আকৃতি ফাংশন এর মূল ব্যাখ্যা

Question

আমি আমার স্নাতক কোর্সগুলির সময় আমি যা করতাম তার তুলনায় আমি আরও কাঠামোগত ভিত্তিতে এফইএম অধ্যয়ন শুরু করেছি। আমি এটি করছি কারণ, আমি বাণিজ্যিক (এবং অন্যান্য অ-বাণিজ্যিক) সফ্টওয়্যারগুলিতে "এফইএম" ব্যবহার করতে পারি, তবুও আমি সত্যিকার অর্থে ভূগর্ভস্থ কৌশলগুলি সমর্থন করে যা পদ্ধতিটিকে সমর্থন করে। আমি এই কারণেই এখানে আসছি, অন্তত কৌশলটির অভিজ্ঞ ব্যবহারকারীর জন্য, মৌলিক প্রশ্ন।

এখন আমি জিয়েনকুইচসের "ফাইনাইট এলিমেন্ট মেথড-দ্য বেসিকস" নামে একটি বেশ জনপ্রিয় (আমার মনে হয়) এবং "ইঞ্জিনিয়ার-বান্ধব" বই পড়ছি। আমি প্রথম পৃষ্ঠা থেকে এই বইটি পড়ছি তবে জিনকউইচস যেভাবে ব্যাখ্যা করেছেন আমি সেভাবে আকারের ফাংশনের ধারণাটি বুঝতে পারি না।

আমি যে জিনিসগুলি পড়েছি তার থেকে আমি যা জানি, তা হ'ল "স্টিফনেস" ম্যাট্রিক্স, যা ফলাফলের সাথে অজানা সম্পর্কিত হয় ( ইন: ), এর উপাদানগুলি "নোডের মধ্যে সম্পর্ক" থেকে রয়েছে, এবং যদি সেই "সম্পর্ক" পরিবর্তিত হয়, (যদি আমরা এটিকে উচ্চতর অর্ডার ইন্টারপোল্যান্টে পরিবর্তন করি) তবে সেই কঠোরতার ম্যাট্রিক্স পরিবর্তিত হয়, কারণ নোডগুলির মধ্যে সম্পর্ক হয়।$A$$Ak=b$

তবে এই বইটিতে, সংজ্ঞাটি আমার পক্ষে বেশ ঝাপসা, কারণ কিছু সময় এটিতে বলা হয়েছে যে আপনি নির্বিচারে ফাংশনটি বেছে নিতে পারেন, যেমন, পরিচয় ম্যাট্রিক্স:

আমি কেবলমাত্র এই ব্লগটিতে ব্যাখ্যা পেয়েছি তবে এটি এখনও আমার পক্ষে পরিষ্কার নয়। সুতরাং, কেউ আমাকে শেপ ফান্টন কী এবং স্টিফনেস ম্যাট্রিক্সে "এটি" রাখার জন্য কীভাবে করা হয় তার একটি সহজ স্পষ্ট ব্যাখ্যা দিতে পারেন?

Comments

এটি মূলত কিছু উপাদানগুলির মধ্যে সমাধান কীভাবে পরিবর্তিত হয় তার প্রায় অনুমান is উদাহরণস্বরূপ, একক, ছোট 1D লিনিয়ার উপাদান (একটি বার / রডের কথা ভাবেন) এটিকে ধরে নেওয়া যুক্তিযুক্ত যে আপনি যখন এক প্রান্ত থেকে অন্য প্রান্তে চলে যাবেন, সমাধান (যেমন, স্থানচ্যুতি বা তাপমাত্রা) রৈখিকভাবে পরিবর্তিত হবে। অবশ্যই আপনি উচ্চতর অর্ডার বহুপদী (লিনিয়ার পরিবর্তে) চয়ন করেন। আশা করি এইটি কাজ করবে.

— stali

আমি সরাসরি এটার উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করতে যাচ্ছি না, তবে আমি এফইএম-এর সবচেয়ে ভাল ব্যাখ্যাটি দেখেছি যে জাল-মুক্ত পদ্ধতিতে একটি বইতে আপনি এটির অধিকার পেতে পারেন তা হ'ল (হাস্যকরভাবে)। মেশফ্রি পদ্ধতি: সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতি / জিআর লিউ ছাড়িয়ে যাওয়া।

