God'sশ্বরের সংখ্যার জন্য কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম

Question

ঈশ্বরের সংখ্যা সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে দেখা যায় ঈশ্বরের অ্যালগরিদম যা

রুবিকের কিউব ধাঁধাটি সমাধান করার উপায়গুলির আলোচনার সূচনা, তবে এটি অন্যান্য সংযোজক ধাঁধা এবং গাণিতিক গেমগুলির ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যেতে পারে। এটি এমন কোনও অ্যালগরিদমকে বোঝায় যা একটি সমাধান তৈরি করে যেখানে খুব কম সম্ভাব্য পদক্ষেপ থাকে, ধারণাটি হ'ল যে সর্বজ্ঞানী ব্যক্তি কোনও প্রদত্ত কনফিগারেশন থেকে একটি অনুকূল পদক্ষেপটি জানতে পারবেন।

Numberশ্বরের সংখ্যাটি ২০ হিসাবে গণনা করতে "35 সিপিইউ-বছর অলস (শাস্ত্রীয়) কম্পিউটার সময় লাগল।"

কোয়ান্টাম পদ্ধতির মাধ্যমে কোন ধরণের গতি অর্জন করা যেতে পারে?

Comments

সমন্বয়মূলক ধাঁধা জন্য "গডের নম্বর" ক্যালে-জাতীয় গ্রাফের ব্যাসের সাথে সম্পর্কিত , যা গ্রাফের বৃহত্তম ক্ষুদ্রতম পথ path আমি মনে করি না করতে সাধারণ সমস্যা না পাজল রয়েছে । আমি এই কাগজটি অধ্যয়ন করি নি - arxiv.org/abs/quant-ph/0303131 - তবে আমি মনে করি এটি ক্লাসিকাল থেকে গ্রোভার-স্পিডআপ দাবি করে। $n\times n \times n$$\mathsf{NP}$

— এস ই

@ মার্কের

— মেওজ্জেজ

গণনা করা শক্ত যে কোনও কিছুর জন্য আপনি এই জাতীয় প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারেন । এটি খুব গঠনমূলক বলে মনে হচ্ছে না। আপনি কেন ভাবেন যে এই নির্দিষ্ট সমস্যাটি আগ্রহী কোয়ান্টাম কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমের হতে পারে?

— নরবার্ট শোচ

@ নরবার্ট শুচ আই কিউব এবং কোয়ান্টাম কম্পিউটিং করি। এটি আমার কাছে একটি সত্যিই আকর্ষণীয় সমস্যা (এবং আমি কোয়ান্টাম কম্বিনেটেরিয়াল অপ্টিমাইজেশনে আগ্রহী অন্য কাউকেই ভাবি)।

— meowzz

একটি বোন সাইট থেকে mathoverflow.net/questions/77836/… দেখুন ।

— এস

Answer 1

আমরা রুবিকের কিউব কেলে গ্রাফটি ভাবতে পারি $\Gamma=(V,E)$ প্রতিটি (রঙিন) প্রান্ত দিয়ে $E$ সিংমাস্টার পদক্ষেপের এক হচ্ছে $\langle U,U^{2},U^{3}=U^{-1},D,D^{2},D^{3},\cdots\rangle$ এবং প্রতিটি ভার্টেক্স $V$ এক হচ্ছে $43252003274489856000\approx 4.3e{19}$ বিভিন্ন কনফিগারেশন $3\times 3\times 3$ কিউব।

ব্যাস গ্রাফ এর গ্রাফ দীর্ঘতম সবচেয়ে কম পথ। ব্যাস নির্ধারণের জন্য ধ্রুপদী অ্যালগরিদম হ'ল বহুপদী is$\vert V \vert$; দেখুন, উদাহরণস্বরূপ, একটি বোনের সাইট থেকে এই উত্তর ।

উপরে উল্লিখিত হিসাবে, numberশ্বরের সংখ্যাটি এই ব্যাসের সাথে সম্পর্কিত (সম্পর্কিত); কোনও গ্রুপের কেলে গ্রাফের জন্য শীর্ষে অবস্থিত দীর্ঘতমতম পথ জানতে, সমাধান হওয়া অবস্থার থেকে কত ধাপ দূরে রয়েছে তা জানা যথেষ্ট। আমরা জানি, অন্যদের মধ্যে রিকি, কোসিম্বা, ডেভিডসন এবং ডেথ্রিজকে ধন্যবাদ, God'sশ্বরের সংখ্যাটি$20$। তাদের সম্পাদিত অ্যালগরিদমগুলি ছিল বহুবচনীয়$\vert V\vert$যেমন, বহুপদী $4.3e{19}$।

মন্তব্যে উল্লিখিত গ্রাফ ব্যাসের জন্য হেলিগম্যানের কোয়ান্টাম অ্যালগরিদম, জিক্স্ট্রার অ্যালগোরিদমগুলির উপর একটি গ্রোভার গতি অর্জন করেছে, যার সাথে "মোট কোয়ান্টাম ব্যয় $O(|V|^{9/4})$"তবে আমি বিশ্বাস করি যে হেইলিগম্যান গ্রাফিকটিকে অনেকটা শাস্ত্রীয় অ্যালগরিদম হিসাবে এনকোড করে; যেমন: সাথে $O(|V|)$qubits। স্পষ্টত, যদি$|V|=4.3e{19}$ তাহলে এই সাহায্য করবে না।

