুলিতে সাধারণীকরণের স্থিতিতে মানচিত্রযুক্ত করে তোলে, তারা অবিশ্বাস্যভাবে সীমাবদ্ধ। যদি , একমাত্র বৈধ ক্রিয়াকলাপ হ'ল ক্রমান্বয়ে ম্যাট্রিক (প্রতিটি উপাদানটিতে বিভিন্ন ধাপ সহ)। পদার্থবিজ্ঞান পুরো অনেক বেশি বিরক্তিকর হবে।পি ≠ $p$$p\neq 2$

এর জন্য অনুভূতি পাওয়ার একটি ভাল উপায় হ'ল অক্ষের 2D সেট আঁকার চেষ্টা করা। এটিতে বিভিন্ন নরমসের অধীনে দৈর্ঘ্য 1 এর পয়েন্টগুলির সেটের সাথে আকারগুলি আঁকুন । আপনাকে বৃত্ত দেয়, আপনাকে একটি হীরা দেয় এবং gives একটি বর্গ দেয়। আপনি নিজে থেকেই সেই মানচিত্রটি কীভাবে পরিচালনা করতে পারেন? বৃত্তের জন্য, এটি কোনও ঘোরাঘুরি। অন্য যে কোনও কিছুর জন্য, এটি কেবলমাত্র multip গুণক দ্বারা আবর্তিত । নিম্নলিখিত উইকিপিডিয়া থেকে আসে:পি = 2 পি = 1 পি → ∞ π /$p$$p=2$$p=1$$p\rightarrow\infty$$\pi/2$

আপনি যদি আরও বিশদ চান তবে আপনি এখানে দেখতে চাইবেন ।

Comments

পরিভাষা নির্ভুলতার জন্য ধন্যবাদ! আপনি ঠিক বলেছেন, আমি শর্তাদি অপব্যবহার করেছি।

— নীলিমি

তবে প্রশ্নটি যতক্ষণ না আপনি "ইউনিট "টিকে" ইউনিট ভেক্টর "দ্বারা প্রতিস্থাপন করেন ততক্ষণ

— ব্যবহারকারী 1271772

তবে আমরা কেন ইউক্যালিডিয়ান আদর্শ ব্যবহার করি এই উত্তরটি উত্তর দেয় না। আমি বুঝতে পেরেছিলাম যে অন্যান্য নিয়মগুলি সুবিধাজনক নয়, তবে পদার্থবিজ্ঞানের আইনগুলির মধ্যে "সুবিধাজনক" কী এবং কী নয়, তার সত্যই আমাদের নিয়ন্ত্রণ নেই?

— নীলিমি

@ নীলিমে এটি অসুবিধাগুলি নয় এটি যদি আপনি 2-আদর্শ ব্যবহার না করেন তবে প্রচুর ক্রিয়াকলাপের অস্তিত্ব নেই। যেমন না স্কোয়ার-রুট হিসাবে অপারেশন, যা আমরা বাইরে যেতে পারি, একটি পরীক্ষা করতে পারি এবং পর্যবেক্ষণ করতে পারি and সুতরাং এটি 2-আদর্শ ব্যতীত সমস্ত কিছু বাদ দেয় না

— ড্যাফটওয়ুলি

সমস্ত পদার্থবিজ্ঞানের মতো! সমস্ত তত্ত্বগুলি হ'ল, তাত্ত্বিকতা যা উপলব্ধ ডেটার সাথে সবচেয়ে ভাল ফিট করে।

— দফটওয়ুলি

Answer 3

$\mathbb{R}^n$$L^p$$p=2$

Comments

আমি আপনার উত্তরটিকে উচ্চতর করে দিয়েছি (যা QCSE- এর প্রথম প্রথম উত্তর!) তবে এটি কি 2-আদর্শ হতে হবে? আপনি বলছেন যে 1-আদর্শ এবং 3-আদর্শটি অবৈধ, তবে আমার উত্তরের আদর্শটি কী, যা 2-আদর্শের বর্গ?

