34

আমি এক মাত্রায় সাধারণ সম্ভাব্যতার বাইরে ওয়েভপ্যাককেটগুলি ছড়িয়ে দেওয়ার কিছু সাধারণ সিমুলেশন চালাতে চাই।

একক কণার জন্য দ্বিমাত্রিক টিডিএসইয়ের সংখ্যাগত সমাধান করার সহজ উপায়গুলি কি? আমি জানি যে, সাধারনত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে সংহত করার জন্য নির্বোধ পন্থাগুলি ব্যবহার করার চেষ্টা করা দ্রুত দুর্যোগে শেষ হতে পারে। আমি তাই আলগোরিদিম খুঁজছি যা

সংখ্যাগতভাবে স্থিতিশীল,
বাস্তবায়নের জন্য সহজ, বা সহজে কোড-লাইব্রেরি বাস্তবায়নযোগ্য রয়েছে,
যুক্তিসঙ্গত দ্রুত চালান, এবং আশা করি
বুঝতে অপেক্ষাকৃত সহজ।

বর্ণালী পদ্ধতি এবং বিশেষত এমন পদ্ধতিগুলির তুলনায় আমি তুলনামূলকভাবে পরিষ্কার হতে চাই যা যথাসময়ে সময়-স্বতন্ত্র শ্রাদিনগার সমীকরণ সমাধান করার চেয়ে কিছুটা বেশি। তবে, আমি সিউডো বর্ণালী পদ্ধতিগুলিতে আগ্রহী যা বি-স্প্লিনগুলি বা হোয়টনট ব্যবহার করে না। পদ্ধতিটি যদি সময়-নির্ভর সম্ভাবনা নিতে পারে তবে তা অবশ্যই বোনাস।

অবশ্যই, এই জাতীয় কোনও পদ্ধতির সর্বদা অনেকগুলি অসুবিধা থাকবে, তাই আমি সেগুলি সম্পর্কে শুনতে চাই। কখন কাজ হয় না? সাধারণ সমস্যাগুলি কী কী? এটি কোন উপায়ে ঠেলা যায় এবং কোন উপায়ে তা করা যায় না?

quantum-mechanics computational-physics

— এমিলিও পিসান্টি
সূত্র

1

সংশ্লিষ্ট: physics.stackexchange.com/q/12614 এবং physics.stackexchange.com/q/12199

— কাইলি Kanos

@ এমিলিওপিসান্টি আমি এসএসএফএম-এর আমার লেখার ক্ষেত্রে ত্রুটিগুলির একটি আলোচনা যুক্ত করেছি: আমি লক্ষ্য করেছি (আমার উত্তর লেখার পরে, দুঃখিত) আপনি

থ্রেড আপ পরিষ্কার; পদার্থবিজ্ঞান থেকে সাময়িক আলোচনা আলোচনা সরিয়ে।

— জেফ অক্সবেরি

1

আমি এখানে শুরু করার পরামর্শ দিচ্ছি, যদিও এখানে আরও অনেক সাম্প্রতিক কাজ রয়েছে: সময় নির্ভর শ্রাইডিনগার সমীকরণের জন্য বিভিন্ন প্রচারের পরিকল্পনার একটি তুলনা ।

— ডেভিড কেচসন

3

@ জিফঅক্সবেরি আপনি কি এই মন্তব্যগুলির একটি স্ক্রিনশট উপলব্ধ করতে পারবেন?

— এমিলিও পিসান্টি

24

শ্রোয়েডাঙ্গার সমীকরণটি কার্যকরভাবে একটি বিক্রিয়া-সংক্রমণ সমীকরণ (সমস্ত ধ্রুবক 1)। এটি যখন কোনও আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের কথা আসে তখন এটি সমাধানের দুটি উপায় রয়েছে:

\begin{matrix} (1) & i \frac{\partial ψ}{\partial t} = - \nabla^{2} ψ + V ψ \end{matrix}

$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$

অন্তর্নিহিত পদ্ধতি (পরামর্শ: বৃহত সময়ের পদক্ষেপ এবং নিঃশর্ত স্থিতিশীল, বিঘ্নিতকরণ: ম্যাট্রিক্স সলভার প্রয়োজন যা খারাপ ডেটা দিতে পারে)
সুস্পষ্ট পদ্ধতি (পরামর্শ: বাস্তবায়নে সহজ, অস্তিত্ব: স্থিরতার জন্য ছোট টাইমস্টেপগুলি প্রয়োজন)

প্যারাবোলিক সমীকরণের জন্য ( লিনিয়ার এবং 2 য় ক্রম ), অন্তর্নিহিত পদ্ধতিটি প্রায়শই ভাল পছন্দ। কারণ হ'ল সুস্পষ্ট পদ্ধতির স্থায়িত্বের শর্তের জন্য , যা খুব ছোট হবে। অন্তর্নিহিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে আপনি এই সমস্যাটি এড়াতে পারবেন, সময়-ধাপে এর কোনও সীমাবদ্ধতা নেই (যদিও বাস্তবে আপনি সাধারণত এটিকে অত্যন্ত বড় করেন না কারণ আপনি কিছু পদার্থবিজ্ঞান হারাতে পারেন)। আমি এরপরে যা বর্ণনা করছি তা হ'ল ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন পদ্ধতি , একটি সাধারণ দ্বিতীয় ক্রম নির্ভুল (স্থান এবং সময়) অন্তর্নিহিত স্কিম। $t$ $x$ $dt\propto dx^2$

