5 কোটির কম সংখ্যক কোড কেন সংশোধন করতে ত্রুটি হতে পারে না?

19

আমি 9-কোবিট, 7-কুইট এবং 5-কোবিটের ত্রুটি কোডগুলি সংশোধন করতে ইদানীং পড়েছি। তবে কেন পাঁচ কোটির কম সংখ্যক কোড সংশোধন করতে কোয়ান্টাম ত্রুটি থাকতে পারে না?

error-correction

— Adex
সূত্র

13

আপনার কমপক্ষে 5 কুইবিট (বা চতুর) দরকার এমন একটি প্রমাণ

এখানে একটি প্রমাণ রয়েছে যে কোনও একক ত্রুটি সংশোধন করে ( অর্থাত্ দূরত্ব 3) কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোডটিতে কমপক্ষে 5 কোয়েট রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, এটি কোনও মাত্রা $d$ চতুর্থাংশকে সাধারণ করে দেয় , এবং কোনও কোয়ান্টাম ত্রুটি কোডকে সংশোধন করে এক বা একাধিক মাত্রার মাত্রা $d$ ।

(যেমন ফেলিক্স হুবার নোট করেছেন , আপনার নূন্যতম - লাফ্লামমে নিবন্ধের [ আরএক্সআইভিএন: কোয়ান্ট-পিএইচ / 9604034 ] যে নীল - লাফলাম শর্ত নির্ধারণ করেছে তার মূল প্রমাণটি হ'ল: নীচের প্রমাণটি কৌশলটি নিম্নরূপ: যা আজকাল বেশি ব্যবহৃত হয়))

যে কোনও কোয়ান্টাম ত্রুটি কোড সংশোধন করতে পারে যা $t$ অজানা ত্রুটিগুলি সংশোধন করতে পারে, এমনকি $2t$ মুছে ফেলার ত্রুটিও সংশোধন করতে পারে (যেখানে আমরা কিছুটা কুইবিট হারিয়ে ফেলি, বা এটি পুরোপুরি হতাশাগ্রস্থ হয়ে যায় বা অনুরূপ হয়ে যায়) যদি মুছে যাওয়া কোটির অবস্থানগুলি জানা থাকে। [1 সেকেন্ড. তৃতীয় এ] *। সামান্য আরো সাধারণভাবে দূরত্ব কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড $d$ সহ্য করতে পারে $d-1$ ইরেজিওর ত্রুটি। উদাহরণস্বরূপ, যখন $[\![4,2,2]\!]$ কোড মূলত কোনও ত্রুটি সংশোধন করতে পারে না, কারণ এটি বলতে পারে যে একটি ত্রুটি ঘটেছে (এবং এটিও কোন ধরণের ত্রুটি) তবে এটি কোন কোয়েটটি ঘটেছে তা নয়, একই কোডটি একক ক্ষয় ত্রুটির বিরুদ্ধে রক্ষা করতে পারে (কারণ অনুমান দ্বারা আমরা এই ক্ষেত্রে ত্রুটিটি কোথায় ঘটে তা অবশ্যই অবগতভাবে জানি)

$n \geqslant 2$ $n-2$ $2$ $n<5$ $2 \geqslant n-2$ $n \geqslant 5$

মুছে ফেলার ত্রুটিগুলি সংশোধন করার সময়

* আমি এর প্রথম দিকের রেফারেন্সটি পেয়েছি

[1] গ্রাসেল, বেথ এবং পেলিজারি।
কোয়ান্টাম ক্ষয়কারী চ্যানেলের জন্য কোডগুলি ।
Phys। রেভ। এ 56 (pp। 33–38), 1997.
[ আরএক্সিভি: কোয়ান্ট-পিএইচ / 9610042 ]

