জড়িত কুবিটসে সিএনওটি গেট OT

Question

আমি << (এন বার) দিয়ে শুরু করে কোয়ান্টাম কম্পিউটিং ব্যবহার করে রাজ্যগুলির জন্য গ্রিনবার্গার-হরনে-জিলিংগার (জিএইচজেড) রাষ্ট্র জেনারেট করার চেষ্টা করছিলাম was$N$$|000...000\rangle$

প্রস্তাবিত সমাধানটি হাদামার্ড ট্রান্সফর্মেশনটি প্রথম কুইবিটে প্রয়োগ করা এবং তারপরে অন্য সকলের প্রথম কুইবিট দিয়ে সিএনওটি গেটের একটি লুপ শুরু করা।

আমি বুঝতে আমি CNOT (সম্পাদন করতে পারবেন পারছি না ) যদি একটি বিজড়িত যুগল একটি অংশ, বেল রাষ্ট্র মত যা Hadamard রূপান্তর পর এখানে ধরনের।$q_1,q_2$$q_1$$B_0$

আমি জানি যে এর জন্য কোডটি কীভাবে লিখতে হয়, তবে বীজগণিতভাবে কেন এই পদ্ধতিটি সঠিক এবং এটি কীভাবে হয়? ধন্যবাদ।

Answer 1

আমি বুঝতে আমি CNOT (সম্পাদন করতে পারবেন পারছি না ) যদি একটি বিজড়িত যুগল একটি অংশ, বেল রাষ্ট্র মত যা Hadamard রূপান্তর পর এখানে ধরনের।$q_1,q_2$$q_1$$B_0$

মূলটি হ'ল গণনাভিত্তিক রাজ্যগুলির সাথে কী ঘটে তা লক্ষ্য করা যায় (বা, এই বিষয়টির জন্য, প্রাসঙ্গিক কোয়ান্টাম গেট (গুলি) প্রয়োগ করার পরে বা কোনও অন্যান্য সম্পূর্ণ বেস ভিত্তিক রাজ্য)। রাজ্য জড়িত বা পৃথকযোগ্য কিনা তা বিবেচ্য নয়। এই পদ্ধতিটি সর্বদা কাজ করে।

আসুন ক্যুবিট বেল রাজ্যটি বিবেচনা করুন (দুটি এবং কুইটের ):$2$$A$$B$

$$|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

$|\Psi\rangle$ একটি সমান দ্বারা গঠিত রৈখিক গণনীয় ভিত্তিতে রাজ্যের উপরিপাত ও (যা হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে এবং যথাক্রমে ) এবং । অন্যান্য দুটি গণনামূলক ভিত্তিতে বলা হয়েছে যে আমাদের বোধ করা উচিত নয়: এবং কারণ তারা বেল রাষ্ট্রের সুপারপজিশনের অংশ নয়$|00\rangle$$|11\rangle$$|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B$$|1\rangle_A\otimes|1\rangle_B$$|1\rangle_A\otimes |1\rangle_B$$|01\rangle$$|10\rangle$$|\Psi\rangle$। একটি সিএনওটি গেট মূলত ফ্লপ হয় (অর্থাত্ দুটি ম্যাপিংয়ের মধ্যে একটিরও হয়)$|0\rangle \mapsto |1\rangle$ অথবা $|1\rangle\mapsto |0\rangle$) কুইট এর রাজ্য $B$ ক্ষেত্রে কুইট$A$ রাজ্যে হয় $|1\rangle$, নাহলে এটি কিছুই করে না।

সুতরাং মূলত সিএনওটি গণনা ভিত্তিক রাষ্ট্র রাখবে $|00\rangle$যেমন আছে. তবে এটি গণনা ভিত্তিক রাজ্যে রূপান্তরিত করবে$|11\rangle$ প্রতি $|10\rangle$। সিএনওটির ক্রিয়া থেকে$|00\rangle$ এবং $|11\rangle$, আপনি সুপারপজিশনের স্থানে সিএনওটির ক্রিয়াটি ছাড়িয়ে নিতে পারেন $|\Psi\rangle$ এখন:

$$\operatorname{CNOT}|\Psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |10\rangle)$$

---

সম্পাদনা করুন :

আপনি মন্তব্যে উল্লেখ করেছেন যে আপনি জড়িত রাষ্ট্রের দুটি কুইটগুলির মধ্যে একটি চান $|\Psi\rangle$নিয়ন্ত্রণ হিসাবে কাজ করতে (এবং না অপারেশনটি ভিন্ন কুইবিটে প্রয়োগ করা হবে, বলুন $C$, নিয়ন্ত্রণ উপর নির্ভর করে )।

সেক্ষেত্রেও আপনি উপরের মত একই পথে এগিয়ে যেতে পারেন।

লিখুন $3$-কুইট সম্মিলিত রাষ্ট্র :

$$|\Psi\rangle\otimes |0\rangle_C = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes |0\rangle_B + |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B)\otimes |0\rangle_C$$ $$= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes |0\rangle_B\otimes |0\rangle_C+ |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\otimes|0\rangle_C)$$