গোড়ায়

একটি PDE গণনামূলক সমাধান করার জন্য, আপনাকে এটির বিচক্ষণতা তৈরি করতে হবে (ভেরিয়েবলগুলি একটি গ্রিডের সাথে ফিট করে তুলুন)। সর্বাধিক সোজা-ফরোয়ার্ড একটি আয়তক্ষেত্রাকার, কার্টেসিয়ান গ্রিড। এখানে, সময় সূচক প্রতিনিধিত্ব করে (এবং সবসময় একটি সুপার-স্ক্রিপ্ট হয়) এবং অবস্থান ইনডেক্স (সবসময় একটি সাবস্ক্রিপ্ট)। অবস্থান-নির্ভরশীল ভেরিয়েবলের জন্য টেলর সম্প্রসারণ নিয়োগের মাধ্যমে সমীকরণ (1) $n$ $j$ যেখানে আমরা ধরে নিয়েছি যে। এরপরে যা ঘটে তা হ'ল স্থানিক ও অস্থায়ী সূচকগুলির একটি গ্রুপিং (আপনি গণিতে দ্বিগুণ পরীক্ষা করতে চাইতে পারেন):

i \frac{ψ_{j}^{n + 1} - ψ_{j}}{d t} = - \frac{1}{2} (\frac{ψ_{j + 1}^{n + 1} - 2 ψ_{j}^{n + 1} + ψ_{j - 1}^{n + 1}}{d x^{2}} + \frac{ψ_{j + 1}^{n} - 2 ψ_{j}^{n} + ψ_{j - 1}^{n}}{d x^{2}}) + \frac{1}{2} (V_{j} ψ_{j}^{n + 1} + V_{j} ψ_{j}^{n})

$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$

V = V (x)

$V=V(x)$

এই সমীকরণটির রূপ রয়েছে

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{2} \frac{d t}{d x^{2}} ψ_{j + 1}^{n + 1} + (i - \frac{d t}{d x^{2}} - \frac{1}{2} V_{j}) ψ_{j}^{n + 1} + \frac{1}{2} \frac{d t}{d x^{2}} ψ_{j - 1}^{n + 1} = i ψ_{j}^{n} - \frac{1}{2} \frac{d t}{d x^{2}} (ψ_{j + 1}^{n} - 2 ψ_{j}^{n} + ψ_{j - 1}^{n}) + \frac{1}{2} V_{j} ψ_{j}^{n} \end{matrix}

$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$

যাকে ত্রিভুজ ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং এরএকটি সলিউশন রয়েছে(প্লাস ওয়ার্কিং উদাহরণ, আমার লিখিত একটি সহ!)। সুস্পষ্ট পদ্ধতিটি

শব্দবাদে সমীকরণ (2) এর পুরো বাম দিকের (বা আমি শীর্ষ লাইনটি বলতে পারি?) আউট স্ক্র্যাচ করে।

(\begin{array}{ccccc} A_{0} & A_{-} & 0 & 0 & \dots \\ A_{+} & A_{0} & A_{-} & 0 & \dots \\ 0 & A_{+} & A_{0} & A_{-} & \dots \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \end{array}) (\begin{matrix} ψ_{0}^{n + 1} \\ ψ_{1}^{n + 1} \\ ⋮ \\ ψ_{J - 1}^{n + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ψ_{0}^{n} \\ ψ_{1}^{n} \\ ⋮ \\ ψ_{J - 1}^{n} \end{matrix})

$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$

i ψ_{j}^{n + 1}

$i\psi_j^{n+1}$

সমস্যা

অন্তর্নিহিত পদ্ধতিগুলির সাথে আমি যে বৃহত্তম সমস্যাটি পেয়েছি তা হ'ল তারা সীমাবদ্ধ অবস্থার উপর দৃ strongly়ভাবে নির্ভরশীল। যদি আপনি বাউন্ডারি শর্তটি দুর্বলভাবে সংজ্ঞায়িত / প্রয়োগ করেন, তবে আপনি আপনার কোষগুলিতে উত্সাহিত দোলনা পেতে পারেন যা খারাপ ফলাফলের দিকে নিয়ে যেতে পারে ( অনুরূপ বিষয়ে আমার সাইকম্পম্প পোস্ট দেখুন )। এটি আপনার স্কীমটি প্রদান করা উচিত সেই তুলনায় 2 য় স্থানে স্থানে 1 ম অর্ডার যথার্থতা তৈরি করে ।

অন্তর্নিহিত পদ্ধতিগুলিও সমান্তরাল বলে মনে করা শক্ত, তবে আমি কেবল সেগুলি 1 ডি তাপ সমীকরণের জন্য ব্যবহার করেছি এবং সমান্তরাল সহায়তার প্রয়োজন নেই, তাই আমি দাবিটি যাচাই বা অস্বীকার করতে পারি না।

তরঙ্গ ফাংশনের জটিল প্রকৃতি গণনাগুলিকে কীভাবে প্রভাব ফেলবে তা আমিও নিশ্চিত নই। আমি যে কাজটি করেছি তা ইউলারের তরল গতিশীল সমীকরণগুলিকে ব্যবহার করে এবং অ-নেতিবাচক মাত্রার সাথে সম্পূর্ণ বাস্তব।

সময় নির্ভর সম্ভাবনা

$V\propto \cos(\omega t)$ $t$ $V_j$ $t+dt$

বিকল্প

$dt\propto dx^2$ $dt$ $dt/N$ $N$ $\Delta T=N^2dt$ $N$ $Ndt$ সময়ে)। (আমি আমার গবেষণায় এই পদ্ধতিটি নিযুক্ত করি কারণ আপনার কাছে একটি ঘর থেকে অন্য কোষে একটি সংজ্ঞায়িত "ফ্লাক্স" রয়েছে যা এক প্রসেসর থেকে অন্য প্রসেসরে ডেটা মার্জ করার জন্য ব্যবহৃত হয়, ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন স্কিম ব্যবহার করে আমি এটি করতে পারিনি)।

সম্পাদনা করার জন্য একটি বিষয় লক্ষণীয়: এই পদ্ধতিটি প্রথম সময়ে যথাযথ অর্ডার করা হয়, তবে আপনি যদি রঞ্জ-কত্ত 2 পদ্ধতিটি একসাথে ব্যবহার করেন তবে এটি আপনাকে সময়মতো একটি দ্বিতীয় আদেশের সঠিক স্কিম দেয়।

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} \approx \frac{ψ_{j - 1}^{n + 1} - ψ_{j}^{n + 1} - ψ_{j}^{n} + ψ_{j + 1}^{n}}{d x^{2}}

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial x^{2}} \approx \frac{ψ_{j + 1}^{n + 1} - ψ_{j}^{n + 1} - ψ_{j}^{n} + ψ_{j - 1}^{n}}{d x^{2}}

$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$

n + 1

$n+1$

— কাইল কানোস
সূত্র

1

দুর্দান্ত উত্তর, কেবল অভিযোগ হ'ল আপনি আমাকে এতে মারধর করেছেন!