— নিক

Answer 1

আমি সর্বদা সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিগুলি বর্ণনা করার পদ্ধতির সন্ধান পেয়েছি যা বিচ্ছিন্ন রৈখিক সিস্টেমে ফোকাস করে এবং অহেতুক বিভ্রান্তিকর পিছনে কাজ করে। এটি অন্য দিকে যেতে আরও স্পষ্ট, এমনকি যদি এটিতে শুরুতে কিছুটা গাণিতিক স্বীকৃতি জড়িত থাকে (যা আমি সর্বনিম্ন রাখার চেষ্টা করব)।

ধরে নিন যে আপনি প্রদত্ত এবং অজানা জন্য একটি সমীকরণ সমাধান করার চেষ্টা করছেন , যেখানে একটি লিনিয়ার অপারেটর যা ফাংশনগুলিকে মানচিত্র করে (উদাহরণস্বরূপ, একটি ডোমেনে প্রতিটি বিন্দুতে স্থানচ্যুতি বর্ণনা করে ) অন্য স্থানে ফাংশন (উদাহরণস্বরূপ, প্রয়োগকৃত বাহিনী বর্ণনা করে)। যেহেতু ফাংশন স্পেস সাধারনত অসীম-মাত্রিক হয় তাই এই সিস্টেমটি সংখ্যার সাথে সমাধান করা যায় না। মান পদ্ধতির তাই প্রতিস্থাপন করতে হয় একটি দ্বারা সসীম-মাত্রিক subspace এবং জন্য বর্ণন পরিতৃপ্ত$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$। এটি এখনও সীমার জায়গার কারণে সীমাহীন মাত্রাযুক্ত (যা আমরা সরলতার জন্য হিসাবেও ধারনা করব ), সুতরাং আমরা কেবল অস্থায়ী কে অর্থেগোনাল হতে - বা সমতুল্যভাবে, প্রত্যেক ভিত্তিতে ভেক্টর জন্য মধ্যে । যদি আমরা এখন এই ভিত্তি ভেক্টরগুলির একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লিখি তবে এই সংমিশ্রণে অজানা সহগের জন্য আমরা একটি রৈখিক ব্যবস্থা রেখে । ( পদগুলি ম্যাট্রিক্স of এর এন্ট্রি$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

Answer 2

স্ট্রাকচারাল মেকানিক্সের এফইএম-এর ইঞ্জিনিয়ারিং পদ্ধতির ক্ষেত্রে, এটি কীভাবে উপস্থাপিত হয়, আপনি অনুভূতি হারাবেন যে আপনি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণগুলি সমাধান করছেন ।

তারা আপনাকে এই ম্যাট্রিকগুলি দেখায়, তারা কিছু শারীরিক অর্থ সংযোজন করে এবং আমার মতে এটি আপনাকে ক্ষেত্রটির জন্য সন্দেহজনক শারীরিক স্বীকৃতি বিকাশের দিকে নিয়ে যায়।

এটি জ্যামিতির শর্তাবলী বিষয়টি সম্পর্কে ভাবতে সহায়ক হতে পারে। PDE এর জন্য একটি সীমানা মান সমস্যার সমাধানটি কিছু আকার। ষষ্ঠ আর্নল একসময় এই ক্ষেত্রের নিউটনের কৃতিত্বের প্রশংসা করে প্যারাফ্রেজ করার জন্য বলেছিলেন - তিনি বিস্মৃত সমীকরণের ক্ষেত্র তৈরি করে আমাদেরকে প্লেনের ও বর্গের পৃষ্ঠের বক্ররেখার জ্যামিতিক সমস্যাগুলির জন্য প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের সমস্যাগুলি সংস্কার করার অনুমতি দিয়ে একটি দুর্দান্ত কাজ করেছিলেন।

এফইএম-এ আপনি সমাধানটি আনুমানিক (এফডি এবং এফভিএম-এ আপনি পরিচালন সমীকরণের আনুমানিক)।

বরিস গিলিগরিভিচ গ্যালারকিন প্রবেশ করুন। বিজি গ্যালারকিন কী বললেন?