চল বলি $B$আপনার নিয়ন্ত্রণ কোয়েট হয়।

আবার আমরা কেবল গণ্য ভিত্তিক রাজ্যে সিএনওটির ক্রিয়াটি পরীক্ষা করব (3-কুইট সিস্টেমের জন্য) অর্থাত্ $|000\rangle$ & $|110\rangle$। গণনা ভিত্তিক রাজ্যে$|000\rangle = |0\rangle_A\otimes|0\rangle_B|0\rangle_C$ খেয়াল করুন যে কোয়েটের অবস্থা $B$ হয় $|0\rangle$ এবং কোয়েট যে $C$ হয় $|0\rangle$। কোয়েট থেকে$B$ রাজ্যে আছে $|0\rangle$, চূড়ান্ত অবস্থা $C$উল্টানো হবে না । তবে, এটি গণনা ভিত্তিক অবস্থায় লক্ষ্য করুন$|110\rangle = |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\otimes|0\rangle_C$ কোয়েট $B$ রাজ্যে আছে $|1\rangle$ কোয়েট যখন $C$ রাজ্যে আছে $|0\rangle$। কোয়েট থেকে$B$ রাজ্যে আছে $|1\rangle$, চূড়ান্ত অবস্থা $C$ উল্টানো হবে $|1\rangle$।

সুতরাং, আপনি রাষ্ট্রের সাথে শেষ:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle_A\otimes|0\rangle_B\otimes|0\rangle_C + |1\rangle_A\otimes|1\rangle_B\otimes|1\rangle_C)$$

এই Greenberger-Horne-Zeilinger রাষ্ট্র জন্য আপনার $3$ qubits!

Comments

যদি আমরা একটি জড়িত জোড়ায় CNOT প্রয়োগ করতে চাই তবে আমরা এই পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারি। তবে আমি তা করতে চাই না। আমি যা চাই তা হল জড়িত রাষ্ট্রের প্রথম কুইবাট নেওয়া$B_0$ (এটি অবিচ্ছেদ্য বলে এটিকে Q1 বলতে পারবেন না), এবং সেই (কিউ 1) এবং একটি আলাদাতে সিএনওটি প্রয়োগ করুন $|0>$qubit। যদি সম্ভব হয় তবে ম্যাট্রিক্স ফর্মের গুণটি সম্পন্ন করুন। আবার ধন্যবাদ.

— সাতভিক গোলেছ

@ সাত্বিকগোলেছা তাই আপনি কোনটিকে নিয়ন্ত্রণ কুইবিট হিসাবে বিবেচনা করছেন (নিয়ন্ত্রিত নট গেটের):$q1$ বা "ভিন্ন $|0\rangle$? qubit "উত্তর যে উপর নির্ভর করবে।

— সঞ্চয়ন দত্ত

আমি বিবেচনা করছি $q1$নিয়ন্ত্রণ বিট হতে। এবং আমি যে সমস্যার মুখোমুখি হচ্ছি তা হ'ল আমি আলাদা করতে পারি না$q1$, এবং তাই সিএনটি গেটটি কী করবে তা দেখতে পাচ্ছে না $q1$ এবং $|0>$।

— সাতভিক গোলেছ

@ সাত্বিকগোলেছা উত্তর আপডেট করেছেন। এখন ঠিক আছে?

— সঁচায়ন দত্ত

একটি গুচ্ছ ধন্যবাদ! টেনসর পণ্যের বৈশিষ্ট্যগুলি ব্যবহার করে এটি সমস্ত পরিষ্কার হয়ে যায় এবং এটি এখন খুব সুন্দরভাবে ফিট করে। আমি এই উত্তরটি স্বীকৃত হিসাবে চিহ্নিত করেছি।

— সাতভিক গোলেছ

Answer 2

$$\psi_1 = |0 0 0 \rangle\\ \psi_2 = (H \otimes I \otimes I) \psi_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0 \rangle + |1 \rangle) \otimes |0 0 \rangle\\ = \frac{1}{\sqrt{2}} ( |0 0 0 \rangle + |1 0 0 \rangle)\\ \psi_3 = (\operatorname{CNOT}_{12} \otimes I) \psi_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0 0 0 \rangle + |1 1 0 \rangle)\\ \psi_4 = (\operatorname{CNOT}_{13} \otimes I_{2}) \psi_3 = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0 0 0 \rangle + |1 1 1 \rangle)\\ $$

$\operatorname{CNOT}_{ij}$ এটি নিজেই অপারেটর $2$ কুইবিট প্রদান a $4\times 4$ unitary matrix. You can apply it to any state in $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$ not just those of the form $q_i \otimes q_j$. Just write the coefficients in the computational basis where you know what to do in terms of the $\operatorname{CNOT}_{ij}$ of classical reversible computing. Then just follow your linearity nose.