কোয়ান্টাম গেটের রূপান্তরিত হওয়ার পরে কীভাবে প্রতিটি রাজ্যের সম্ভাবনাগুলি পরিবর্তন হয়?

Question

কোয়ান্টাম গেটগুলি ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা হয়, যা কুইটস (রাজ্য) এ প্রয়োগ করা রূপান্তরগুলি উপস্থাপন করে।

মনে করুন আমাদের কাছে কিছু কোয়ান্টাম গেট রয়েছে যা $2$ কুইটগুলিতে চালিত হয় ।

কোয়ান্টাম গেট কীভাবে প্রভাব ফেলবে (প্রয়োজনীয়ভাবে এটি পরিবর্তন করা যায় না) কুইটসের অবস্থা পরিমাপের ফলাফল (যেহেতু প্রতিটি সম্ভাব্য রাষ্ট্রের সম্ভাবনার দ্বারা পরিমাপের ফলাফলটি ব্যাপকভাবে প্রভাবিত হয়)? আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায়, কোয়ান্টাম গেটের কারণে প্রতিটি রাজ্যের সম্ভাবনা কীভাবে পরিবর্তিত হয়, আগাম তা জানা সম্ভব?

Answer 1

কেস I: 2 কুইটগুলি জড়িত নয়।

আপনি দুটি কুইটের রাজ্যগুলি লিখুন ( এবং বি বলুন ) হিসাবে | ψ একটি ⟩ = একটি | 0 ⟩ + + খ | 1 ⟩ এবং | ψ বি ⟩ = গ | 0 ⟩ + + ঘ | 1 ⟩ যেখানে একটি , খ , গ , ঘ ∈ $\mathrm{A}$$\mathrm{B}$$|\psi_\mathrm{A}\rangle=a|0\rangle+b|1\rangle$$|\psi_\mathrm{B}\rangle = c|0\rangle+d|1\rangle$$a,b,c,d\in\Bbb{C}$ ।

পৃথক কুইবিটগুলি দ্বিমাত্রিক জটিল ভেক্টর স্পেস (একটি সি ক্ষেত্রের ওপরে) -এ থাকে। তবে সিস্টেমের অবস্থা হ'ল একটি ভেক্টর (বা পয়েন্ট ) একটি চার মাত্রিক জটিল ভেক্টর স্পেস সি 4 (একটি সি ক্ষেত্রের ওপরে ) এর মধ্যে থাকে।$\Bbb{C}^2$$\Bbb{C}$$\Bbb{C}^4$$\Bbb {C}$

সিস্টেমের অবস্থা একটি টেন্সর পণ্য হিসাবে লেখা যেতে পারে অর্থাত একটি গ | 00 ⟩ + + একটি ঘ | 01 ⟩ + + খ গ | 10 ⟩ + + খ ঘ | 11 ⟩ ।$|\psi_\mathrm{A}\rangle\otimes|\psi_\mathrm{B}\rangle$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$

স্বাভাবিকভাবেই, যেহেতু রাষ্ট্র ভেক্টরকে স্বাভাবিক করতে হবে। কেন ভিত্তি রাষ্ট্রের প্রশস্ততার বর্গক্ষেত্রটি যখন ভিত্তিতে পরিমাপ করা হয় তখন সেই ভিত্তির রাষ্ট্রের সম্ভাবনা দেয় কেন কোয়ান্টাম মেকানিক্সের জন্মের নিয়মের মধ্যে রয়েছে (কিছু পদার্থবিজ্ঞানী এটিকে কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি মৌলিক পোষ্টুলেট হিসাবে বিবেচনা করে) । এখন, সম্ভাবনা | 0 $|ac|^2+|ad|^2+|bc|^2+|bd|^2=1$$|0\rangle$ উদিত হত্তয়া যখন প্রথম qubit পরিমাপ করা হয় । একইভাবে, সম্ভাবনা | 1 ⟩ উদিত হত্তয়া যখন প্রথম qubit পরিমাপ করা হয় | খ গ | 2 + | খ ডি | ঘ ।$|ac|^2+|ad|^2$$|1\rangle$$|bc|^2+|bd|^2$

