নিউটন-ক্রিলোভ কখন উপযুক্ত সমাধানকারী নয়?

সম্প্রতি আমি স্কিপি থেকে বিভিন্ন অ-লিনিয়ার সলভারগুলির সাথে তুলনা করছি এবং বিশেষত স্কিপি কুকবুকের নিউটন-ক্রিলোভ উদাহরণ দিয়ে মুগ্ধ হয়েছি যেখানে তারা প্রায় 20 লাইনের কোডে অ-রৈখিক প্রতিক্রিয়া শব্দটির সাথে একটি দ্বিতীয় ক্রম ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান করে।

আমি অর্ধপরিবাহী হিটারোস্ট্রাকচারের জন্য অ-রৈখিক পোইসন সমীকরণ ( যাকে পইসন-বোল্টজম্যান সমীকরণও বলা হয় , এই নোটগুলির পৃষ্ঠা 17 দেখুন) সমাধান করার জন্য উদাহরণ কোডটি সংশোধন করেছি , যার রূপ রয়েছে,

\frac{ঘ^{2} φ}{ঘ {এক্স}^{2}} - ট (এক্স) (পি (এক্স, φ) - এন (এক্স, φ) + + {এন}^{+ +} (এক্স)) = 0

$\frac{d^2\phi}{dx^2} - k(x) \left(p(x,\phi) - n(x,\phi) + N^{+}(x)\right) = 0$

(এটি সেই অবশিষ্টাংশ যা সলভারকে দেওয়া হয়))

এটি একটি ইলেক্ট্রোস্ট্যাটিক্স সমস্যা যেখানে এবং ফর্মের জন্য ননলাইনী ফাংশন । এখানে বিশদটি গুরুত্বপূর্ণ নয়, তবে মূল কথাটি হ'ল অ-রৈখিক ক্রিয়াকলাপটি তাত্পর্যপূর্ণভাবে পরিবর্তিত হয় সুতরাং অবশিষ্টাংশগুলি একটি বিশাল পরিসরে পরিবর্তিত হতে পারে ( $n(x,\phi)$ $p(x,\phi)$ $n_i(x) e^{-(E_i(x,\phi) - E_f)}$ $\phi$ $10^{-6} - 10^{16})$ সামান্য পরিবর্তনের সঙ্গে । $\phi$

আমি এই সমীকরণটিকে স্কিপি-র নিউটন-ক্রিলোভের সাথে সংখ্যায়িতভাবে সমাধান করি, তবে এটি কখনই রূপান্তরিত হবে না (বাস্তবে এটি জ্যাকবীয়দের গণনা করে সর্বদা একটি ত্রুটি হিসাবে রিপোর্ট করবে)। আমি নিউটন-ক্রিলোভ সলভার থেকে fsolve (যা MINPACK হাইবার্ডের উপর ভিত্তি করে) এ চলেছি এবং এটি প্রথমবার কাজ করেছিল!

নিউটন-ক্রিলোভ কিছু সমস্যার পক্ষে উপযুক্ত নয় এমন সাধারণ কারণ রয়েছে কি? ইনপুট সমীকরণগুলি কি কোনওভাবে কন্ডিশনার করা দরকার?

মন্তব্য করার জন্য আরও তথ্যের প্রয়োজন হতে পারে তবে fsolve কেন এই ক্ষেত্রে কাজ করেছে বলে আপনি মনে করেন?

— boyfarrell
সূত্র

জ্যাকবীয়দের সাথে নিউটন-ক্রিলোভ ব্যর্থ হওয়ার ক্ষেত্রেও আমার একই সমস্যা ছিল এবং আমি দেখতে পেয়েছি যে "এলজিম্রেস" থেকে কেবল "গিম্রেস" ( sol = newton_krylov(func, guess, method='gmres')) পদ্ধতি পরিবর্তন করে সমস্যাটি স্থির করা হয়েছে। কেন ঠিক তা নিশ্চিত নয়, তবে এই সমস্যা সহ অন্য যে কেউ একই কাজটি বিবেচনা করতে পারে।

