হিমিলটোনীয় বিবর্তন অনুকরণ করুন

11

কোয়ান্টাম কম্পিউটারে পাওলি ম্যাট্রিকেসের সেন্সর পণ্য হিসাবে লেখা শব্দের সাথে হ্যামিলটোনীয়দের সাথে কথোপকথনের অধীনে কোয়েটগুলির বিবর্তনকে কীভাবে অনুকরণ করা যায় তা বোঝার চেষ্টা করছি। নীলেরসেন এবং চুয়াংয়ের বইতে আমি নিম্নলিখিত কৌশলগুলি পেয়েছি যা ফর্মের হ্যামিল্টনীয়দের জন্য এই পোস্টে ব্যাখ্যা করা হয়েছে

H = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{n}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ ।

তবে এটি কিভাবে হ্যামিলটোনীয় পাওলি ম্যাট্রিকেস বা সহ পদগুলি সহ কাজ করবে তা বিশদভাবে ব্যাখ্যা করা হয়নি । আমি বুঝি যে আপনি বিবেচনা করে Z এর মধ্যে এই পাউলি এর রুপান্তর করতে পারে যেখানে Hadamard গেট এবং যেখানে ফেজ যা গেট। উদাহরণস্বরূপ বাস্তবায়নের জন্য আমার ঠিক কীভাবে এটি ব্যবহার করা উচিত $X$ $Y$ $HZH = X$ $H$ $S^{\dagger}HZHS =Y$ $S$ $i$

H = X \otimes Y

$H= X \otimes Y$

এখন যদি হ্যামিল্টোনিয়ান পাওলি ম্যাট্রিক্সের সাথে শর্তগুলির যোগফল থাকে? উদাহরণ স্বরূপ

H = X_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— পাম
সূত্র

3

ধরা যাক আপনার

H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes \dots \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$ ফর্মের একটি হ্যামিল্টোনীয় রয়েছে have

একটি সরল সার্কিট নির্মাণ রয়েছে যা আপনাকে তার সময়ের বিবর্তন বাস্তবায়ন করতে দেয়

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ । কৌতুকটি মূলত সেই রাজ্যের পচে যাওয়া যা আপনি

এর

\pm 1

$\pm 1$ ইগেনস্পেসে থাকা উপাদানগুলিতে বিকশিত হচ্ছেন । তারপর, আপনি ফেজ আবেদন

থেকে

eigenspace, এবং ফেজ

H

$H$

e^{- i t}

$e^{-it}$

+ 1

$+1$

e^{- i t}

$e^{-it}$ থেকে

- 1

$-1$ eigenspace। নিম্নলিখিত সার্কিটটি সেই কাজটি করে (এবং শেষের দিকে পচনকে জটিল করে তোলে)।

আমি মাঝখানে ফেজ গেট উপাদানটি একক প্রয়োগ করার জন্য ধরে নিচ্ছি

(\begin{array}{cc} e^{i t} & 0 \\ 0 & e^{- i t} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

সাধারণভাবে, আপনি যদি কিছু হ্যামিলটোনিয়ান $H=H_1+H_2$ যেখানে বিবর্তন করতে চান যেখানে $H_1$ এবং $H_2$ পূর্ববর্তী ফর্মের হয়, তবে এতদূর সবচেয়ে সহজতম হল বিবর্তনটিকে

e^{- i H t} \approx {(e^{- i H_{1} t / M} e^{- i H_{2} t / M})}^{M}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$ হিসাবে পচে যাওয়া

বড় কিছু

জন্য

M

$M$ (যদিও আরও ভাল স্কেলিং আচরণের সাথে অ্যালগরিদম রয়েছে), এবং এই ছোট পদক্ষেপগুলির প্রত্যেকটি

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$ পূর্ববর্তী সার্কিটের সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে।

এটি বলেছিল, কখনও কখনও স্মার্ট জিনিস রয়েছে যা আপনি করতে পারেন। আপনার অতিরিক্ত উদাহরণ,

