অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর উল্টানোর জন্য সংখ্যা পদ্ধতি?

আমি সংখ্যায় নিম্নলিখিত অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর উল্টানোর চেষ্টা করছি:

F (y) = \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) f (x) d x

$F(y) = \int_{0}^{\infty} y\exp{\left[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\right]} I_0\left(xy\right)f(x)\;\mathrm{d}x$

সুতরাং প্রদত্ত আমার আনুমানিক যেখানে: $F(y)$ $f(x)$

$f(x)$ এবং প্রকৃত এবং ধনাত্মক $F(y)$ (এগুলি ক্রমাগত সম্ভাব্য বন্টন)
$x,y$ প্রকৃত এবং ধনাত্মক (এগুলি দৈর্ঘ্যের)

এই মুহুর্তে এটি করার জন্য আমার কাছে খুব অগোছালো এবং হিংস্র বল পদ্ধতি রয়েছে:

আমি এবং বিভিন্ন পয়েন্টের উপর স্প্লাইন সংজ্ঞায়িত করেছি , স্প্লাইন্ড পয়েন্টগুলির মানগুলি এলোমেলো নমুনা দ্বারা 'অনুমান' করা হয়, যা পূর্বাভাস । আমি লিখেছি একটি বেসিক জেনেটিক অ্যালগরিদম পূর্বাভাস এবং পরিমাপ করা অ্যারের মধ্যে পার্থক্য হ্রাস করে । আমি তখন নিয়ে যাব যে বিবর্তনের জন্য আমার উত্তর হিসাবে অ্যালগরিদম রূপান্তরিত হয়। $f(x)$ $F(y)$ $F(y)$ $f(x)$

এই পদ্ধতির কিছু সাধারণ ক্ষেত্রে মোটামুটি ভাল কাজ করে, তবে এটি আমার কাছে অগোছালো মনে হয় এবং বিশেষত দৃust় নয়।

এই সমস্যা সমাধানের আরও ভাল উপায় সম্পর্কে কেউ আমাকে গাইডেন্স দিতে পারেন?

আপনার সময় এবং সহায়তার জন্য ধন্যবাদ!

[কম্পিউটার বিজ্ঞানে এক্স-পোস্ট]

— CBowman
সূত্র

একটি মোটামুটি সহজ পদ্ধতি হ'ল ফাংশন স্পেসের ভিত্তি বেছে নেওয়া এবং অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরকে ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা। তারপরে আপনি কেবল ম্যাট্রিক্সটি উল্টাতে পারেন।

গাণিতিকভাবে, এটি কীভাবে কাজ করে তা এখানে: আপনার ভিত্তিক ফাংশন এর কিছু সেট প্রয়োজন । (এগুলিকেও সাধারণ করে তোলা ছাড়াই আপনি পালিয়ে যেতে পারেন তবে এই পদ্ধতিটি ব্যাখ্যা করা আরও সহজ Or) অর্থোন্নমাল অর্থ হল অভ্যন্তরীণ পণ্য , যেখানে $T_i(x)$ $\langle T_i,T_j\rangle = \delta_{ij}$

\begin{matrix} (1) & ⟨ T_{i}, T_{j} ⟩ \equiv \int_{a}^{b} W (x) T_{i} (x) T_{j} (x) d x = δ_{i j} \end{matrix}

$\langle T_i,T_j\rangle \equiv \int_a^b W(x) T_i(x)T_j(x)\,\mathrm{d}x = \delta_{ij}\tag{1}$

এখানে হ'ল কিছু ওজন ফাংশন। এটি এবং সীমা এবং আপনার পছন্দ । একবার আপনি কোন বেসড ফাংশনগুলির সেটটি ব্যবহার করবেন তা চয়ন করার পরে, আপনি আপনার প্রোগ্রামের সীমাবদ্ধতা এবং ওজন ফাংশনটিকে হার্ড কোড করতে পারেন। $W(x)$ $a$ $b$ $T_i$