— ব্যবহারকারী 1271772

@ ব্যবহারকারী 1271772 ধন্যবাদ! যদি আমি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে আপনি যে ফাংশনটির পরামর্শ দিচ্ছেন এটি একটি ভেক্টর আদর্শও নয় কারণ এটি সমজাতীয় নয়।

— ফেডেরিকো পোলোনি

$L^2$$L^p$$A$$\|x\|_A:=\sqrt{x^*Ax}$

এটি সাথে ইতিবাচক একজাত , কেন এটি সাথে থাকতে পারে ? $k=2$$k=1$

— ব্যবহারকারী 1271772

সংজ্ঞাতে @ ব্যবহারকারী 1271772 প্রয়োজন। ভেক্টর রীতিগুলির অন্যতম একটি হ'ল 2. p (av) = | a | পি (ভি) (একেবারে একজাতীয় বা একেবারে স্কেলযোগ্য) (একটি দ্রুত রেফারেন্সের জন্য চেক করুন, আমি উপরে উল্লিখিত উইকিপিডিয়া পৃষ্ঠাটি)। অবশ্যই, এটি কেবল একটি টোটোলজিকাল যুক্তি "কারণ এটি সেভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে", এবং আমি বুঝতে পারি যে একজন পদার্থবিদ আরও শারীরিক কারণ চাইতে পারেন। $k=1$

— ফেডেরিকো পোলোনি

Answer 4

ভেক্টর দ্বারা বর্ণিত কোন তত্ত্বগুলি আমরা তৈরি করতে পারি তা জিজ্ঞাসা করে একটি মার্জিত যুক্তি উত্পন্ন করা যেতে পারে , যেখানে অনুমোদিত রূপান্তরগুলি লিনিয়ার মানচিত্র maps , সম্ভাবনাগুলি কিছু আদর্শ দ্বারা প্রদত্ত, এবং সম্ভাবনাগুলি অবশ্যই সেই মানচিত্রগুলি দ্বারা সংরক্ষণ করা উচিত।$\vec v = (v_1,\dots,v_N)$$\vec v\to L\vec v$

দেখা যাচ্ছে যে মূলত কেবল তিনটি বিকল্প রয়েছে:

1. নির্ধারিত তত্ত্বসমূহ। তারপরে আমাদের সেই ভেক্টরগুলির দরকার নেই, যেহেতু আমরা সবসময় একটি নির্দিষ্ট অবস্থায় থাকি, অর্থাৎ ভেক্টরগুলি এবং এর মতো থাকে এবং এর কেবল অনুমান হয়।$(0,1,0,0,0)$$L$

2. ধ্রুপদী সম্ভাব্য তত্ত্ব। এখানে, আমরা সাধারণ এবং স্টোকাস্টিক মানচিত্র ব্যবহার করি । সম্ভাব্যতা হয়।$1$$v_i$

3. কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান. এখানে, আমরা সাধারণ এবং একক রূপান্তরকরণ ব্যবহার করি । amplitudes হয়।$2$$v_i$

এগুলিই একমাত্র সম্ভাবনা। অন্যান্য নিয়মের জন্য কোনও আকর্ষণীয় রূপান্তর বিদ্যমান নেই।

আপনি যদি এর আরও বিশদ এবং সুন্দর ব্যাখ্যা চান তবে স্কট অ্যারনসনের "কোয়ান্টাম কম্পিউটিং উইথ ডেমোক্রিটাস" এর একটি বক্তৃতা রয়েছে , পাশাপাশি একটি কাগজও রয়েছে ।

Answer 5

অন্যান্য উত্তরগুলি কেন স্পেস ব্যবহার করতে হবে সে ক্ষেত্রে সম্বোধন করেছে , তবে ওজন নয়।$p=2$$L^p$