— কাইল 18

R

$\mathbb R$

I

$\mathbb I$

- h ν

$-h\,\nu$

- h ν

$-h\,\nu$

1

\partial_{t} u = D \partial_{x}^{2} u + R (u)

$\partial_tu=D\partial_x^2u+R(u)$

R (u) = V u

$R(u)=Vu$ (এগিয়ে যান এবং এটি অনুসন্ধান করুন)। সম্ভবত আমার পক্ষে স্ট্যান্ডার্ড লাইব্রেরিগুলি (যেমন এখানে সাধারণ এমও আছে) যেমন পিইটিএসসি, ডিল.আইআই, বা পাইক্লাব্লু ব্যবহার করার পরামর্শ দেওয়া ভাল হত?

— কাইল কানোজ

1

@ কাইলক্যানোস: আপনার পোস্টটি ভাল। আসলে, ডেভিডকেচসন পোস্ট করা নিবন্ধে, ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন প্রথম রেফারেন্স দ্বারা সমর্থন করেছেন। প্রতিক্রিয়া-প্রসারণের তুলনাটি ঠিক আছে; যেমন আপনি লক্ষ্য করেছেন, প্রতিক্রিয়া-প্রসারণের তুলনা অনেক প্রকাশিত উত্সে উপস্থিত হয়। আমি মনে করি ডেভিডকিচসন আগে উল্লিখিত "বিচ্ছুরিত তরঙ্গ সমীকরণ" এর মতো কিছু খুঁজছিলেন।

— জিওফ অক্সবেরি

22

$\psi=R+iI$

\begin{array}{rcl} \frac{d R}{d t} & = & H I \\ \frac{d I}{d t} & = & - H R \\ H & = & - \frac{1}{2 m} \nabla^{2} + V \end{array}

$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$

$R$ $I$ $R$ $0,\Delta t,2\Delta t,...$ $I$ $0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

R (t + \frac{1}{2} Δ t) = R (t - \frac{1}{2} Δ t) + Δ t H I (t)

$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$

I (t + \frac{1}{2} Δ t) = I (t - \frac{1}{2} Δ t) - Δ t H R (t)

$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$

\nabla^{2} ψ (r, t) = \frac{ψ (r + Δ r, t) - 2 ψ (r, t) + ψ (r - Δ r, t)}{Δ r^{2}}

$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$

$\Delta t$

হিসাবে সম্ভাব্যতা ঘনত্ব সংজ্ঞা

P (x, t) = R^{2} (x, t) + I (x, t + \frac{1}{2} Δ t) I (x, t - \frac{1}{2} Δ t)

$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$

P (x, t) = R (x, t + \frac{1}{2} Δ t) R (x, t - \frac{1}{2} Δ t) + I^{2} (x, t)

$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$

আলগোরিদিমকে একক করে তোলে, এইভাবে সম্ভাবনা সংরক্ষণ করে।

পর্যাপ্ত কোড অপ্টিমাইজেশনের সাহায্যে আমরা ৮০৪66 মেশিনে রিয়েল-টাইমে গণনা করা খুব সুন্দর অ্যানিমেশন পেতে সক্ষম হয়েছি। শিক্ষার্থীরা যে কোনও সম্ভাবনা "আঁকতে", মোট শক্তি চয়ন করতে এবং গাউসিয়ান প্যাকেটের সময়-বিবর্তন দেখতে পারে watch

এটি বাস্তব এবং কাল্পনিক উপাদানগুলি সমাধান করার জন্য খুব ঝরঝরে কৌশল! আপনি এটি ব্যবহার করে বড়, কেন্দ্রিক সমীকরণ পেতে পারেন তাও নোট করুন $$ ... $$। আমি আপনার জন্য এটি করার স্বাধীনতা গ্রহণ করেছি, আমি আশা করি আপনি কিছু মনে করবেন না!

— কাইল কানস

আমরা অ্যালগরিদম খুঁজে পেয়ে আনন্দিত হয়েছি - এটি প্রোগ্রাম করা সহজ ছিল এবং দ্রুত দৌড়েছিল। সবচেয়ে শক্তিশালী অংশটি প্রাথমিক শর্তগুলি ঠিক পেয়েছিল, আর টি = 0 এবং আমি 0.5 ডিটি এ ... সম্পাদনাটি আমার আপত্তি নেই, আমি মোটেও সমীকরণ পেয়ে খুশি হয়েছিল।

1

@ ইউজার 40172 আমরা প্রায় একই সময়ে ওয়েভগুইডগুলির জন্য একই কাজ করছিলাম, এবং আমরা আমার উত্তরে বর্ণিত বিপিএম-এ স্থির হয়েছি। কারণটি ছিল যে সেই সময় আমরা একটি ডিএসপি বোর্ড ব্যবহার করে মূল সিপিইউ থেকে পৃথকভাবে এফএফটি পরিচালনা করতে পারি। আমরা ভেবেছিলাম আমরা ওহ এত চালাক, তবে আমি অবশ্যই বলতে চাই যে একটি সফ্টওয়্যার সমস্যার মূলত একটি হার্ডওয়্যার সমাধান নিয়ে আসা 2014 সালে বেশ ন্যাফ লাগছে! ভিজ্যুয়াল স্টুডিও সি ++ এর সর্বশেষতম সংস্করণটি সিপিইউগুলিতে স্বয়ংক্রিয়ভাবে কোডটিকে ভেক্টরাইজ করে এবং এফএফটি দিয়ে এটি একটি সুন্দর কাজ করে।

1

0.5 d t

$0.5dt$

1

@ রুশিয়ান যেহেতু আমরা ছড়িয়ে ছিটিয়ে ছিলাম, আমরা একটি স্ট্যান্ডার্ড ফ্রি-কণা গাউসীয় তরঙ্গ প্যাকেট ব্যবহার করেছি তবে সম্ভাবনাটি শূন্য নয় এমন কোনও অঞ্চল থেকে দূরে "যথেষ্ট" চালু করা নিশ্চিত করেছিলাম। : যেমন দেখ, demonstrations.wolfram.com/EvolutionOfAGaussianWavePacket