— আর্থার ডেন্ট

দুটি সমস্যা রয়েছে যা আপনার মুখোমুখি হতে পারে।

মন্দ কন্ডিশনার

প্রথমত, সমস্যাটি শর্তসাপেক্ষ, তবে আপনি যদি কেবল একটি অবশিষ্ট অংশ সরবরাহ করেন তবে জ্যাকবীয়ের ক্রিয়াটি পাওয়ার জন্য নিউটন-ক্রিলোভ আপনার সীমাবদ্ধতার পরিমাণ সীমাবদ্ধ রেখে সীমাবদ্ধ করে দেবেন:

জে [এক্স] Y \approx \frac{এফ (এক্স + + ε Y) - এফ (এক্স)}{ε}

$J[x] y \approx \frac{F(x+\epsilon y) - F(x)}{\epsilon}$

$10^{16}$

নোট করুন যে একই বিষয়গুলি সীমাবদ্ধ ভিন্নতা ছাড়াই কোয়াস্টি-নিউটন পদ্ধতির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। নন-কমপ্যাক্ট অপারেটরগুলির সমস্যার জন্য সমস্ত স্কেলযোগ্য পদ্ধতিতে (যেমন, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ) পূর্বশর্তকরণের জন্য অবশ্যই জ্যাকবীয় তথ্য ব্যবহার করতে হবে।

সম্ভবত এটি fsolveজ্যাকবীয় তথ্য ব্যবহার করেন নি বা এটি একটি ডোগল পদ্ধতি বা একটি শিফট ব্যবহার করেছে "গ্রেডিয়েন্ট বংশোদ্ভূত" পদ্ধতিতে অগ্রগতি করার জন্য, যদিও মূলত একক জ্যাকবিয়ান (যেমন, সীমাবদ্ধ ভিন্নতার থেকে প্রচুর "শব্দ" পাওয়া যায়) সীমাবদ্ধ নির্ভুল গণিত)। এটি পরিমাপযোগ্য নয় এবং fsolveসমস্যার আকার বাড়ার সাথে সাথে সম্ভবত এটি ধীর হয়ে যায়।

বিশ্বায়ন

লিনিয়ার সমস্যাগুলি যদি সঠিকভাবে সমাধান করা যায় তবে আমরা লিনিয়ার সমস্যা (ক্রিলোভ) সম্পর্কিত সমস্যাগুলি বাতিল করতে পারি এবং অনৈখিকতার কারণে সেগুলিতে মনোনিবেশ করতে পারি। স্থানীয় মিনিমা এবং ননমোথের বৈশিষ্ট্যগুলি ধীরে ধীরে একত্রিত হওয়া বা স্থবিরতার কারণ। পোইসন-বোল্টজমান একটি মসৃণ মডেল তাই আপনি যদি যথেষ্ট ভাল প্রাথমিক অনুমান শুরু করেন, নিউটন চতুর্ভুজ রূপান্তরিত করবে। চূড়ান্ত পুনরাবৃত্তির জন্য একটি উচ্চমানের প্রাথমিক অনুমান উত্পাদন করার জন্য বেশিরভাগ বিশ্বায়ন কৌশলগুলি এক ধরণের ধারাবাহিকতা জড়িত। উদাহরণগুলির মধ্যে গ্রিড ধারাবাহিকতা (যেমন, ফুল মাল্টিগ্রিড), প্যারামিটার ধারাবাহিকতা এবং সিউডোট্রান্সিয়েন্ট ধারাবাহিকতা অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। পরবর্তীটি স্থির-রাষ্ট্রীয় সমস্যার ক্ষেত্রে সাধারণত প্রযোজ্য এবং কিছু বিশ্বব্যাপী রূপান্তর তত্ত্ব সরবরাহ করে, দেখুন কফি, কেলি এবং কেইস (২০০৩) । একটি অনুসন্ধান এই কাগজটি সক্রিয় করে, যা আপনার পক্ষে কার্যকর হতে পারে:শেস্তাকভ, মিলোভিচ, এবং নয় (২০০২) সিউডো-ট্রান্সিয়েন্ট ধারাবাহিকতা এবং সসীম উপাদান পদ্ধতি ব্যবহার করে ননলাইনার পোইসন -বোল্টজমান সমীকরণের সমাধান । সিউডোট্রান্সিয়েন্ট ধারাবাহিকতা লেভেনবার্গ-মার্কুয়ার্ড অ্যালগরিদমের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত।

আরও পড়া

— জেড ব্রাউন
সূত্র