আপনি একটি পজিটিভ সুনির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স পারেন যাতে অভ্যন্তরীণ পণ্যটি। । কিন্তু এটি আপনার বেশি লাভ করে না। এটি কারণ আপনি ভেরিয়েবলগুলিও পরিবর্তন করতে পারেন। স্বাচ্ছন্দ্যের জন্য, তির্যক হলে কেসটি বিবেচনা করুন । তির্যক ক্ষেত্রে যা কে পরিবর্তে সম্ভাব্যতা হিসাবে ব্যাখ্যা করবে । সুতরাং কেন কেবল ভেরিয়েবলগুলি । আপনি এই যেমন মনে করতে পারেন এর স্থান ফাংশন যেখানে প্রতিটি বিন্দু দ্বারা পরিমেয় হয় পয়েন্ট ।$M_{ij}$$\sum x_i^* M_{ij} y_j$$M$$M_{ii} \mid x_i \mid^2$$\mid x_i \mid^2$$M_{ii}>0$$\tilde{x}_i = \sqrt{M_{ii}} x_i$$L^2$$n$$M_{ii}$

অবিচ্ছিন্ন 1 পরিবর্তনশীল ক্ষেত্রে, হ্যাঁ আপনি ব্যবহার করতে পারেন । ডাব্লু কেবল দৈর্ঘ্যের পুনর্বিবেচনা করে। এটি এখনও পুরোপুরি ভাল হিলবার্ট স্থান। তবে সমস্যাটি হ'ল অনুবাদ a এর প্রতিসাম্য এবং ভাঙার কথা ছিল। সুতরাং পাশাপাশি ব্যবহার নাও করতে পারে । কিছু উদ্দেশ্যে, সেই প্রতিসাম্য উপস্থিত নেই, তাই আপনার কাছে ।$L^2 (\mathbb{R} , w(x) dx)$$w(x)$$x \to x+a$$w(x)$$w(x)$$w(x) \neq 1$

কিছু ক্ষেত্রে এটি স্ট্যান্ডার্ড ফর্মে না যাওয়ার জন্য দরকারী। আপনি কিছু গণনা কীভাবে করেন তা চারপাশে বদলে যায়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি কিছু সংখ্যক কাজ করে থাকেন তবে আপনার মেশিনটি যে সমস্যাটিকে কঠিন বলে মনে হচ্ছে তা এড়ানোর জন্য আপনি এই ধরণের রদবদল করে আপনার ত্রুটিগুলি হ্রাস করতে পারেন।

একটি জটিল জিনিস হ'ল আপনি আপনার ভেরিয়েবলগুলি কখন পরিবর্তন করেছেন এবং কখন করেন নি সে সম্পর্কে নজর রাখা উচিত। আপনি কিছু অভ্যন্তরীণ স্ট্যান্ডার্ড অভ্যন্তরীণ পণ্য পরিবর্তনের এবং ভেরিয়েবলগুলি পরিবর্তন করে বনাম এক ধাপে চেষ্টা করার মধ্যে বিভ্রান্ত হতে চান না। আপনি ভুল করে ইত্যাদির কারণগুলি ফেলে দিতে পারেন, তাই সাবধান হন।$\sqrt{M_{ii}}$

Answer 6

একটি অন ইউক্লিডিয় আদর্শ -dimensional স্থান, হিসাবে সংজ্ঞায়িত এখানে হয় না শুধুমাত্র কোয়ান্টাম রাজ্যের জন্য ব্যবহৃত আদর্শ।$n$

