রৈখিক প্রোগ্রামে

16

অনুমান করা

\begin{aligned} min A & v e c (U) \\ subject to U_{i, j} \leq max {U_{i, k}, U_{k, j}}, i, j, k = 1, \dots, n \end{aligned}

$\begin{align*} \min A &\mathrm{vec}(U) \\ &\text{subject to } U_{i,j} \leq \max\{U_{i,k}, U_{k,j}\}, \quad i,j,k = 1, \ldots, n \end{align*}$

যেখানে $U$ একটি প্রতিসম হয় $n\times n$ ম্যাট্রিক্স, এবং $\mathrm{vec}(U)$ reshapes $U$ মধ্যে একটি এক-মাত্রিক ভেক্টর সঙ্গে $n^2$ এন্ট্রি।

উপরে প্রোগ্রাম যা আমাকে সমস্যার দেয় অংশ $\max\{⋅,⋅\}$ । (নননেজিটিভ সিমেট্রিক ম্যাট্রিকগুলিতে সমাধানগুলি সীমাবদ্ধ করা সহজবোধ্য বলে মনে হচ্ছে))

কোনও সহায়তা বা রেফারেন্সের জন্য আগাম ধন্যবাদ!

optimization linear-programming

— N21
সূত্র

উভয় সীমাবদ্ধতা যুক্ত করতে না পারার কোনও কারণ?

— অরন আহমদিয়া

1

@AronAhmadia তিনি উভয় সীমাবদ্ধতার কারণ যে সমতূল্য হবে যোগ করতে পারবেন না

সকলের জন্য

। আমি মনে করি না যে এই সমস্যার একটি এলপি সংস্কার আছে, তবে একটি মিলস সংস্কার হতে পারে, যদিও এটি সম্ভবত এটি সমাধান করা আরও ব্যয়বহুল করে তোলে।

U_{i, j} \leq min {U_{i, k}, U_{k, j}}

$U_{i,j} \leq \min\{U_{i,k}, U_{k,j}\}$

i, j, k

$i, j, k$

— জেফ অক্সবেরি

@

আপনি যে সমস্যার সমাধান করতে চান তার জন্য আপনি কত বড়

আশা করবেন ?

n

$n$

— জেফ অক্সবেরি

@ জিফ: ধন্যবাদ! আমি চূড়ান্তভাবে বড়

হওয়ার আশাবাদী , তবে এই মুহূর্তে আমি 100 বা 10 এর চেয়ে কম

সাথে প্রাথমিক সমাধান পেতে সবচেয়ে বেশি উদ্বিগ্ন

n

$n$

n

$n$

— N21

@ জিফঅক্সবেরি স্পষ্ট করার জন্য ধন্যবাদ, আমি পোস্ট করার আগে পুরোপুরি ভাবি নি।

— অ্যারন আহমদিয়া

14

সম্পাদনা করুন: আমি যখন আরও জাগ্রত থাকি তখন এই ব্যাখ্যাটি আবার চেষ্টা করি।

সূত্রটি নিয়ে তিনটি বড় সমস্যা রয়েছে (তীব্রতার সাথে):

স্পষ্টত মসৃণ, উত্তল বা লিনিয়ার সমস্যাটির কোনও সুস্পষ্ট সংস্কার নেই।
এটা অনাদর।
এটি অগত্যা উত্তল নয়।

কোন সুস্পষ্ট মসৃণ / উত্তল / লিনিয়ার সংস্কার

প্রথমত, কোন মান প্রতিটি সুস্পষ্ট reformulation এর বাধ্যতা। Aron এর পরামর্শ বেশি প্রচলিত প্রযোজ্য বাধ্যতা, যা একটি বাধ্যতা মত : নিম্নলিখিত দুটি সমতুল্য অসাম্য দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় $\max$ $\min$

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

U_{i j} \leq U_{i k}, \forall k

$U_{ij} \leq U_{ik}, \quad \forall k$

সংস্কারটি আদর্শ নয়, প্রতিটি

প্রতিবন্ধকতা

রৈখিক সীমাবদ্ধতাদ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে, তবে এটি একটি ননসমূথ ননলাইনার প্রোগ্রামকে একটি রৈখিক প্রোগ্রামে রূপান্তরিত করে, এটি সমাধানের দ্রুততার আদেশ is

U_{i j} \leq U_{k j}, \forall k .