- যা নিল – লাফলমে শর্তগুলি [ আরএক্সআইভি: কোয়ান্ট-পিএইচ / 9604034 ] এ বর্ণিত হওয়ার পরে খুব বেশি দিন নয় এবং তাই কোডের দূরত্ব এবং ক্ষয় ত্রুটির মধ্যে সংযোগের মূল প্রমাণ হিসাবে বুদ্ধিমানভাবে । রূপরেখা হিসাবে অনুসরণ, এবং দূরত্বের সংশোধন কোডগুলি ত্রুটি প্রযোজ্য (এবং qubits স্থানে কোনো মাত্রা এর qudits জন্যও একইভাবে প্রযোজ্য, সাধারণ পাউলি অপারেটার ব্যবহার করে)। $d$

কোয়েটগুলির ক্ষয়ক্ষতিগুলি সম্পূর্ণরূপে অবনতিশীল চ্যানেলের সাপেক্ষে সেই কুইটগুলির দ্বারা মডেল করা যেতে পারে, যার ফলস্বরূপ qu কুইটগুলি সমানভাবে এলোমেলো পাওলি ত্রুটির বিষয় হতে পারে mode $d-1$
যদি এই কোয়েটের অবস্থানগুলি অজানা থাকে তবে এটি মারাত্মক হবে। যাইহোক, তাদের অবস্থানগুলি হিসাবে জানা গেছে, কোয়েটগুলিতে যে কোনও জুড়ি পাওলি ত্রুটিগুলি নীল-লাফ্ল্যামে অবস্থার প্রতি আবেদন করে একে অপরের থেকে আলাদা করা যায়। $d-1$ $d-1$
অতএব, সর্বাধিক মিশ্র অবস্থায় কোয়েটগুলির সাথে মুছে যাওয়া কুইটগুলি প্রতিস্থাপন করে এবং সেই কোবিটগুলিতে স্পষ্টতই পাওলি ত্রুটির জন্য পরীক্ষা করে (নির্বিচারে পাওলি ত্রুটিগুলি সংশোধন করার জন্য আপনি যে কোনও পৃথক সংশোধন পদ্ধতির প্রয়োজন, মনে রাখবেন), আপনি পুনরুদ্ধার করতে পারবেন মূল অবস্থা $d-1$

— নীল দে বৌদ্রাপ
সূত্র

1

এনবি যদি আপনি আমার উত্তরটিকে অগ্রাহ্য করে থাকেন তবে আসল প্রমাণটি সনাক্ত করার জন্য আপনারও ফেলিক্স হুবারের উত্তরটিকে সমর্থন করা উচিত ।

— নিল ডি বৌদ্রাপ

14

আমরা যা সহজেই প্রমাণ করতে পারি তা হ'ল ছোট অ-অধঃপতন কোড নেই।

একটি অবনমিত কোডে আপনার কুইটের 2 টি লজিকাল স্টেটস থাকতে হবে এবং প্রতিটি যৌক্তিক অবস্থার মানচিত্র তৈরি করতে প্রতিটি সম্ভাব্য ত্রুটির জন্য আপনার একটি পৃথক অবস্থা থাকতে হবে। সুতরাং, আসুন আমরা দুটি লজিকাল রাষ্ট্র সহ আপনার একটি 5 কুইট কোড পেয়েছি $|0_L\rangle$ এবং $|1_L\rangle$ । সম্ভাব্য একক-কবিট ত্রুটির সেট হ'ল $X_1,X_2,\ldots X_5,Y_1,Y_2,\ldots,Y_5,Z_1,Z_2,\ldots,Z_5$ , এবং এর অর্থ সমস্ত রাজ্য

| 0_{এল} ⟩, | 1_{এল} ⟩, {এক্স}_{1} | 0_{এল} ⟩, {এক্স}_{1} | 1_{এল} ⟩, {এক্স}_{2} | 0_{এল} ⟩, ...

