থিমাস অ্যালগরিদম কি একটি প্রতিসম ত্রিভুজ বিশিষ্ট প্রভাবশালী স্পার্স ট্রাইডিজোনাল লিনিয়ার সিস্টেমকে সমাধান করার দ্রুততম উপায়

Question

আমি ভাবছি যে টমাস অ্যালগরিদমটি অ্যালগোরিদমিক জটিলতার ক্ষেত্রে (LAPACK ইত্যাদির মতো বাস্তবায়ন প্যাকেজগুলির সন্ধান না করে) একসম্মত তির্যকভাবে স্পার্স ট্রাইডিজোনাল সিস্টেমকে প্রাধান্য দেওয়ার সবচেয়ে দ্রুততম উপায় (সম্ভবত)? আমি জানি যে টমাস অ্যালগরিদম এবং মাল্টিগ্রিড উভয়ই জটিলতা, তবে সম্ভবত মাল্টিগ্রিডের জন্য ধ্রুবক ফ্যাক্টরটি কম? মাল্টিগ্রিড দ্রুততর হতে পারে বলে আমার কাছে মনে হয় না তবে আমি ইতিবাচক নই।$O(n)$

দ্রষ্টব্য: আমি ম্যাট্রিকগুলি খুব বড় ক্ষেত্রে কেসটি বিবেচনা করছি। প্রত্যক্ষ বা পুনরুক্তি পদ্ধতি গ্রহণযোগ্য।

Answer 1

আমি বিশ্বাস করি যে সঠিক অপারেশন গণনার ক্ষেত্রে কোনও পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির (মাল্টিগ্রিড) সরাসরি / সঠিক পদ্ধতি (টমাস) সাথে তুলনা করা সত্যই অর্থবহ নয়। আইআইআরসি, টমাস অপারেশন গণনাটি কোনও ত্রিভুজাকৃতির সিস্টেমের জন্য । আমি কেবল একবার মাল্টিগ্রিডকে মারতে কল্পনা করতে পারি যে এটি একটি রৈখিক সমাধানের ক্ষেত্রে একটি তুচ্ছ মামলার জন্য, এবং তারপরেও প্রতিটি স্তরের অবশিষ্টাংশের মূল্যায়নের ব্যয় টমাসের ব্যয়ের সাথে তুলনীয় হবে।$8N$

যে এটি বিক্ষিপ্ত ম্যাট্রিক্স সাধারণ, এবং tridiagonal সিস্টেম অবধি সীমিত না multigrid মিথ্যা উপযোগিতা তুলে ধরতে।$O(N)$

Comments

ধন্যবাদ। আমি বুঝতে পারি যে পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিগুলি সঠিক নয়। আমার খুব সামান্য সহনশীলতা নির্দিষ্ট করা উচিত (10 ^ -15 বলুন) এবং তুলনার উদ্দেশ্যে এটি কেবল "নির্ভুল" হিসাবে বিবেচিত হয়েছিল।

— জেমস

@ ব্যবহারকারী2697246 ভাল, আপনি "সম্ভবত" দ্রুততম সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছেন। মাল্টিগ্রিডের (বা কোনও পুনরাবৃত্তিমূলক প্রকল্পের) জন্য সঠিক কনভার্জেনশন হারটি সর্বদা সমাধানটি নিজেই শুরু করে এবং অনুমানের উপর নির্ভর করে - একটি রৈখিক সমাধান কার্যকরভাবে এক ধাপে সমাধান করা হবে, যেখানে আরও কিছু দুজনে আরও বেশি কাজ করবে। থমাসের সমস্ত ক্ষেত্রে একটি সঠিক, স্থির অপারেশন গণনা রয়েছে। ব্যবহারিকভাবে বলতে গেলে, আপনি কখনই থমাসকে আঘাত করবেন না (সিরিয়ালি) অ-তুচ্ছ মামলার জন্য একটি ত্রিভুজ সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য।

— অরেলিয়াস

@ অরেলিয়াস টমাস অ্যালগরিদমকে কি সমান্তরাল করে তোলা যেতে পারে? যদি তা না হয় তবে এটি মাল্টিগ্রিডের একটি বড় সুবিধা!