$U_{ij} \leq U_{kj}, \quad \forall k.$

min

$\min$

2 n

$2n$

$\max$ $\max$ $n^2$ $\max$ $2n$

$\max$

Nonsmoothness

$\max$

ননস্মোথনেস একটি বিশাল সমস্যা কারণ:

এটি তাত্ক্ষণিকভাবে আপনার সমস্যাটিকে অরেখারী করে তোলে
বেশিরভাগ ননলাইনার প্রোগ্রামিং সলভার দু'বার ধারাবাহিকভাবে পার্থক্যজনক ফাংশন ধরে নেয়

$\max$

সম্ভাব্য অবিচ্ছিন্নতা x

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

U_{i j} - max_{k} {U_{i k}, U_{k j}} \leq 0, \forall i, j, k .

$U_{ij} - \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} \leq 0, \quad \forall i,j,k.$

এই ফাংশন অবতল হয়।

$-U_{ij}$ $\max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

$\mathbf{g}$

সমস্যা সমাধানের জন্য বিকল্পসমূহ

$U_{i j} \leq max_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k$ $U_{ij} \leq \max_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k$ $U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}, \forall i, j, k,$ $U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\} , \quad \forall i,j,k,$
ননসমূথ প্রোগ্রামগুলির জন্য বান্ডিল সলভারের মতো আপনার সূত্রের জন্য ভাগ্য চেষ্টা করুন। এই ধরণের সমাধানকারীদের সাথে আমার প্রচুর অভিজ্ঞতা নেই। (আমার এক সহকর্মী তার গবেষণায় এগুলি ব্যবহার করে)) তারা সম্ভবত ধীর, কারণ তারা ডেরাইভেটিভ তথ্য ব্যবহার করতে পারে না। (আমি মনে করি পরিবর্তে তারা সাবগ্র্যাডিয়েন্ট বা ক্লার্কের সাধারণীকরণের গ্রেডিয়েন্ট তথ্য ব্যবহার করে)) সম্ভবত আপনি কোনও বান্ডিল সলভারের সাহায্যে বড় সমস্যাগুলির উদাহরণগুলি সমাধান করতে সক্ষম হবেন না।

— জিওফ অক্সবেরি
সূত্র

1

জিওফ, ভাল জিনিস; এটি মূল পয়েন্টগুলি হিট করে এবং প্রচুর গঠনমূলক অন্তর্দৃষ্টি এবং পরামর্শ দেয়। আমি এটা ভোট দিয়েছি। তবে আপনি মনে করেন যে এই নন-কনভেস্টিকটিটিকে সত্য থেকে আলাদা কিছু হিসাবে বিবেচনা করা হয়েছে, যেমন আপনি বলেছেন যে, "আমি জানি যে একটি মিনিমাইজেশন সমস্যা সর্বাধিক সীমাবদ্ধতার মানক সংস্কার নেই"। তবে প্রকৃতপক্ষে প্রাক্তনটি যথাযথভাবে কেন পরবর্তীকালে সম্ভব হয় না। লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ে নন-উত্তল প্রতিবন্ধকতা প্রকাশ করা যায় না --- পুরো স্টপ! এটি একটি নন-উত্তল সমস্যা, এবং এটি হয় একটি মিশ্র-পূর্ণসংখ্যা সমস্যা বা অন্য কোনও হিউরিস্টিক প্রয়োগ হিসাবে সংস্কার করতে হবে।

— মাইকেল গ্রান্ট

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(x) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

g (x) \leq 0

$\mathbf{g}(\mathbf{x}) \leq \mathbf{0}$

g

$\mathbf{g}$

1

x \leq max {y, z}

$x \le \max\{y,z\}$

(x, y, z)

$(x,y,z)$

1

max {y, z}

$\max\{y,z\}$

3

$-\infty$

U = (\begin{matrix} 1 & \dots & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ 1 & \dots & 1 \end{matrix}) .