10

$x$ $t$

আপনি যা করছেন তা হ'ল বিম প্রচারের পদ্ধতির একটি ছদ্মবেশী সংস্করণ যা বিভিন্ন ধরণের ক্রস বিভাগের (তত্পর সম্ভাব্য সময়ের সাথে সমান) এক তরঙ্গগাইডের মাধ্যমে অপটিকাল প্রচারের জন্য ছদ্মবেশী সংস্করণ , তাই এটিও সন্ধান করা সহায়ক।

এসএসএফএম / বিপিএমের দিকে আমি যেভাবে দেখছি তা নীচে রয়েছে। এর ভিত্তিটি মিথ্যা তত্ত্বের ট্রটার পণ্য সূত্র:

\begin{matrix} (1) & lim_{m \to \infty} {(\exp (D \frac{t}{m}) \exp (V \frac{t}{m}))}^{m} = \exp ((D + V) t) \end{matrix}

$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$

যাকে কখনও কখনও এই প্রসঙ্গে অপারেটর বিভাজন সমীকরণ বলা হয়। তোমার ডেটা সেটটি একটি হল বা প্রতিনিধিত্বমূলক জটিল মূল্যবোধের discretised গ্রিড একটি নির্দিষ্ট সময়ে । তাই আপনি যদি এই কল্পনা (আপনি হবে না কি এই; আমি এখনও ধারণার দিক থেকে কথা বলছি) একজন হিসেবে লেখা গ্রিড খুব বড় -element কলাম ভেক্টর (ক জন্য গ্রিড আমরা আছে ) এবং তারপরে আপনার শ্রডিনগার সমীকরণটি ফর্মটির: $x-y$ $x-y-z$ $\psi(x,y,z)$ $t$ $N$ $\Psi$ $1024\times1024$ $N=1024^2=1\,048\,576$

\begin{matrix} (2) & d_{t} Ψ = K Ψ = (D + V (t)) Ψ \end{matrix}

$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$

যেখানে an একটি স্কিউ-হার্মিটিয়ান ম্যাট্রিক্স, এর একটি উপাদান এবং একটি উপাদান দ্বারা ক্রমবর্ধমান সময়ের সাথে ম্যাপ করা যাচ্ছে প্যারামিটার গ্রুপ । (আমি আরএইচএসে ফ্যাক্টরটিকে into এ ফেলেছি যাতে আমি আরও বেশি সহজে লাই তাত্ত্বিক পদগুলিতে কথা বলতে পারি)। এর আকার দেওয়া , অপারেটরদের প্রাকৃতিক আবাস একটি সম্পূর্ণরূপে বিশাল লাই গ্রুপ, তাই পিএইচইউ! হ্যাঁ আমি এখনও সম্পূর্ণ তাত্ত্বিক পদে কথা বলছি !. এখন, what কী করে $K = \mathcal{D+V}$ $N\times N$ $\mathfrak{u}(N)$ $\Psi$ $\exp(K\,t)$ $i\hbar$ $K = \mathcal{D+V}$ $N$ $\mathfrak{U}(N)$ $\mathcal{D+V}$ দেখতে কেমন? এখনও আপাতদৃষ্টিতে কল্পনা করা, এটি of এর সীমাবদ্ধ পার্থক্য সংস্করণ হিসাবে ভাবা যেতে পারে , যেখানে হ'ল সমস্যাটির পক্ষে কিছু সুবিধাজনক "গড়" সম্ভাবনা রয়েছে। $i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$ $V_0$

আমরা দিব:

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{lcl} D & = & i \frac{ℏ}{2 m} \nabla^{2} - i ℏ^{- 1} V_{0} \\ V & = & i ℏ^{- 1} (V_{0} - V (x, y, z, t)) \end{array} \end{matrix}

$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$

কেন আমি তাদের এগুলি ভাগ করে নিলাম তা নীচে পরিষ্কার হয়ে যাবে।

about সম্পর্কে বিষয়টি হ'ল এটি একটি সমতল তরঙ্গের জন্য বিশ্লেষণাত্মকভাবে কাজ করা যেতে পারে: এটি গতিময় সমবায়গুলির একটি সাধারণ গুণক অপারেটর। সুতরাং, th ম্যাথ্যাকাল সিসি, এখানে এসএসএফএম / বিপিএম চক্রের প্রথম তিনটি ধাপ রয়েছে: $\mathcal{D}$ $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

এফএফটিটি ডেটাসেট সেট করুন বিমানের তরঙ্গগুলির সুপারপজিশন ওজনের একটি সেট রূপান্তর করতে: এখন গ্রিডের থেকে ; $\Psi$ $\tilde{\Psi}$ $x,\,y,\,z$ $k_x,\,k_y,\,k_z$
জ্ঞাপন কেবল দ্বারা গ্রিড প্রতিটি বিন্দু গুন দ্বারা ; $\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$ $\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$
আমাদের গ্রিডকে map পিএসসিতে মানচিত্রের জন্য বিপরীতমুখী এফএফটি দিন $\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

.এখন আমরা অবস্থান ডোমেনে ফিরে এসেছি। operator অবশ্যই অপারেটরটি দেওয়ার জন্য এটি আরও ভাল ডোমেন : এখানে a একটি সাধারণ গুণক অপারেটর। সুতরাং এখানে আপনার অ্যালগরিদমিক চক্রের আপনার শেষ পদক্ষেপ: $\mathcal{V}$ $\mathcal{V}$
অপারেটরটি কেবল গ্রিডের প্রতিটি পয়েন্টকে ফেজ ফ্যাক্টর $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$ $\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

.... এবং তারপরে আপনি আপনার পরবর্তী পদক্ষেপ এবং চক্রটি শুরু করুন । স্পষ্টতই কোডে সময়-পরিবর্তিত সম্ভাব্য লাগানো খুব সহজ । $\Delta t$ $V(x,y,z,t)$