অরথনোরালটিটি ব্যবহার করে, আপনি এই ভিত্তি ফাংশনের রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে এবং মতো যে কোনও ক্রিয়া প্রকাশ করতে পারেন : $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} (2) & f (x) & = \sum_{i} c_{i} T_{i} (x) & F (y) & = \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) \end{aligned}

$\begin{align} f(x) &= \sum_{i} c_i T_i(x) & F(y) &= \sum_{j} C_j T_j(y) \tag{2} \end{align}$

সহগ হিসাবে গণনা করা হয়

\begin{aligned} (3) & c_{i} & = ⟨ f, T_{i} ⟩ = \int_{a}^{b} W (x) f (x) T_{i} (x) d x \\ (4) & C_{j} & = ⟨ F, T_{j} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) F (y) T_{j} (y) d y \end{aligned}

$\begin{align} c_i &= \langle f,T_i\rangle = \int_a^b W(x) f(x)T_i(x)\,\mathrm{d}x \tag{3}\\ C_j &= \langle F,T_j\rangle = \int_a^b W(y) F(y)T_j(y)\,\mathrm{d}y \tag{4} \end{align}$

আপনি যাচাই করতে পারেন যে এই অভিব্যক্তিগুলি সহগের সংজ্ঞাগুলির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, eq। (2), এবং অরগনীয়তা, এক। (1)।

এখন, প্রতিটি ভিত্তি ফাংশনের রূপান্তর গণনা; আসুন একে বলি । $\tilde{T}_i(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) \equiv \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x

$\tilde{T}_i(y) \equiv \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x$

$\tilde{T}_i(y)$ একটি ফাংশন, এবং তাই আপনি এটিকে বেস ফাংশনগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে প্রকাশ করতে পারেন ঠিক যেমন আমরা এবং : $f(x)$ $F(y)$

{\tilde{T}}_{i} (y) = \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y)

$\tilde{T}_i(y) = \sum_k A_{ik}T_k(y)$

যেখানে ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলি determined একইভাবে নির্ধারিত হয় যা আমরা উপরে এবং পেয়েছি : $A_{ik}$ $c_i$ $C_j$

\begin{matrix} (5) & A_{i k} = ⟨ {\tilde{T}}_{i}, T_{k} ⟩ = \int_{a}^{b} W (y) {\tilde{T}}_{i} (y) T_{k} (y) d y \end{matrix}

$A_{ik} = \langle \tilde{T}_i, T_k\rangle = \int_a^b W(y) \tilde{T}_i(y)T_k(y)\,\mathrm{d}y\tag{5}$

অনুশীলনে, এটি একটি বরং চটকদার ডাবল ইন্টিগ্রাল, তবে আপনাকে কেবল এবং এর প্রতিটি সংমিশ্রনের জন্য একবার (কখনও) করতে হবে । আপনি সংখ্যার সাথে ইন্টিগ্রালগুলি করতে পারেন এবং তারপরে আপনার প্রোগ্রামের ফলাফলগুলির মানগুলি হার্ড-কোড করতে পারেন। (পার্শ্ব দ্রষ্টব্য: এবং এর চতুর পছন্দের আপনি এটি তৈরি করতে সক্ষম হবেন যাতে ইন্টিগ্রালটি প্রতীকীভাবে করা যেতে পারে this এটি সম্ভব কিনা আপনার রূপান্তরের উপর নির্ভর করে You আপনি এটি ফুরিয়ার দিয়ে করতে পারেন রূপান্তর করুন, তবে আমি ভাবতে চাইছি যে রূপান্তর সম্পর্কে আপনি এখানে জিজ্ঞাসা করছেন এটি সম্ভব নয়)) $i$ $k$ $T_i(x)$ $W(x)$