$U=\left(\begin{matrix} 1&\cdots &1\\ \vdots & & \vdots\\1&\cdots&1\end{matrix}\right).$

A \cdot vec (U)

$A\cdot\mbox{vec}(U)$

U

$U$

t

$t$

\pm U

$\pm U$

min_{V} (A \cdot vec (V)) \leq m i n_{t} (A \cdot vec (t U)) = - \infty

$\min_V(A\cdot\mbox{vec}(V)) \le min_{t}(A\cdot \mbox{vec}(tU))=-\infty$

— শেষ নিঃশ্বাস
সূত্র

U

$U$

- \infty

$-\infty$

U

$U$

\leq 0

$\le 0$

2 tr ({\hat{A}}^{*} U) = ‖ \hat{A} - U ‖^{2} - ‖ \hat{A} ‖^{2} - ‖ U ‖^{2}

$2\mbox{tr}(\hat{A}^\ast U)=\|\hat{A}-U\|^2-\|\hat{A}\|^2-\|U\|^2$

2

সীমাবদ্ধতাগুলি তৈরি করতে, আমরা বাইনারি ভেরিয়েবলগুলি তৈরি করি , , । যাক হতে ভেরিয়েবলের আবদ্ধ , তাহলে আমরা কেবলমাত্র নিচের সীমাবদ্ধতার যোগ করার জন্য প্রয়োজন: $f \le \max \{ f_1, f_2,...,f_n \}$ $n$ $b_i \in \{0,1\}$ $1 \le i \le n$ $M$ $f$

1) $f \le f_i + (1-b_i) M, \forall i$

2) $\sum_i b_i = 1$

সাধারণত, যদি আমরা এর মান অনুমান করতে । $M := max_i f_i - min_i f_i$ $f_i$

— কেভিন
সূত্র

1

আপনি একটি স্ল্যাক ভেরিয়েবল প্রবর্তন করতে পারবেন না? সুতরাং সীমাবদ্ধতার সংস্কার করতে লিখুন: আপনি যদি s = অনন্ততাকে বেছে নেন তবে আসল সমস্যার প্রতি সম্মান সহ এটি একটি অপরিহার্য সমাধান হবে। তবে আমি নিশ্চিত যে আপনি যদি শব্দটি উদ্দেশ্যমূলক (তবে, আপনি ছোট হিসাবে চান যথাসম্ভব শূন্য) এবং পর্যাপ্ত পরিমাণে বৃহত্তর, তবে যদি মূল সমস্যাটি অসীমের চেয়ে কম উদ্দেশ্যমূলক মান সহ সম্ভব সমস্যা সমাধান করে তবে আপনি একটি সম্ভাব্য সমাধান ফিরে পাবেন।

x_{i} <= max (a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$x_i <= \max(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in})$

x_{i} <= s_{i}

$x_i <= s_i$

s_{i} >= a_{i 1}

$s_i >= a_{i1}$

s_{i} >= a_{i 2}

$s_i >= a_{i2}$

. . .

$...$

s_{i} >= a_{i n}

$s_i >= a_{in}$

c * max (s_{i} - max (a_{i}), 0)

$c*\max(s_i-\max(a_i), 0)$

s_{i} - max (a_{i})

$s_i-\max(a_i)$

c

$c$

(একটি প্রমাণ এবং যদি তবে সমাধানটি ; অন্য কথায়, একটি পরিমাপ মূল সমস্যা। যদি সমস্যাটি স্থিতিশীল থাকে তবে সম্ভাব্যতার সীমাবদ্ধ লঙ্ঘনের জন্য অবজেক্টিভ ফাংশন মানটিতে সীমাবদ্ধ উন্নতি হওয়া উচিত you আপনি যদি উদ্দেশ্য মানের পরিবর্তন এবং সম্ভাব্যতা লঙ্ঘনের মধ্যে অনুপাতের চেয়ে বড় হতে বেছে নেন, তবে পরিবর্তিত উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন এমন সমস্যাগুলির জন্য বৃদ্ধি পাবে যা অদম্য অঞ্চলে চলে) $s_i>=\max(a_i)$ $x_i=s_i$ $s_i-\max(a_i)$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