সুতরাং আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে ট্রলটার সূত্রে (1) কিক যে খুব সহজেই ছোট চয়ন করেন: আপনি কেবল অপারেটরের ক্রিয়াকলাপটি প্রায় এবং আপনি অবস্থান এবং গতিশীল সমন্বয়গুলির মধ্যে অর্থাত্ ডোমেনগুলির মধ্যে আপনার এফএফটি নিয়ে পিছনে পিছনে পিছনে পিছলে যান where এবং simple সাধারণ গুণক অপারেটর। $\Delta t$ $\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$ $\mathcal{V}$ $\mathcal{D}$

লক্ষ্য করুন যে আপনি কেবল সর্বদা চালাচ্ছেন, এমনকি বিচ্ছিন্ন বিশ্বে, একক অপারেটরগুলি: এফএফটি এবং খাঁটি পর্যায়ের কারণগুলি।

আপনি যে বিষয়টির প্রতি যত্নবান হতে হবে তা হ'ল আপনার ছোট হওয়ার সাথে সাথে অবশ্যই আপনার অবশ্যই নিশ্চিত করা উচিত যে স্থানিক গ্রিডের ব্যবধানও সঙ্কুচিত হয়। অন্যথায়, ধরা যাক স্থানিক গ্রিডের ব্যবধান । তারপরে একটি পৃথক পদক্ষেপের শারীরিক অর্থ হ'ল বিচ্ছুরণের প্রভাবগুলি একটি বেগ ; যখন ম্যাক্সওয়েল এর সমীকরণ এবং waveguides simulating, আপনি কি নিশ্চিত যে এই বেগ তুলনায় অনেক ছোট করতে হবে । আমি সাহস করে যেমন শ্রডিনগার সমীকরণের জন্য সীমাবদ্ধতা প্রয়োগ করা হয়: এখানে আমার সরাসরি অভিজ্ঞতা নেই তবে এটি মজাদার শোনায় এবং সম্ভবত আপনি নিজের ফলাফল পোস্ট করতে পারেন! $\Delta t$ $\Delta x$ $\Delta x/\Delta t$ $c$

এই ধরণের জিনিসটির সাথে একটি দ্বিতীয় "অভিজ্ঞতা" পয়েন্ট - আমি এই বিষয়ে বাজি রাখতে প্রায় প্রস্তুত হতে চাই আপনি কীভাবে আপনার ধারণাগুলি অনুসরণ করবেন wind আমাদের প্রায়শই ধারণা থাকে যা আমরা সহজ এবং দ্রুত এবং নোংরা সিমুলেশন করতে চাই তবে এটি কখনই তেমন কার্যকর হয় না! আমি উপরে বর্ণিত হিসাবে এসএসএফএম দিয়ে শুরু করব কারণ এটি দৌড়াদৌড়ি করা খুব সহজ এবং আপনি এর ফলাফলটি শারীরিক কিনা তা আপনি দ্রুত দেখতে পাবেন। পরে আপনি নিজেরটি ব্যবহার করতে পারেন, বলুন ম্যাথেমেটিকা এসএসএফএম কোডটি আরও পরিশীলিত কোডের ফলাফল যাচাই করে নিতে পারে যা আপনি বিল্ডিংয়ের শেষ করতে পারেন, বলুন, কাইল কানোসের উত্তরের লাইন ধরে একটি ক্র্যাঙ্ক নিকোলসন কোড ।

ত্রুটি সীমা

বাকের-ক্যাম্পবেল-হাউসডর্ফ উপপাদ্যের ডিনকিন সূত্র উপলব্ধি:

\exp (D Δ t) \exp (V) Δ t) = \exp ((D + V) Δ t + \frac{1}{2} [D, V] Δ t^{2} + \dots)

$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$ কিছু জন্য রূপান্তর দেখায় যে পদ্ধতিটি সঠিক দ্বিতীয় ক্রমে এবং এটি প্রদর্শন করতে পারে:

Δ t > 0

$\Delta t>0$

\exp (D Δ t) \exp (V) Δ t) \exp (- \frac{1}{2} [D, V] Δ t^{2}) = \exp ((D + V) Δ t + O (Δ t^{3}))

$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$

আপনি তত্ত্ব হিসাবে, অতএব শব্দটি ব্যবহার করতে পারেন ত্রুটিটি অনুমান করতে এবং সেই অনুযায়ী আপনার সেট করুন । এটি দেখতে যতটা সহজ তত সহজ নয় এবং অনুশীলনে সীমাবদ্ধতার পরিবর্তে ত্রুটিটির মোটামুটি অনুমান করা যায়। সমস্যা হল যে: $\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$ $\Delta t$

\frac{Δ t^{2}}{2} [D, V] = - \frac{i Δ t^{2}}{2 m} (\partial_{x}^{2} V (x, t) + 2 \partial_{x} V (x, t) \partial_{x})

$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$

এবং কোনও সমন্বয়গুলিতে সহজেই রুপান্তরিত হয়নি যার মধ্যে একটি সাধারণ গুণক অপারেটর। সুতরাং আপনাকে এবং আপনার ত্রুটিটি অনুমান করার জন্য এটি ব্যবহার করুন out আপনার জন্য সমাধানটি বর্তমানে বিকশিত হচ্ছে এবং এটি আপনার সেট করতে ব্যবহার করে $[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$ $\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$ $\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$ $\psi(x,\,t)$ $\Delta t$ অ্যালগরিদমের প্রতিটি চক্রের পরে ফ্লাইটে আপনি অবশ্যই এই ধারণাগুলি আপনার সিমুলেশনের জন্য অভিযোজিত স্টেপসাইজ কন্ট্রোলারের ভিত্তি তৈরি করতে পারেন। এখানে হ'ল একটি বৈশ্বিক পর্যায় যা এর আদর্শকে হ্রাস করার জন্য ডেটাসেটের বাইরে টানা হয় ; আপনি অবশ্যই প্রায়শই এই জাতীয় বৈশ্বিক পর্যায়টি ছুঁড়ে ফেলতে পারেন: সিমুলেশন ফলাফলগুলি নিয়ে আপনি যা করছেন তার উপর নির্ভর করে আমরা প্রায়শই ধ্রুব পর্যায়ের গ্লোবাল by দ্বারা বিরক্ত হই না । $\varphi$ $\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$ $\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$

এসএসএফএম / বিপিএমের ত্রুটি সম্পর্কে একটি প্রাসঙ্গিক কাগজ হ'ল:

লার্স থাইলিন "দ্য বিম প্রচার পদ্ধতি: এর প্রয়োগযোগ্যতার একটি বিশ্লেষণ", অপটিক্যাল এবং কোয়ান্টাম ইলেকট্রনিক্স 15 (1983) পিপিপি 3333-439 ।

লার্স থাইলন নন-লাই তাত্ত্বিক শর্তগুলির ত্রুটিগুলি সম্পর্কে চিন্তা করেন (মিথ্যাবাদী দলগুলি আমার বেন্ট, সুতরাং আমি তাদের ব্যাখ্যাগুলি দেখতে চাই) তবে তার ধারণাগুলি মূলত উপরের মতই।

— WetSavannaAnimal
সূত্র

1

রড, আপনি সম্ভবত সচেতন যে আপনি তথাকথিত স্প্লিট-অপারেটর ব্যবহার করলে আপনি আরও ভাল করতে পারবেন যেখানে । প্রকৃতপক্ষে ত্রুটিটিকে উচ্চতর শক্তিতে নিয়ে যাওয়ার জন্য আপনি আরও কিছু বিভাজন করতে পারেন । উদাহরণস্বরূপ বান্দ্রাক এবং শেন, কেম দেখুন। Phys। লেট। 176, 428 (1991)। স্পষ্টতই আপনার গতিশক্তিটি স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করতে পারে না, এটি, বক্ররেখার স্থানাঙ্কগুলিতে ভালভাবে কাজ করে না।

\exp [Δ t (D + V)] \approx \exp [Δ t V / 2] \exp [Δ t D] \exp [Δ t V / 2]

$\exp[\Delta t({\cal D} + {\cal V})] \approx \exp[\Delta t {\cal V}/2] \exp[\Delta t {\cal D}] \exp[\Delta t {\cal V}/2]$

Δ t

$\Delta t$

1

অন্যথায়, গতিশীল শক্তি অপারেটরের এফএফটি মূল্যায়নের সাথে মিলিত এই স্প্লিট-অপারেটর জিনিসটি আণবিক পদার্থবিজ্ঞানের গ্রিড ভিত্তিক উপস্থাপনায় টিডিএসই সমাধান করার একটি মানক পদ্ধতি।

অনেক ধন্যবাদ বিভিন্ন ক্ষেত্র কী ব্যবহার করে তা জেনে রাখা ভাল। আপনার রেফারেন্সে 1991 তারিখটি আকর্ষণীয়: আমি সর্বদা নিশ্চিত ছিলাম যে বিভক্ত পদক্ষেপের ধারণাটি 1970 এর দশকের শেষের দিকে ওয়েভগাইড সিমুলেশন থেকে প্রকাশিত হয়েছিল - তাই সম্ভবত আমি ভুল করছি।

1

আপনি মোটেও ভুল নন। এটা ছিল প্রকৃতপক্ষে অনুপ্রেরণা। এই ধারণাগুলি কিউএম-তে অনুবাদ করার প্রথম কাজ যা আমি সচেতন তা হ'ল ফিট, ফ্লেক এবং স্টেইগার, জে.কম্পুট। Phys। 47, 412 (1982) যেখানে, আমি যদি সঠিকভাবে স্মরণ করি তবে তারা প্রয়োজনীয়ভাবে একই কৌশল ব্যবহার করে যে অপারেটরটি নির্মাণের মাধ্যমে একা হয়ে গেছে (শাস্ত্রীয় তরঙ্গের বিপরীতে)। আমি বিশ্বাস করি যে এই ধরণের সিমুলেশনগুলির জন্য এফএফটি-গ্রিড ভিত্তিক পদ্ধতিটি প্রথম রনি কোসলফের দ্বারা প্রস্তাবিত হয়েছিল, আমি বিশ্বাস করি। তাঁর ওয়েব পৃষ্ঠায় এই বিষয়টি সম্পর্কে তাঁর খুব সুন্দর পর্যালোচনা রয়েছে।

আমার ক্ষেত্রের আরও একটি ভাল রেফারেন্স হ'ল কোয়ান্টাম মেকানিক্স সম্পর্কিত ডেভিড ট্যানারের বই: একটি সময়ের উপর নির্ভরশীল দৃষ্টিভঙ্গি। চিয়ার্স।

5

আমি সসীম-পার্থক্য সময়-ডোমেন (এফডিটিডি) পদ্ধতিটি ব্যবহার করার পরামর্শ দিতে পারি। এমনকি আমি কিছুক্ষণ আগে এমন একটি টিউটোরিয়ালও লিখেছিলাম যাতে আপনার বেশিরভাগ প্রশ্নের উত্তর দেওয়া উচিত:

জে আর নাগেল, "স্রাইডিনগার সমীকরণের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ-পার্থক্য টাইম-ডোমেন অ্যালগরিদমের একটি পর্যালোচনা এবং প্রয়োগ," এসইইএস জার্নাল, খণ্ড। 24, নং 1, ফেব্রুয়ারি 2009

আমার কাছে কিছু মতলব কোড রয়েছে যা 1 ডি সিস্টেমের জন্য দুর্দান্তভাবে চালিত হয়। আপনার যদি এফডিটিডি ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক্স করার অভিজ্ঞতা থাকে তবে এটি কোয়ান্টাম মেকানিক্সের জন্যও দুর্দান্ত কাজ করে। আপনার আগ্রহী হলে আমি আমার কোডগুলি পোস্ট করতে পারি।

মূলত, এটি কেবল ডেরাইভেটিভসকে সীমাবদ্ধ পার্থক্যে বিভক্ত করে তরঙ্গকাঠামোয় সরাসরি পরিচালনা করে। এটি ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন স্কিমের মতো একরকম, তবে ঠিক নয়। আপনি যদি বৈদ্যুতিন চৌম্বক তরঙ্গ তত্ত্ব থেকে এফডিটিডির সাথে পরিচিত হন, তবে শ্রডঞ্জার সমীকরণটি সমাধান করার সময় এফডিটিডি খুব স্বজ্ঞাগত হবে।