H = X \otimes Y \otimes I + Z \otimes I \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$ এমন একটি কেস। আমি একক ঘূর্ণন

প্রয়োগ করে শুরু করব

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$ qubits 2 এবং 3. এই Hadamard গেট সমতূল্য, কিন্তু পরিবর্তিত

Y

$Y$ মধ্যে

Z

$Z$ পরিবর্তে

X

$X$ । এখন এক মুহুর্তের জন্য থামুন এবং ভাবুন। Qubits 2 এবং 3 00 হয়, তাহলে আমরা আবেদন করছি

(X + Z)

$(X+Z)$ 1. ২01২, এটা জন্য qubit করার

(X - Z)

$(X-Z)$ 10 এটা জন্য,

(Z - X)

$(Z-X)$ , এবং 11 জন্য এটি

- (X + Z)

$-(X+Z)$ । এর পরে, কুইট 2 থেকে কুইট 3-তে নিয়ন্ত্রিত প্রয়োগ করা যাক এটি কেবলমাত্র ভিত্তি উপাদানগুলিকে সামান্য অনুমতি দেয়। এটি এখন বলে যে আমাদের হ্যামিলটোনিয়ান প্রয়োগ করতে হবে

(- 1)^{x_{2}} (X + (- 1)^{x_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$ qubit 1 রাজ্যের, যদি qubits 2 এবং 3 রাজ্যে হয়

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$ । এরপরে, এটি

remember মনে রাখবেন

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$ (হাদামারড, হ্যামিলটনিয়ান নয়), এবং এটি

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$ । সুতরাং, এটি আমাদের হ্যামিলটোনিয়ান দুটি বিটের মধ্যে রূপান্তর করার একটি সহজ উপায় দেয়। আমরা কেবলমাত্র এই দুটি

X

$X$ এসকেপ্রতিস্থাপন করবকুইট 3 দ্বারা নিয়ন্ত্রিত নোটগুলি দিয়ে। একইভাবে, আমরা একটি সার্কিট পরিচয় ব্যবহার করতে পারি

যেখানে এবার

X

$X$ কন্ট্রোল-নোটস নিয়ন্ত্রিত নোটগুলি কুইট 2 সহপ্রতিস্থাপন করব।

সামগ্রিকভাবে, আমি বিশ্বাস করি যে সিমুলেশনটি দেখতে দেখতে জটিল হতে পারে বলে মনে হয় তবে অল্প সময়ের ধাপগুলিতে বিভক্ত হওয়ার কোনও কিছুই নেই যা আপনার পাশাপাশি চলতে চলতে ত্রুটিগুলি জমে। এটি প্রায়শই প্রয়োগ হয় না, তবে এই ধরণের সম্ভাবনা সম্পর্কে সচেতন হওয়া মূল্যবান।

— DaftWullie
সূত্র

একটি বিন্দু সহ বর্গমূলের ফ্যাক্টরটির অর্থ কী - একটি গেট?

— এনরিক সেগুরা

@ এনারিকসিগুরা ঠিক যেমনটি আপনি জিজ্ঞাসা করেছেন তার মতোই: একটি পর্যায় গেট যা ঘোরার লেবেলযুক্ত কোণ রয়েছে।

— ডাফটওয়ুলি

1

$H$ $H=UDU^\dagger$ $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ $\sigma_i \neq I$ $i$ $H$

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

ফলস্বরূপ:

e^{i t H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) e^{i t Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

$e^{it Z\otimes Z}$

হ্যামিলটোনিয়ান যদি পাওলি পণ্যগুলির যোগফল হয়, তবে কোনও সাধারণ সহজ সমাধান নেই, তবে আপনি উপরের সমস্যাটিকে হ্রাস করতে কিছুটা সংখ্যক শর্তে কাটানো লাই পণ্য সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন ।

— জন
সূত্র

0

$e^{-\Delta t H}$

— জর্জ
সূত্র