ম্যাট্রিক্স উপাদানগুলির এবং সহগ এবং , এবং মধ্যে সম্পর্ক একটি রৈখিক সিস্টেমে হ্রাস পায় $A_{ik}$ $c_i$ $C_j$ $f(x)$ $F(y)$

\begin{aligned} \overset{F (y)}{\overset{⏞}{\sum_{j} C_{j} T_{j} (y)}} & = \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) \overset{f (x)}{\overset{⏞}{\sum_{i} c_{i} T_{i} (x)}} d x \\ = \sum_{i} c_{i} \int_{0}^{\infty} y \exp [- \frac{1}{2} (y^{2} + x^{2})] I_{0} (x y) T_{i} (x) d x \\ = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k} (y) \end{aligned}

$\begin{align} \overbrace{\sum_{j} C_j T_j(y)}^{F(y)} &= \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)\overbrace{\sum_{i} c_i T_i(x)}^{f(x)}\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \int_0^\infty y \exp\biggl[-\frac{1}{2}(y^2 + x^2)\biggr]I_0(xy)T_i(x)\,\mathrm{d}x\\ &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k(y) \end{align}$

ভিত্তি ফাংশনগুলির অরথোগোনালটি দেওয়া, আপনি উভয় পক্ষের অভ্যন্তরীণ পণ্য taking নিয়ে কোনও বিশেষ গুণফল আলাদা করতে পারেন : $C_{\ell}$ $T_{\ell}$

\begin{aligned} ⟨ (\sum_{j} C_{j} T_{j}), T_{ℓ} ⟩ & = ⟨ (\sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} T_{k}), T_{ℓ} ⟩ \\ \int_{a}^{b} W (y) \sum_{j} C_{j} T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \int_{a}^{b} W (y) \sum_{i} c_{i} \sum_{j} A_{i k} T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} \int_{a}^{b} W (y) T_{j} (y) T_{ℓ} (y) d y & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} \int_{a}^{b} W (y) T_{k} (y) T_{ℓ} (y) d y \\ \sum_{j} C_{j} δ_{j ℓ} & = \sum_{i} c_{i} \sum_{k} A_{i k} δ_{k ℓ} \\ C_{ℓ} & = \sum_{i} c_{i} A_{i ℓ} \end{aligned}

$\begin{align} \left\langle \biggl(\sum_{j} C_j T_j\biggr), T_\ell\right\rangle &= \left\langle \biggl(\sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}T_k\biggr), T_\ell\right\rangle \\ \int_a^b W(y) \sum_{j} C_j T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \int_a^b W(y) \sum_{i} c_i \sum_{j} A_{ik}T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \int_a^b W(y) T_j(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\int_a^b W(y) T_k(y)T_\ell(y)\,\mathrm{d}y \\ \sum_{j} C_j \delta_{j\ell} &= \sum_{i} c_i \sum_{k} A_{ik}\delta_{k\ell} \\ C_\ell &= \sum_{i} c_i A_{i\ell} \end{align}$

অবশ্যই কেবল একটি ডামি সূচক তাই আমি এটিকে বলে ফিরে । $\ell$ $C_j$

এটি কেবল একটি লিনিয়ার বীজগণিত সমস্যা। একটি ভেক্টরের একটি উপাদান, যেমন , এবং a একটি ম্যাট্রিক্সের উপাদান। Eq ব্যবহার করে আপনি যে ফাংশনটি রূপান্তর করতে চেষ্টা করছেন তা থেকে আপনি গণনা করতে পারেন । (3), এবং আপনি know জানেন যে গণনা থেকে আপনি এই নির্দিষ্ট অবিচ্ছেদ্য রূপান্তরের জন্য করেছিলেন, eq। (৫), যাতে আপনি ম্যাট্রিক্সের গুণ (যা কম্পিউটারগুলি খুব ভাল) এর মাধ্যমে গুলি পেতে পারেন এবং ব্যবহারকারীদের থেকে ফাংশনটি পুনর্গঠন করতে পারেন । (2)। $C_j$ $c_i$ $A_{ij}$ $c_i$ $A_{ij}$ $C_j$ $F(y)$