পরিবর্তে, অন্য প্রশ্নগুলিতে ইঙ্গিত হিসাবে একটি রুবিকের ঘনক্ষেত্রকে এনকোড করার অন্য উপায়টি অবশ্যই সমস্ত ক্ষেত্রে অভিন্ন সুপারপজিশন প্রস্তুত করা$4.3e{19}$যুক্তরাষ্ট্র। এটি কেবল নেয়$\log 4.3e{19}$ qubits।

কোয়ান্টাম অ্যালগরিদমগুলি "ইগেনভ্যালু" এবং "আইজেনভেেক্টর" এবং "আইজেনস্টেটস" সম্পর্কে কথা বলার ক্ষেত্রে ভাল। সমস্ত সিংমাস্টার প্রয়োগ করে সকলের অভিন্ন সুপারপজিশনে স্থানান্তরিত হয়$4.3e{19}$রাজ্যগুলি রাষ্ট্র পরিবর্তন করে না; অর্থাত্ ইউনিফর্ম সুপারপজিশনটি ক্যালে গ্রাফের মার্কভ চেইনের একটি আইজেনস্টেট।

কোনও গ্রাফের ব্যাস এবং সংশ্লিষ্ট সংলগ্ন / ল্যাপ্লেসিয়ান ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালু / ইগেনভেেক্টরগুলির মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে , বিশেষত বর্ণালী ফাঁক, দুটি বৃহত্তম ইগেনালুগুলির মধ্যে দূরত্ব ($\lambda_1-\lambda_2$)। "ব্যাস eigenvalue" এর একটি দ্রুত গুগল সার্চ উত্পাদন করে এই ; আমি অনুরূপ গুগল অনুসন্ধানগুলি অন্বেষণ করার প্রস্তাব দিই।

স্পেকট্রাল ফাঁক হয়ে আছে ঠিক কি সীমিত রুদ্ধতাপীয় অ্যালগরিদম । সুতরাং, সম্ভবত রুবিকের ঘনক্ষেত্র গোষ্ঠীর বিভিন্ন উপগোষ্ঠী / উপ-স্থানের জন্য ইউনিফর্ম সুপারপোসিটোন থেকে সলভ অবস্থায় পৌঁছানোর জন্য কতটা দ্রুত অ্যাডিয়াব্যাটিক অ্যালগরিদম চালানো দরকার তা জানার মাধ্যমে, কেউ বর্ণালী ফাঁকটি অনুমান করতে পারে এবং এটি God'sশ্বরের সংখ্যাকে আবদ্ধ করতে ব্যবহার করতে পারে। তবে আমি এখানে দ্রুত আমার লিগের বাইরে আছি এবং আমি সন্দেহ করি যে কোনওরকম নির্ভুলতা অর্জনযোগ্য।

Comments

প্রথমত, দুর্দান্ত উত্তরের জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। বর্ণালি ফাঁক এবং ডায়াবেটিক প্রক্রিয়া সম্পর্কে আরও জানতে আগ্রহী । আপনি কি সাবকিউবিক গ্রাফ সম্পর্কে কিছু জানেন ? এছাড়াও, আপনি কী পরাবাস্তব সংখ্যা সম্পর্কে নির্দিষ্ট কিছু জানেন (নির্দিষ্টভাবে ফাঁকগুলি )? এছাড়াও, 2x2 কেস সম্পর্কে আপনার কোনও চিন্তা আছে? অথবা এনএক্সএন কেস (এর জন্য)$3<n$)?

— meowzz

@ মেউজ, আপনাকে স্বাগতম। আমি দুঃখিত আমি পরাবাস্তব সংখ্যা বা সাবকুবিক গ্রাফ সম্পর্কে কিছুই জানি না। উপরের কেলে গ্রাফটি কিউবিক নয় এবং এর ভ্যালেন্স রয়েছে$18$ আমি মনে করি ($6$মুখ এবং এক চতুর্থাংশ, অর্ধেক, বা প্রতি তিন চতুর্থাংশ সরানো)। সম্বন্ধে$n\times n$ কেস, একই চিন্তাভাবনা প্রযোজ্য ... কতক্ষণ পরিমাপ করুন $\tau_n$ একটি অ্যাডিয়াব্যাটিক অ্যালগরিদম একটি সমাধান হওয়া অবস্থায় রূপান্তরিত করতে লাগে, এর মধ্যে একটি সম্পর্ক ব্যবহার করে $\tau_n$ এবং $\lambda_2$ বর্ণালী ফাঁক বাঁধতে, এবং ব্যাসকে আবদ্ধ করতে $\delta$ মধ্যে সম্পর্ক সঙ্গে $\lambda_2$ এবং $\delta$...

— এস

উত্তরটি পড়ার সময় এটি এখনও পুরোপুরি পরিষ্কার নয় যে "কোয়ান্টাম পদ্ধতির মাধ্যমে কী ধরণের গতি অর্জন করা যায়?"

— জানুডিডিএ

@ জনভিডিএ আপনার মন্তব্যের জন্য ধন্যবাদ। আমি কখনও সাহসী প্রশ্নের উত্তরের সমস্ত বিবরণ জানার দাবি করিনি। আমি কেবল এমন পদ্ধতির বিষয়ে কিছু প্রতিক্রিয়া দেওয়ার চেষ্টা করেছি যা আরও অন্বেষণ করার জন্য উপযুক্ত হতে পারে এবং প্রশ্নের অন্য মন্তব্যে হালকাভাবে পাল্টা দেওয়ারও চেষ্টা করেছি। এছাড়াও, কেউ আমার কাছ থেকে অনুরূপ একটি প্রশ্নের খুব স্বাগত জানায়।

— মার্ক এস