— জেমস নাগেল
সূত্র

4

সর্বাধিক সরল সীমিত পার্থক্য পদ্ধতিটি দ্রুত এবং সহজেই বোঝা যায়, তবে সময়মতো একক হয় না - সুতরাং সম্ভাবনাটি সংরক্ষণ করা হয় না। ক্র্যাঙ্ক-নিকলসন-ক্রাউট একটি হাইব্রিড অন্তর্নিহিত / সুস্পষ্ট পদ্ধতি উত্পাদন করার জন্য এগিয়ে এবং পিছনের সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতিগুলির গড় গড় দেয় যা এখনও বোঝা যায় এবং বাস্তবায়িত হয় এবং সময়ে সময়ে একক হয়। এই সাইটটি পদ্ধতিটি ভালভাবে ব্যাখ্যা করে, সিউডোকোড সরবরাহ করে এবং সম্পর্কিত বৈশিষ্ট্য দেয়:

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ দ্রষ্টব্য: এই লিঙ্কটির একটিতে যে সমীকরণের এলএইচএস থেকে নিখুঁত চিহ্ন রয়েছে, তা পুরো পৃষ্ঠা জুড়ে প্রচার করে।

অদ্বিতীয়তা কোথা থেকে আসে?

বাদামের গোলাতে, টিডিএসই সমাধান করে কীভাবে মোকাবেলা করতে হবে তা নির্ধারণ করতে নেমে আসে

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

যা কোনও ঘৃণ্য ক্ষেত্রে একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর ধারণ করে।

একটি সামনের সীমাবদ্ধ পার্থক্য প্রয়োগ ডিফারেন্সিয়াল অপারেটরকে ত্রিভুজাকৃতির ম্যাট্রিক্সে রূপান্তরিত করে (রিয়েলসকে গ্রিডে রূপান্তর করে) এবং ঘাতকটিকে তার টেলর সিরিজের প্রথম দুটি পদে রূপান্তরিত করে

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

এই বিচক্ষণতা এবং লিনিয়ারাইজেশন অদ্বিতীয়তাকে জন্ম দেয়। (আপনি দেখতে পারেন যে ত্রিভুজাকৃতির ম্যাট্রিক্স প্রত্যক্ষ গণনা দ্বারা একক নয় the) পশ্চাদপদ সীমাবদ্ধ পার্থক্যটির সাথে সামনের সীমাবদ্ধ পার্থক্যটির সংমিশ্রণটি সান্নিধ্য তৈরি করে

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

যা সদয়ভাবে একত্রী হয়ে ওঠে (আবার আপনি সরাসরি গণনা দ্বারা এটি প্রদর্শন করতে পারেন)।

দ্রুত সাড়া দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ। আপনি কি এই দুটি পদ্ধতিতে আরও বিশদ সরবরাহ করতে পারেন? তারা কীভাবে কাজ করবে এবং কেন? অদ্বিতীয়তা কোথা থেকে আসে?

— এমিলিও পিসান্টি

আমি আরও বিশদ সরবরাহ করতে পেরে খুশি হব, তবে আমার লক্ষ্যবস্তু শ্রোতাদের অনুপস্থিত এড়ানোর জন্য, নিম্নলিখিত পটভূমির প্রতিটি ক্ষেত্রে আপনার কতটা শিক্ষা এবং অভিজ্ঞতা রয়েছে তা জেনে রাখা দরকারী: ক্যালকুলাস, ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ, লিনিয়ার বীজগণিত, কোয়ান্টাম মেকানিক্স , এবং সংখ্যা পদ্ধতি (বিশেষত সীমাবদ্ধ পার্থক্য পদ্ধতি)।

মানক পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিত থেকে আপনার যতটুকু প্রয়োজন অনুমান করুন (যদিও আরও জটিল অংশগুলির উল্লেখ সম্ভবত সহায়তা করবে)। যদিও আমার সংখ্যাসূচক পদ্ধতিগুলি কিছুটা মরিচা।

— এমিলিও পিসান্টি

এই এবং কাইল কানোসের উত্তরের মধ্যে কোনও পার্থক্য রয়েছে কি? মানে, আপনার শেষ সমীকরণটি কীভাবে বাস্তবায়ন করা যায় তা স্পষ্ট নয় - যেমনটি আপনি লিখেছেন এতে সম্পূর্ণ অপারেটরকে উল্টানো জড়িত - আপনি কি কেবলই বলছেন যে সিএন পদ্ধতিটি কেবল তার ত্রিভুজাকৃতির সমীকরণের সমাধানের মাধ্যমে, কাজ করে ? নাকি এমন একটি সূক্ষ্মতা আছে যা আমি মিস করেছি? প্রকৃতপক্ষে আপনার শেষ সমীকরণটি একটি ভাল রেন্ডারিং ইনসোফার যা এটি সিএন এর জন্য একতাবদ্ধতা স্পষ্ট করে তোলে, এটি সিএন এর বহু বর্ণনায় অস্পষ্ট একটি ঘটনা।

(1 + \frac{i}{2} H t)^{- 1} (1 + \frac{i}{2} H t) ψ

$(1+\frac{i}{2}\,H\,t)^{-1}\,(1+\frac{i}{2}\,H\,t)\,\psi$

না, এটি কাইল ক্যানোসের দেওয়া একই অ্যালগরিদম। আমি এটি এটিকে দেখার আলাদা উপায় দেওয়ার জন্য এইভাবে লিখেছি। আমি ধারণাটি করা সহজতর আশা করেছিল - যেখানে তার বাস্তবায়ন করা সহজ। হ্যাঁ, আপনি শেষ পর্যন্ত কেবল একটি ত্রিভুজ সমীকরণ সমাধান করছেন। এজেপিতে একটি পুরানো (১৯ 1967) কাগজ ছিল যা আমি এর আগে খুঁজে পাইনি যা এটি খুব ভালভাবে বর্ণনা করে: ergodic.ugr.es/cphys/lecciones/SCHROEDINGER/ajp.pdf তারা গাউসীয় তরঙ্গ প্যাকেটের 8 মিমি ফিল্ম লুপ তৈরি করতে সিএন ব্যবহার করেছিল বিভিন্ন সম্ভাবনা ছড়িয়ে ছিটিয়ে। আপনি এখনও অনেক বিশ্ববিদ্যালয়ের পদার্থবিজ্ঞানের ডেমো লাইব্রেরিতে সেই ফিল্মের লুপগুলি খুঁজে পেতে পারেন।