এখন, আমরা যদি সিস্টেমের পূর্বের অবস্থার কোনও পরিমাপ না করে কোয়ান্টাম গেট প্রয়োগ করি তবে কী হবে? কোয়ান্টাম গেটগুলি একক গেট। তাদের ক্রিয়াকলাপটি সিস্টেমের প্রাথমিক অবস্থায় অর্থাৎ একটি সি | এর উপর একক অপারেটর ক্রিয়া হিসাবে লেখা যেতে পারে 00 ⟩ + + একটি ঘ | 01 ⟩ + + খ গ | 10 ⟩ + + খ ঘ | 11 ⟩ একটি নতুন রাষ্ট্র উত্পাদন করতে একটি | 00 ⟩ + + বি | 01 ⟩ + + সি | 10 $U$$ac|00\rangle+ad|01\rangle+bc|10\rangle+bd|11\rangle$ (যেখানে একজন , বি , সি , ডি ∈ সি )। এই নতুন রাষ্ট্র ভেক্টরের বিশালতা: | ক | 2 + | খ | 2 + | সি | 2 + | ডি | 2 আবার 1 এর সমান হয়, যেহেতু প্রয়োগ গেটটিএককছিল। প্রথম কুইবিট যখন পরিমাপ করা হয় তখন এর সম্ভাবনা | 0 ⟩ ঘটছে | ক | 2$A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$$A,B,C,D\in\Bbb{C}$$|A|^2+|B|^2+|C|^2+|D|^2$$1$$|0\rangle$$|A|^2+|B|^2$ এবং একইভাবে তোমাদের সংঘটন জন্য তা খুঁজে পেতে পারেন ।$|1\rangle$

তবে আমরা যদি কোনও পরিমাপ সম্পাদন করি তবে একক গেটের ক্রিয়াকলাপের আগে ফলাফলটি ভিন্ন হবে। উদাহরণস্বরূপ আপনি প্রথম কুইবিটটি পরিমাপ করেছেন এবং এটি বেরিয়ে গেছে রাষ্ট্র ব্যবস্থার মধ্যবর্তী রাষ্ট্র হতো ধসে করার একটি গ | 00 ⟩ + + একটি ঘ | 01 $|0\rangle$$\frac{ac|00\rangle + ad|01\rangle}{\sqrt{(ac)^2+(ad)^2}}$ (কোপেনহেগেন ব্যাখ্যা অনুসারে)। সুতরাং আপনি বুঝতে পারেন যে এই রাজ্যে একই কোয়ান্টাম গেট প্রয়োগ করা একটি পৃথক চূড়ান্ত ফলাফল দিয়েছে।

কেস II: 2 কুইটগুলি জড়িত।

সিস্টেমের অবস্থা 1 এর মতো কিছু, আপনি এটি দুই পৃথক qubits রাজ্যের একটি টেন্সর পণ্য হিসাবে প্রতিনিধিত্ব করতে পারবেন না (চেষ্টা!)। এরকম আরও অনেক উদাহরণ রয়েছে। কুইটসকে এমন ক্ষেত্রে জড়িয়ে যাওয়ার কথা বলা হয়।$\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$

যাইহোক, মূল যুক্তি এখনও একই রয়ে গেছে। এর সম্ভাবনা উদিত হত্তয়া যখন প্রথম qubit পরিমাপ করা হয় | 1 / $|0\rangle$ এবং| 1⟩উদিত হত্তয়া হয়$|1/\sqrt{2}|^2=\frac{1}{2}$$|1\rangle$ । একইভাবে আপনি দ্বিতীয় কোয়েট পরিমাপের জন্য সম্ভাব্যতাগুলি খুঁজে পেতে পারেন।$\frac{1}{2}$

Again if you apply a unitary quantum gate on this state, you'd end up with something like $A|00\rangle+B|01\rangle+C|10\rangle+D|11\rangle$, as before. I hope you can now yourself find out the probabilities of the different possibilities when the first and second qubits are measured.