আমরা সাধারণভাবে এই যুক্তি প্রয়োগ করেন, এটা আমাদের দেখায় যে আমরা প্রয়োজন

2 + + 2 \times (3 এন)

$2+2\times(3n)$ স্বতন্ত্র যুক্তরাষ্ট্র। তবে,

n

$n$ কুইটসের জন্য পৃথক রাষ্ট্রের সর্বাধিক সংখ্যা

2^{n}

$2^n$ । সুতরাং, একটি অবনতিজনিত ত্রুটির সঠিক দূরত্ব 3 এর কোড (যেমন কমপক্ষে একটি ত্রুটির জন্য সংশোধন করা) বা তার চেয়েও বেশি, আমাদের

2^{এন} \geq 2 (3 এন + + 1) ।

$2^n\geq 2(3n+1).$ একে কোয়ান্টাম হামিং বাউন্ড বলা হয়। আপনি সহজেই পরীক্ষা করতে পারেন যে এটি সমস্ত

n \geq 5

$n\geq 5$ জন্য সত্য , তবে

n < 5

$n<5$ । প্রকৃতপক্ষে,

n = 5

$n=5$ , বৈষম্য একটি সমতা এবং ফলস্বরূপ আমরা সম্পর্কিত 5-কোবিট কোডটিকে নিখুঁত কোড বলি।

— DaftWullie
সূত্র

1

হ্যামিং সীমাটি না ডেকে আপনি কোনও কোডের জন্য ক্লোনিং করে প্রমাণ করতে পারবেন না?

— নরবার্ট শুচ

ক্লোনিং জড়িত জড়িত সম্পর্কে আমার জানা একমাত্র প্রমাণ নরবার্টসুচ দেখায় যে কোনও এন কুইট কোড এন / ২ বা আরও ত্রুটির জন্য সংশোধন করতে পারে না। আপনি যদি অন্য নির্মাণ জানেন, আমি এটি জানতে পেরে খুব খুশি হব!

— ডাফটউইলি

আহ্, আমি এটি @ নীলদে বিউড্রাপের উত্তরের পয়েন্টটি দেখছি। দুর্দান্ত :)

— ড্যাফটউলি

1

ভেবেছিলেন এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড আর্গুমেন্ট: -ও

— নরবার্ট শোচ

8

অন্য উত্তরের পরিপূরক হিসাবে, আমি কোয়ান্টাম নন-ডিজেনারেট ত্রুটি সংশোধন কোডগুলির জন্য আবদ্ধ সাধারণ কোয়ান্টাম হামিং যুক্ত করতে যাচ্ছি। এ জাতীয় আবদ্ধের গাণিতিক সূত্র

2^{n - k} \geq \sum_{j = 0}^{t} (\begin{matrix} n \\ j \end{matrix}) 3^{j},

$\begin{equation} 2^{n-k}\geq\sum_{j=0}^t\pmatrix{n\\j}3^j, \end{equation}$ যেখানে

n

$n$ কোডওয়ার্ড,

k

$k$ হ'ল এনকোডযুক্ত তথ্য কোয়েটের সংখ্যা (তাই তারা ডিকোহরেন্স থেকে সুরক্ষিত), এবং

t

$t$ হ'ল কোড দ্বারা সংশোধিত

t

$t$ কোয়েট ত্রুটির সংখ্যা । হিসাবে

t

$t$ দ্বারা দূরত্ব সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত

t = ⌊ \frac{d - 1}{2} ⌋

$t = \lfloor\frac{d-1}{2}\rfloor$ , তারপরে এই জাতীয়-অধঃপতিত কোয়ান্টাম কোডটি একটি

[[n, k, d]]

$[[n,k,d]]$ কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোড হবে। এই আবদ্ধটি একটি গোলক-প্যাকিং যুক্তির মতো ব্যবহার করে প্রাপ্ত হয়, যাতে