3

এখানে কয়েকটি উত্তর এবং মন্তব্যগুলি একটি তরঙ্গ সমীকরণের সাথে বিভ্রান্তিমূলকভাবে টিডিএসইর সাথে সংযোগ দেয়; কিছুটা হলেও সম্ভবত শব্দার্থবিজ্ঞানের সমস্যা। টিডিএসই হ'ল ধ্রুপদী অ-আপেক্ষিক হ্যামিলটোনীয় এর নিয়ম সহ (ডি স্পেস্নট এর প্রথম অধ্যায়ে আলোচনা করা হয়েছে, কোয়ান্টাম মেকানিক্সের কনসেপ্টুয়াল ফাউন্ডেশন, https://philpapers.org/rec/ESPCFO ), সুতরাং এটি পড়ছে সুতরাং এটি স্পষ্টভাবে একটি বিস্ফোরণের মতো সমীকরণ। যদি কেউ আপেক্ষিক শক্তি ব্যবহার করে যা একটি E পদটি ধারণ করে , তবে একটি তরঙ্গের মতো সমীকরণ যেমন

H = \frac{p^{2}}{2 m} + V (x) = E .

$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$

p \to i ℏ \partial_{x}, E \to i ℏ \partial_{t}, x \to x,

$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$

[- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \partial_{x x} + V (x)] ψ = i ℏ \partial_{t} ψ,

$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$

^{2}

$^2$

\partial_{x x} ψ = \partial_{t t} ψ + \dots

$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$ পাবেন (সরলতার জন্য ভি = 0 এর জন্য), যেমন পাওলি বা ক্লিন-গর্ডন সমীকরণ। তবে তা অবশ্যই একেবারে আলাদা বিষয়।

এখন, টিডিএসই-তে ফিরে আসার মতো স্পষ্ট পদ্ধতি হ'ল ক্র্যাঙ্ক-নিকোলসন, যেমনটি উল্লিখিত হয়েছে, কারণ এটি একটি স্বল্প সময়ের সম্প্রসারণ যা বিবর্তনের একতারত্বকে সংরক্ষণ করে (এফটিসিএস, উদাহরণস্বরূপ, না)। 1-স্পেস-ডি কেসটির জন্য, এটি ম্যাট্রিক্স পুনরাবৃত্তি হিসাবে গণ্য করা যেতে পারে, সঙ্গে পরিচয় ম্যাট্রিক্স এবং (বিশদ যেমন পদার্থবিজ্ঞানের সংখ্যাসূচক পদ্ধতিতে , আল গার্সিয়া দ্বারা http://algarcia.org/nummeth/nummeth.html )) পর্যায়ক্রমিক সীমানা পরিস্থিতিতে সবচেয়ে স্পষ্টভাবে দেখা যায়, একটি স্থান-স্থানীয়করণ

{\vec{ψ}}^{n + 1} = (I + \frac{i τ}{2 ℏ} \tilde{H})^{- 1} (I - \frac{i τ}{2 ℏ} \tilde{H}) {\vec{ψ}}^{n}

$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$

I

${\cal I}$

H_{j k} = (\tilde{H})_{j k} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} [\frac{δ_{j + 1, k} + δ_{j - 1, k} - 2 δ_{j k}}{h^{2}}] + V_{j} δ_{j k} .

$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$

ψ

$\psi$ সময়মতো ছড়িয়ে পড়ে: এটি প্রত্যাশিত, কারণ প্রাথমিক স্থানীয়করণ স্থিতিশীল শ্রোয়েডাঙ্গার সমীকরণের কোনও স্থানীয়ত্ব নয়, তবে এটির একটি সুপারপজিশন। স্থায়ী (ক্লাসিকাল বৃহত মুক্ত কণা) ইগনেস্টেট (অ-আপেক্ষিক অপারেটরের জন্য) কেবলমাত্র , অর্থাৎ ধ্রুবক সম্ভাবনার ঘনত্ব 1 সহ হাইজেনবার্গ নীতি অনুসারে সম্পূর্ণভাবে 1 / এল সর্বত্র (নোট করুন যে আমি আমার কণা একটি সীমাবদ্ধ, পর্যায়ক্রমিকভাবে পুনরাবৃত্ত লাইনে লাইভ করে ক্রমাগত রাজ্যগুলির সাথে স্বাভাবিককরণের সমস্যাগুলি এড়াচ্ছি)। সিএন, সাধারণ the

ψ

$\psi$

ψ_{s} = e^{i k x} / \sqrt{L}

$\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$

\int | ψ |^{2} d x

$\int |\psi|^2 dx$ সংরক্ষণ করা হয়, একতাবদ্ধতার জন্য ধন্যবাদ (এফটিসিএস, যেমন, অন্যান্য প্রকল্পে এটি হয় না)। উল্লেখ্য, যে বিজ্ঞপ্তি যেমন একটি শক্তি espression থেকে শুরু সঙ্গে সুনির্দিষ্ট করা থাকে, আপনি চাই পেতে অর্থাত advection সমীকরণ, যা কোন বিচ্ছুরণ হয়েছে (যদি Lax-Wendroff সাথে যথাযথভাবে ইন্টিগ্রেটেড পদ্ধতিগুলি) এবং আপনার ওয়েভপ্যাকেট সেই ক্ষেত্রে সময় মতো ছড়িয়ে পড়বে না। কোয়ান্টাম অ্যানালগ হ'ল ভরহীন-কণা ডাইরাক সমীকরণ।

c p = E

$cp=E$

c

$c$

i c ℏ \partial_{x} = i ℏ \partial_{t}

$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$

— ভিনসেঞ্জো ফিওরেন্টিনি
সূত্র

সময় নির্ভর নির্ভর শ্রডিনগার সমীকরণকে সংখ্যাসূচকভাবে সমাধান করার জন্য কি সহজ উপায় আছে?

গোড়ায়

সমস্যা

সময় নির্ভর সম্ভাবনা

বিকল্প

ত্রুটি সীমা