তিনি বলেছিলেন: “ আমি আপনাকে চাই, একই ভিত্তি ফাংশনগুলির সাথে অবশিষ্টাংশ তৈরি করতে সক্ষম না হয়ে আপনি সমাধানটি তৈরি করতে ব্যবহার করেছিলেন। "

(পিএস এই গল্পটি পুরোপুরি সত্য নয়, এবং আমি আমার পাঠকদেরকে অনুরোধ করছি (বুবনভ-) গ্যালারকিন পদ্ধতিটি যদি বিদ্যমান থাকে তবে এর আরও ভাল ব্যাখ্যা খুঁজে বের করুন))

বেসিস ফাংশন বা ট্রায়াল ফাংশনগুলি হ'ল আপনি সমাধান তৈরিতে ব্যবহার করেন। সমাধানের আকারটি আনুমানিকভাবে ব্যবহার করতে আপনি এগুলি ব্যবহার করুন।

$Ku=f$

$Ku=f$

Answer 3

"আকৃতি ফাংশন" সম্পর্কে সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হ'ল তারা বর্ণনা করে যে আপনি নির্ভরশীল পরিবর্তনশীল (গুলি) কীভাবে গণনা করতে চান (উদাহরণস্বরূপ স্থানচ্যুতি) উপাদানটির স্থানিক স্থানাঙ্কের একটি ফাংশন হিসাবে (যেমন x এবং y) পরিবর্তিত হয় of কিছু অজানা স্কেলার পরামিতি।

প্রায়শই আকৃতির ফাংশনগুলি সাধারণ বহুভুজ হয় এবং স্কেলার পরামিতিগুলি উপাদান নোডগুলিতে নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের মান।

এই আকারের ফাংশনগুলি ব্যবহার করে সসীম উপাদান সমীকরণ গঠনের জন্য কয়েকটি অন্যান্য মৌলিক ধারণা যেমন আপনি সমাধানের চেষ্টা করছেন আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি "দুর্বল রূপ" প্রতিষ্ঠার মতো।

সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতির সাথে যুক্ত অনেক অপ্রয়োজনীয় "রহস্যবাদ" তাই আমি মৌলিক বিষয়গুলির সম্পর্কে পুঙ্খানুপুঙ্খ বোঝার চেষ্টা করার আপনার পদ্ধতিকে উত্সাহিত করি।

Answer 4

আমার নিন এ বক্তৃতা 4 হয় http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html । বিশেষত, এটি আপনাকে একটি ধারণা দেয় যে আমরা সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিটি ব্যবহার করার সময় আমরা সাধারণত কেন টুপি ফাংশনগুলি বেছে নিই - যথা, কারণ তারা স্পারসিটির গুরুত্বপূর্ণ ধারণা নিয়ে যায়, যদিও বেসড ফাংশনের অন্যান্য অনেক পছন্দ থাকতে পারত সমানভাবে বৈধ।

Answer 5

প্রতিটি উপাদান এর সাথে একটি স্থানচ্যুত মডেল যুক্ত করেছে যা সাধারণ মানের সহগ এবং স্বাধীন ভেরিয়েবলগুলির (x, y, z) ক্ষেত্রে ক্ষেত্রের পরিবর্তনশীল (নির্ভরশীল ভেরিয়েবল) এর প্রকরণকে প্রকাশ করে উদাহরণস্বরূপ: 2 টি নোডযুক্ত রৈখিকের জন্য 1D u (x) = a0 + a1x উপাদান ন (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 3 টি নোডেড চতুর্ভুজ উপাদান এবং এর জন্য। এখানে এআইগুলি সাধারণ মানের সহগ হয় তারপরে আমরা এআই গুলি নির্মূল করি এবং ফিল্ড ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রের পরিবর্তনের আকৃতি ফাংশন এবং নোডাল মানগুলির ক্ষেত্রে প্রকাশ করি। উদাহরণস্বরূপ: u (x) = N1 u1 + N2 u2 ক্ষেত্রের ভেরিয়েবলের নোডাল মানের সাথে ফিল্ড ভেরিয়েবলের প্রকরণের সাথে সম্পর্কিত ফাংশনটিকে "শেপ ফাংশন" বলা হয়। শেপ ফাংশনগুলির সংখ্যা নোডের সংখ্যা এবং নোডের প্রতি ভেরিয়েবলের সংখ্যার উপর নির্ভর করবে। আকৃতি ফাংশনগুলি তাই ফাংশন হিসাবে দেখা যেতে পারে, যা উপাদানটির অভ্যন্তরীণ পয়েন্টগুলিতে প্রতিটি নোডাল মানের অবদানকে বোঝায়। দুটি নোডযুক্ত উপাদানগুলির জন্য নোড 1 এ এন 1 এর অবদান হ'ল unityক্য এবং এন 2 এর শূন্য।