— নিক অ্যালজার

$O(N log N)$$N$

একটি সংশোধন, টমাস অ্যালগরিদমের 9N নয়, 8N অপারেশন প্রয়োজন। এছাড়াও, "মাল্টিগ্রিড ... লিনিয়ার সলিউশন থাকা" বলতে আপনার অর্থ কী? এখানে বিবেচনাধীন সমস্ত সিস্টেম লিনিয়ার।

— ডগ লিপিনস্কি

Answer 2

সংক্ষিপ্ত উত্তরটি হ'ল প্রায় সকল ক্ষেত্রে থমাস অ্যালগরিদম যেকোন পুনরাবৃত্ত স্কিমের চেয়ে দ্রুত হবে। ব্যতিক্রম সম্ভবত গাউস-সিডেলের মতো খুব সাধারণ পুনরাবৃত্তি স্কিমের একক পুনরাবৃত্তির প্রয়োগ করবে তবে এটি গ্রহণযোগ্য সমাধান দেওয়ার পক্ষে খুব কমই। এছাড়াও, এটি সমান্তরাল প্রক্রিয়াজাতকরণ উদ্বেগ উপেক্ষা করছে।

$\mathcal O(n)$$\mathcal O(n)$

$5N$$3N$$3N-2$$2N-2$

Comments

"মুলিগগ্রিড একটি ত্রিভুজ ত্রিভুজ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে বিশেষত দুর্বল পছন্দ কারণ যদিও মাল্টিগ্রিড ও (এন) হলেও ধ্রুবকটি বেশ বড়।" আমি এটিও মনে করি, তবে গুগলিং ট্রোটেনবার্গের মুলিগগ্রিড বইটিতে একটি লাইন নিয়ে এসেছিল এবং এটি প্রমাণ ছাড়াই বলেছে যে ০.০-০.২০ ধ্রুবক দাবি করেছে। আমি মনে করি না যে আমি এটি বিশ্বাস করি।

— অরেলিয়াস

@ অরেলিয়াস আকর্ষণীয় ত্রিদুটিভুজ ম্যাট্রিক্সে 3N এন্ট্রি থাকায় এটি সাধারণ ক্ষেত্রে স্পষ্টত অসম্ভব। যদি ব্যয়টি ~ ০.০ * এন হয় তবে এর অর্থ আপনি কখনই বেশিরভাগ এন্ট্রিগুলিতে পরিচালনা করেন না।

— ডগ লিপিনস্কি

হ্যাঁ আমরা একই পৃষ্ঠায় আছি; কেবলমাত্র 3-পয়েন্টের স্টেনসিল মূল্যায়নের জন্য 3N ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন। আমি কেবল স্কিমিং করছিলাম তাই সম্ভবত আমি বিবৃতিটির পুরোপুরি ভুল ব্যাখ্যা করেছিলাম, তবে গুগল বইয়ের অংশে আপনি এটি নিজের জন্য দেখতে পাচ্ছেন।

— অরেলিয়াস

সম্পূর্ণ উদ্ধৃতি (pg 21) হ'ল "ব্যবহারিক দিক থেকে দক্ষতার অর্থ এই ও (এন) বিবৃতিতে আনুপাতিকতা ধ্রুবকগুলি ছোট বা মাঝারি This খুব ছোট তৈরি করা হবে (০.০-০.২ বা তার চেয়ে কম পরিসীমাতে) এবং পুনরাবৃত্তির পদক্ষেপে অজানা প্রতি ক্রিয়াকলাপটিও ছোট। " ০.০-০.২ মুল্টিগ্রিডের প্রতিটি চক্রের জন্য অবশিষ্টাংশ হ্রাসের কথা উল্লেখ করছে। ও (অ) এর ধ্রুবকটি প্রতি চক্র (মাপের এক ডজন বা দুটি চক্র সহ) 1.5-2.0x এর ক্রম অনুসারে থাকবে on

— গড্রিক

আহ, ধন্যবাদ @ গড্রিকসির, এটি আরও অর্থবোধ করে।

— অরেলিয়াস

Answer 3

এমনকি মাল্টিগ্রিড লুপগুলি একক কোরেও অপ্টিমাইজারের সাহায্যে ভেক্টরাইজযোগ্য। সুতরাং অপারেশন গণনাগুলি সাহায্য করতে পারে এমন সময়, আমাদের ভুলে যাওয়া উচিত নয় এমনকি সিরিয়াল বিশ্বেও প্রসেসরের ভেক্টর সমান্তরালতা রয়েছে এবং তাই সময়-সমাধানে সমাধান ব্যয় বিশ্লেষণ থেকে আমরা ভবিষ্যদ্বাণী করা ঠিক তেমনটি করতে পারি না।