কোয়ান্টাম রাষ্ট্রটিকে একটি n- মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসে সংজ্ঞায়িত করতে হবে না, উদাহরণস্বরূপ কোয়ান্টাম স্টেটস 1 ডি হার্মোনিক অসিলেটর ফাংশনগুলি যার অর্থো-স্বাভাবিকতা দ্বারা সংজ্ঞায়িত:$\psi_i(x)$

$$\int \psi_i(x)\psi_j^*(x)dx.$$

যদি আমরা পাই:$i=j$

$$\int |\psi(x)|^2dx = \int P(x)dx = 1,$$

কারণ মোট সম্ভাব্যতা 1. হওয়া আবশ্যক
যদি , আমরা 0 পেতে, যার মানে হল ফাংশন লম্ব হয়।$i\ne j$

ইউক্লিডিয়ান নীতিমালা, আমি যে লিঙ্কটি দিয়েছি তাতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, বিচ্ছিন্ন ভেরিয়েবলের কোয়ান্টাম রাজ্যের ক্ষেত্রে আরও বেশি যেখানে কিছু গণনাযোগ্য সংখ্যা। উপরে ক্ষেত্রে, (যা সম্ভাব্য মান সংখ্যা যে হতে পারে) অগণ্য, তাই আদর্শ একটি অন একটি ইউক্লিডিয় আদর্শ জন্য দেওয়া সংজ্ঞা মধ্যে মাপসই করা না -dimensional গতি।এন এক্স $n$$n$$x$$n$

আমরা উপরের রীতিতে স্কোয়ার রুট অপারেটরটি প্রয়োগ করতে পারি এবং তারপরেও আমাদের প্রয়োজনীয় সম্পত্তি থাকতে হবে যা , এবং ইউক্লিডিয়ান রীতিটি তখন এই আদর্শের একটি বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে , কেবলমাত্র কয়েকটি গণনাযোগ্য মানের থেকে বেছে নেওয়া যেতে পারে। কোয়ান্টাম মেকানিক্সে আমরা উপরের আদর্শটি ব্যবহার করার কারণ হ'ল কারণ এটি গ্যারান্টি দেয় যে সম্ভাবনা ফাংশন 1 এর সাথে সংহত করে, যা সম্ভাবনার সংজ্ঞা অনুসারে একটি গাণিতিক আইন । আপনার যদি অন্য কোনও আদর্শ থাকে যা গ্যারান্টি দিতে পারে যে সম্ভাবনা তত্ত্বের সমস্ত আইন সন্তুষ্ট, আপনিও সেই আদর্শটি ব্যবহার করতে সক্ষম হবেন।x এর পি ( এক্স $\int P(x)dx=1$$x$$P(x)$

Comments

@ নীলিমি: আমি আপনার চ্যাট বার্তায় আমি উত্তর দিতে পারি না "আমি আপনার উত্তরটির বিন্দু 0 টি ভোট দিয়ে পাইনি" কারণ আমাকে আরও 2 দিন চ্যাট করতে নিষিদ্ধ করা হয়েছে, তবে আপনি এই উত্তরের কোন অংশটি পান না?

— ব্যবহারকারী 1271772

@ নীলিমে? আমি এখন -১ এ আছি তাই কোন অংশটি অস্পষ্ট ছিল তা জেনে প্রশংসা করব

— ব্যবহারকারী 1271772

আপনি যা লিখছেন তা হ'ল অনন্ত মাত্রায় ইউক্যালিডিয়ান আদর্শ। আপনার বিবৃতি "একটি সংজ্ঞা হিসাবে একটি এন-মাত্রিক স্থানের ইউক্লিডিয়ান আদর্শ, কোয়ান্টাম রাজ্যের জন্য ব্যবহৃত একমাত্র আদর্শ নয়" " ভুল হওয়ার মাত্রায় বিভ্রান্তিকর।

— নরবার্ট শুচ

@Norbert। (1) এটি ইউক্যালিডিয়ান আদর্শের স্ক্যওয়ার। (২) এখানে এটি অ্যাকাউন্টে অসীম। এটি এখন পর্যন্ত অগণিত এন এর জন্য n- মাত্রিক নয়।

— ব্যবহারকারী 1271772

$1$$1$$L^2(\mathbb R^n)$