নোড 2 এ এন 2 এর অবদান হ'ল unityক্য এবং এন 1 এর শূন্য।

মৌলের মধ্যবিন্দুতে উভয় নোডের সমান ওজন বা প্রভাব থাকে। সুতরাং আকৃতির ফাংশনগুলি কেবলমাত্র ক্ষেত্রের পরিবর্তনশীল উপাদানের তুলনায় কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা তাও নির্দেশ করে না তবে ক্ষেত্রের ভেরিয়েবলের প্রতিটি নোডাল মানের উপাদানের অভ্যন্তরীণ বিন্দুতে কতটা প্রভাব রয়েছে তাও নির্দেশ করে। শুভ শেখা :)

Answer 6

আমি আরও বিশদে এখানে আকৃতির ফাংশনগুলিও ব্যাখ্যা করেছি: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-exPLined-for.html

এটি রেলেইগ-রিটজ পদ্ধতি কীভাবে কাজ করে তা ভিজ্যুয়াল পদ্ধতিতে ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা করে explains এই নিবন্ধটি লিখতে অবশেষে আমাকে আকৃতির ফাংশনগুলি বুঝতে সহায়তা করে।

Answer 7

আমার বোঝাপড়া অনুসারে .. শেপ ফাংশনগুলি ফিল্ড ভেরিয়েবল এবং নোডাল পয়েন্টের মধ্যে সম্পর্ক ছাড়া কিছুই নয়।

ধরে নিন যে আমাদের পৃথিবী বাহ্যিক চাপের সাথে চাপ সৃষ্টি হচ্ছে এবং আমাদের পৃথিবী ক্র্যাক করতে চলেছে। বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতিতে আমরা অনেক সূত্র ব্যবহার করি এবং জানতে পারি যে কিছু অংশে (যেমন ধরুন এশিয়া মহাদেশ) পৃথিবীটি ক্র্যাক করতে চলেছে। এফইএম পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা পৃথিবীকে বিভিন্ন দেশ, রাজ্য এবং শহরগুলিতে বিভক্ত করি, আমরা প্রতিটি নগর জাল করি এবং শেষ পর্যন্ত সমস্ত শহরকে পৃথিবী নামে একটি পৃথিবী গঠনে যুক্ত করি। আকৃতি ফাংশনগুলি কীটি যা মেশানো শহরগুলির মধ্যে একটি রাজ্য এবং দেশ গঠনের জন্য এবং শেষ পর্যন্ত বিশ্ব গঠনের জন্য একটি সেতু সরবরাহ করে। এটি সেই লিঙ্ক যা জালকে সংযুক্ত করে। এটি সম্পন্ন হয়ে গেলে লোড প্রয়োগ করা হয় এবং সঠিক জায়গাটি খুঁজে পাওয়া যায় যেখানে ক্র্যাক শুরু হয় এবং এটি আরও শক্তিশালী হতে পারে।

আশা করি এটি আপনাকে সাহায্য করবে

Answer 8

শেপ ফাংশন সম্পর্কে আমি যা বুঝি তা হ'ল, এটি একই আকৃতির ফাংশনের সাথে এলিমেন্ট ডিসপ্লেসমেন্টের সাথে জ্যামিতিক নোডাল স্থানাঙ্ককে সংযুক্ত করার বিষয়ে।

একটি 1 ডি কেস বিবেচনা করুন। এটিতে দুটি নোড সহ একটি বার শেষ হয়।

আমি যখন এই উপাদানটিকে নোডাল স্থানাঙ্কের সাথে সংযুক্ত করি তখন আমি ইন্টারপোলেশন ফাংশনটির সাহায্যে এই উপাদানটির যে কোনও স্থানে স্থানচ্যুতি জানতে পারি।

সুতরাং, মূলত আকৃতি ফাংশনগুলি হল প্রশংসনীয় উপায়ে মহাকাশের যে কোনও বিন্দুতে বিকৃতি খুঁজে পেতে আমরা যে অনুমানগুলি করি।

Comments

সায়িকম্প্প.এসই তে স্বাগতম। আমি মনে করি আপনি আরও গাণিতিক কঠোরতা বা কিছু উদাহরণ দিয়ে আপনার উত্তরটি উন্নত করতে পারেন।

— নিকোগুয়ারো

Answer 9

শেপ ফাংশন হ'ল ফাংশন যা উপাদানটির যে কোনও বিন্দুতে স্থানচ্যুতিকে উপাদানটির নোডগুলির স্থানচ্যুতিতে সম্পর্কিত করে। আকৃতির ফাংশনের বনাম পয়েন্টগুলির একটি গ্রাফ উপাদানটির বিকৃত "আকৃতি" দেখায় এবং তাই নাম আকৃতির ফাংশনটি দেখায়।