2^{n}

$2^n$ মাত্রিক হিলবার্ট স্পেসটি

বিভক্ত হয়

2^{n - k}

$2^{n-k}$ প্রতিটি সিন্ড্রোম দ্বারা পৃথক পৃথক স্থানগুলি পরিমাপ করা হয়, এবং তাই প্রতিটি সিন্ড্রোমের জন্য একটি ত্রুটি বরাদ্দ করা হয়, এবং পুনরুদ্ধার অপারেশনটি যেমন পরিমাপক সিন্ড্রোমের সাথে সম্পর্কিত ত্রুটিটি উল্টো করেই করা হয়। একারণে একটি অ-ডিজেনরেট কোয়ান্টাম কোড দ্বারা সংশোধন করা মোট ত্রুটির সংখ্যা সিন্ড্রোম পরিমাপের দ্বারা পার্টিশনের সংখ্যার কম বা সমান হওয়া উচিত।

যাইহোক, অবক্ষয় কোয়ান্টাম ত্রুটি সংশোধন কোডগুলির একটি সম্পত্তি যা এই বোঝায় যে প্রেরিত কোডওয়ার্ডগুলিকে প্রভাবিত করতে পারে এমন ত্রুটির মধ্যে সমতা শ্রেণির রয়েছে। এর অর্থ এমন একটি ত্রুটি রয়েছে যা একই সিনড্রোম ভাগ করে নেওয়ার সময় সংক্রমণিত কোডওয়ার্ডগুলিতে প্রভাব একই same এর দ্বারা বোঝা যায় যে এই শ্রেণীর অবক্ষয়জনিত ত্রুটিগুলি একই পুনরুদ্ধার অপারেশনের মাধ্যমে সংশোধন করা হয়েছে, এবং প্রত্যাশিত আরও ত্রুটিগুলি সংশোধন করা যায়। এই কারণেই এটি জানা যায় না যে কোয়ান্টাম হামিং এই আবদ্ধ ত্রুটি সংশোধন কোডগুলিকে ধরে রাখে, পার্টিশনের চেয়ে আরও ত্রুটিগুলি এভাবে সংশোধন করা যায়। কোয়ান্টাম হামিং বাউন্ডের লঙ্ঘন সম্পর্কে কিছু তথ্যের জন্য দয়া করে এই প্রশ্নটি দেখুন ।

— জোসু এটক্সেজারেটা মার্টিনেজ
সূত্র

4

আমি প্রথম দিকের রেফারেন্সটিতে একটি সংক্ষিপ্ত মন্তব্য যুক্ত করতে চেয়েছিলাম। আমি বিশ্বাস করি এর বিভাগ 5.2 এর মধ্যে এটি ইতিমধ্যে কিছুটা আগে দেখানো হয়েছিল

A Theory of Quantum Error-Correcting Codes
Emanuel Knill, Raymond Laflamme 
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9604034

নির্দিষ্ট ফলাফল যেখানে:

উপপাদ্য 5.1। এ $(2^r,k)$ $e$ -এরর-সংশোধন কোয়ান্টাম কোড অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবে $r \geqslant 4e + \lceil \log k \rceil$ ।

এখানে, একটি $(N,K)$ কোড একটি $K$ মাত্রিক সাবস্পেসকে $N$ ডাইমেনশনাল সিস্টেমে এম্বেডিং ; সিস্টেমটি কুইটগুলির একটি সেন্সর পণ্য হিসাবে ক্ষয় করে যদি কোডটি ওজন ত্রুটিগুলি সংশোধন করতে সক্ষম হয় তবে এটি একটি $e$ -এরর-সংশোধনকারী কোড । বিশেষত, একটি -ইরর-সংশোধনকারী কোডটি আমরা এখন একটি হিসাবে বর্ণনা করব $e$ $(2^n, 2^k)$ $e$ $[\![n,k,2e\:\!{+}1]\!]$ কোড। উপপাদ্য 5.1 তারপর আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে জন্য করতে পারবেন $k \geqslant 1$ এবং একটি বিজোড় পূর্ণসংখ্যা $d \geqslant 3$ , একটি $[\![n,k,d]\!]$ কোড অবশ্যই সন্তুষ্ট করা

\begin{aligned} এন & ⩾ 4 ⌈ \frac{ঘ - 1}{2} ⌉ + + ⌈ লগ 2^{ট} ⌉ \\ ⩾ ⌈ 4 \cdot \frac{ঘ - 1}{2} ⌉ + + ⌈ ট ⌉ \\ = 2 ঘ - 2 + + ট ⩾ 6 - 2 + + 1 = 5। \end{aligned}