বিপরীতে, বিপরীতমুখী রূপান্তর করতে, আপনি ফাংশনটি দিয়ে শুরু করুন , eq ব্যবহার করে এটি থেকে গুলি গণনা করুন । (4), এবং তারপরে আপনার লিনিয়ার সিস্টেমটি সমাধান করা দরকার $F(y)$ $C_j$

C_{j} = \sum_{i} c_{i} A_{i j}

$C_j = \sum_{i} c_i A_{ij}$

এটি ম্যাট্রিক্স এর বিপরীত দ্বারা উভয় পক্ষকে গুণিত করে করা যেতে পারে , তবে বাস্তবে এটি করার আরও কার্যকর উপায় রয়েছে। আপনার হাতে যে লিনিয়ার বীজগণিত গ্রন্থাগার রয়েছে তার লিনিয়ার সিস্টেম সলভার ব্যবহার করুন। $A$

মনে রাখবেন যে আমি এ পর্যন্ত যা লিখেছি তার সমস্ত কিছুই , , ইত্যাদির উপরে অঙ্কের সীমা ছাড়িয়ে গেছে । অনুশীলনে, আপনাকে কিছু সীমা নির্বাচন করতে হবে, থেকে (আপনি নির্বাচন করেন ), যেমন আপনার যে কোনও মুখোমুখি হতে পারে এটি এর রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা যথেষ্ট ভালভাবে হতে পারে , এবং থেকে মতো একটি পরিসীমা যাতে কোনও রৈখিক সংমিশ্রণ দ্বারা যথেষ্ট ভালভাবে । বেছে নেওয়া সম্ভবত সবচেয়ে সহজ $i$ $j$ $1$ $N$ $N$ $f(x)$ $T_1(x),\ldots,T_N(x)$ $1$ $M$ $F(y)$ $T_1(y),\ldots,T_M(y)$ $M = N$ । এখানে, "যথেষ্ট ভাল" অর্থ যা আপনার নিজের উপর নির্ভর করে। সাধারণত, আপনি এবং যত বড় করবেন আপনার অনুমানের পরিমাণটি তত ভাল হবে, তবে আপনার গণনাটি আরও মেমরি (এবং সময়) করতে হবে। মনে রাখবেন যে আপনি নিরূপণ করা প্রয়োজন কোফিসিয়েন্টস এবং ম্যাট্রিক্স জন্য আপনার দরকার হবে থেকে গণনা করা কোফিসিয়েন্টস, পর্যন্ত । $M$ $N$ $N$ $c_i$ $A$ $M\times N$ $A_{11}$ $A_{NM}$

সীমাবদ্ধ ব্যবধানে সংজ্ঞায়িত ফাংশনগুলির জন্য যা রৈখিকভাবে উদ্ধার করা যায় , চেবিশেভ একটি সাধারণ পছন্দ । এমন একটি ধারণা রয়েছে যার মধ্যে চেবিশেভ বহুবর্ষগুলি নির্দিষ্ট সংখ্যক পদ ব্যবহার করে প্রদত্ত ফাংশনটির সর্বাধিক সঠিক অনুমান করে, যা তাদের এই ধরণের প্রয়োগের জন্য বিশেষভাবে উপযুক্ত করে তোলে। আপনি যদি আপনার সম্ভাবনা বিতরণের ডোমেনটি ছাঁটাই করতে পারেন তবে আপনি সেগুলি ব্যবহার করতে সক্ষম হতে পারেন। তারা ওজন এবং সীমা এবং । (মনে রাখবেন যে তারা প্রায়শই দেওয়া হয় সেই ফর্মটিতে, স্বাভাবিককরণ এমন such $[-1,1]$ $T_i$ $W(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ $a = -1$ $b = 1$ $\langle T_i, T_j\rangle = \delta_{ij}\pi/2$ জন্য এবং , যাতে আপনি আপনার কোডে এই জন্য অ্যাকাউন্ট করতে হতে পারে।) $i = j\neq 0$ $\langle T_0, T_0\rangle = \pi$

— ডেভিড জেড
সূত্র