---

নোট: 2-qubit sytem এর সাধারণত ভিত্তিতে রাজ্যের চার হিসেবে বিবেচিত হয় 4 × 1 মত কলাম ভেক্টর [ 1 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 ] মান ভিত্তিতে চার ভিত্তিতে ভেক্টর ম্যাপিং দ্বারা, ইত্যাদি আর 4 । এবং, একক রূপান্তর ইউ 4 × 4 হিসাবে লেখা যেতে পারে$|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle$$4\times 1$$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$\Bbb{R}^4$$U$$4\times 4$ matrices which satisfy the property $UU^{\dagger}=U^{\dagger}U=I$.

Answer 2

Yes, it is possible. The quantum gates are designed such that given input states are transformed to well defined output states with computable probabilities. The transformation does not constitute a measurement in the sense of quantum mechanics, this means that we can have entangled states in the output of a quantum gate and use these states for further computation.

Note also that the input states are no longer accessible after being transformed by a quantum gate. If you want to get them back, you have to apply an inverse gate.

Comments

I think this answer would be better with some basic mathematics, but that's difficult without mathjax enabled.

— DanielSank

@DanielSank it is now enabled

— Gabriel Romon

What do you exactly mean by "in the sense of quantum mechanics"?

— nbro

Answer 3

How does the quantum gate affect (not necessarily change it) the result of measuring the state of the qubits (as the measurement result is affected greatly by the probabilities of each possible state)? More specifically, is it possible to know, in advance, how the probabilities of each state change due to the quantum gate?

Let's try to approach this with an example and some geometry. Consider a single qubit, whose Hilbert space is $\mathbb{C}^2$, i.e., the two-dimensional complex Hilbert space over $\mathbb{C}$ (for the more technical people, the Hilbert space is actually $\mathbb{C}P^1$). It turns out that $\mathbb{C}P^1 \cong S^2$, the unit sphere, also known as the Bloch sphere. This translates into the fact that all states of a qubit can be represented (uniquely) on the Bloch sphere.

Source: Wikipedia

The state of a qubit can be represented on the Bloch sphere as ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)|1\rangle}$, where $0 \leq \theta \leq \pi$ and $0 \leq \phi < 2 \pi$. Here, $|0\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ and $|1\rangle = {{\bigl [}{\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}{\bigr ]}}$ are the two basis states (represented in the figure at the north and south pole respectively). So the states of the qubit are nothing but column vectors, which are identified with (unique) points on the sphere.

What are quantum gates? These are unitary operators, $U$ s.t., $U U^\dagger = U^\dagger U = \mathbb{I}$. Gates on a single qubit are elements of $SU(2)$. Consider a simple gate like $Y$ (which stands for the Pauli matrix $\sigma_y := Y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix}$).

How does this gate act on a qubit and affect the measurement outcomes?

Say you begin with a qubit in the state $|0\rangle$, i.e., at the north pole on the Bloch sphere. You apply a unitary of the form $U = e^{-i \gamma Y}$ where $\gamma \in \mathbb{R}$. Using properties of the Pauli matrix, we get $U = e^{-i \gamma Y} = cos(\gamma) \mathbb{I} -i sin(\gamma) Y$. The action of this operator is to rotate the state by an angle $2 \gamma$ along the y-axis and therefore if we choose $\gamma = \pi/2$, the qubit $|0\rangle \rightarrow U|0\rangle = |1\rangle$. That is to say, given we know what unitary we are applying to our state, we completely know the way in which our initial state will transform and hence we know how the measurement probabilities would change.

For example, if we were to make a measurement in the $\{|0\rangle, |1\rangle\}$ basis, initially, one would get the state $|0\rangle$ with probability 1; after applying the unitary, one would get the state $|1\rangle$ with probability 1.

Answer 4

As you said, the probabilities of measurements are obtained from the state. And the gates operate unitarily on the states. Consider the POVM element $\Pi$, a state $\rho$ and a gate $U$. Then the probability for the outcome associated with $\Pi$ is $p=\mathrm{tr} (\Pi \rho)$, and the probability after the gate is $p'=\mathrm{tr}(\Pi U \rho U^\dagger)$.

I just want to stress that it is impossible to know the probability of the outcome after the gate only from the probability of it before the gate. You need to consider the probability amplitudes (the quantum states)!

Let me make another remark: You are talking about two qubits, so the state after the gate might be entangled. In this case it will not be possible to have "individual" probability distributions for each qubit for all measurements in the sense that the joint probability distribution will not factor into the two marginal distributions.