$\begin{aligned} n \;&\geqslant\; 4\bigl\lceil\tfrac{d-1}{2}\bigr\rceil + \lceil \log 2^k \rceil \\[1ex]&\geqslant\; \bigl\lceil 4 \cdot \tfrac{d-1}{2} \bigr\rceil + \lceil k \rceil \\[1ex]&=\; 2d - 2 + k \;\geqslant\; 6 - 2 + 1 \;=\; 5. \end{aligned}$

( এনবি এখানে তারিখগুলির সাথে একটি অদ্ভুততা রয়েছে: উপরোক্ত কাগজপত্রের আর্কসীব জমা দেওয়া এপ্রিল 1996, গ্রাসল, বেথ এবং পেলিজারি পেপারের তুলনায় কয়েক মাস আগে অক্টোবর 1996 সালে জমা হয়েছিল। তবে, পিডিএফের শিরোনামের নীচের তারিখটি এক বছর আগে, এপ্রিল 1995.)

বিকল্প প্রমাণ হিসাবে, আমি কল্পনা করতে পারি (তবে এখনও পরীক্ষা করিনি) যে ম্যাক-উইলিয়ামস পরিচয়কে সন্তুষ্ট করে এমন ওজন বিতরণের জন্য কেবল সমাধান করা যথেষ্ট ice এই জাতীয় কৌশলটি সত্যই ব্যবহৃত হয়

Quantum MacWilliams Identities
Peter Shor, Raymond Laflamme
https://arxiv.org/abs/quant-ph/9610040

এটি দেখানোর জন্য যে পাঁচটি কুইবিটে কোনও ডিজেনরেট কোড নেই যা কোনও একক ত্রুটি সংশোধন করতে পারে।

— ফেলিক্স হুবার
সূত্র

দুর্দান্ত রেফারেন্স, ধন্যবাদ! আমি নিলকে চিনি না - ল্যাফ্ল্যামে কাগজটি যথেষ্ট পরিমাণে জানতে পেরেছিল যে নীচের 5 টিও ছিল।

— নিল দে বিউড্রাপ

সম্পাদনার জন্য ধন্যবাদ! নিম্ন সীমানা সম্পর্কে, তারা মনে করে যে তারা পাঁচটি কুইবিটসের প্রয়োজন বলে সম্বোধন করে না, তবে কেবলমাত্র এই জাতীয় কোডটি অবশ্যই অবনমিত হতে হবে।

— ফেলিক্স হুবার

n = 5

$n=5$

d \leq n / 2 + 1

$d\leq n/2+1$

r ⩽ 4

$r \leqslant 4$

বিভ্রান্তির জন্য দুঃখিত. আমার পার্শ্ব-মন্তব্যটি কোয়ান্টাম ম্যাকউইলিয়ামস পরিচয় পত্রের দিকে উল্লেখ করছিল: সেখানে কেবলমাত্র এটি দেখানো হয়েছিল যে পাঁচটি কোয়েট কোড সংশোধন করার ক্ষেত্রে একটি সিঙ্গল-ত্রুটি অবশ্যই খাঁটি / অ-অবনমিত হতে হবে। নিল-লাফলম পেপারে 5.2 ধারা ("কিউইসিসির একটি তত্ত্ব ..), যেমনটি তারা দেখায়, সাধারণ।

— ফেলিক্স হুবার