এটা একটা ভালো ধারণা. আপনার প্রমাণটি পেরেছে বলে ধরে নিই, বিষয়টি তখন সীমারেখা থেকে অরৈখিকতা এবং স্বাতন্ত্র্যকে উদ্দেশ্যকে সরিয়ে নিয়ে যায়, উভয়ই এখনও একটি গঠনের অনাকাঙ্ক্ষিত গুণাবলী।

— জেফ অক্সবেরি

আমি ভীত এটি কাজ করবে না। যদি পরিমাণে পরিবর্তনশীল হয়, ধ্রুবক না হয়, তবে আপনার মূল সীমাবদ্ধতা উত্তল সেট নয় । অন্যদিকে, আপনার সীমাবদ্ধতার সেটটি হল একটি উত্তল সেট । সীমাবদ্ধতার দুটি সেট সমতুল্য হতে পারে না।

a_{i j}

$a_{ij}$

(x_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

(x_{i}, s_{i}, a_{i 1}, a_{i 2}, . . ., a_{i n})

$(x_i,s_i,a_{i1},a_{i2},...,a_{in})$

— মাইকেল গ্রান্ট

1

আমি মন্তব্য বোতামটি খুঁজে পাচ্ছি না ...

জিফ যেমন উল্লেখ করেছেন, এটি একটি অবতীর্ণ বাধা ফাংশন। যাইহোক, এটি ফাংশন নিজেই অবতল বা না তা বিবেচনা করে না। লিনিয়ার সীমাবদ্ধতার অধীনে অবতল ফাংশনগুলি উত্তল সেট হতে পারে (যেমন )। $log(x)<5$

যদি এটি একটি উত্তল সেট হয়, আপনি সীমাবদ্ধতার জায়গায় ফিরে প্রজেক্ট করতে ডাইকস্ট্রার_প্রজেকশন_ালগোরিদমের মতো কিছু ব্যবহার করে আপনার উদ্দেশ্যমূলক ক্রিয়ায় গ্রেডিয়েন্ট বংশোদ্ভূত পরিবেশনা করতে পারেন ।

— টিম
সূত্র

অবতল ফাংশন সম্পর্কে মন্তব্যে উত্সাহিত; আমার ব্যাখ্যা সম্পর্কে আমার আরও চিন্তা করা উচিত ছিল। সম্ভাব্য সেটটিতে প্রজেক্ট করা একটি সম্ভাবনা, যদিও আমি নিশ্চিত নই যে আপনি আমার অস্তিত্বের সীমাবদ্ধতাগুলির সাথে এই অ্যালগোরিদমগুলি প্রয়োগ করতে পারলে আমার মাথার উপরের অংশটি বন্ধ করে দেওয়া হবে।

— জেফ অক্সবেরি

আমি নিশ্চিত না যে তারা অ-মসৃণ সীমাবদ্ধতার জন্য প্রয়োগ করে কিনা। আরও মনে রাখবেন, নন-উত্তল সমস্যাগুলি কেবলমাত্র এনপি-হার্ড যদি তাদের কোনও এনপি সংখ্যার সম্ভাব্য সমাধান থাকে। যদি সম্ভাব্য সমাধানগুলির সংখ্যা P এ থাকে তবে ব্রুট ফোর্স হুবহু একটি উত্তম-উত্তোলন অপটিমাইজেশন কার্য সমাধান করে। শেষ অবধি, পদ্ধতিটি এলপি হিসাবে গঠন করা যায় না, তবে এই সীমাবদ্ধতার অবতল প্রকৃতির সাথে কোনও সম্পর্ক নেই। এটি কারণ সীমাবদ্ধতা একটি অ-লিনিয়ার ফাংশন যা একটি অ-রৈখিক (উত্তল বা না) সীমাবদ্ধ স্থানকেও ছাঁটাই করে। অনেক উত্তল প্রতিবন্ধকতা রয়েছে যা এলপি ব্যবহার করেও সমাধান করা যায় না। যেমন

x^{2} + y^{2} < 5

$x^2+y^2<5$

— টিম

"ননকনভেক্স সমস্যাগুলি কেবলমাত্র এনপি-হার্ড যদি তাদের কাছে এনপি সংখ্যার সম্ভাব্য সমাধান থাকে।" এনপি এর অর্থ হ'ল "ননডেটরিস্টিনিস্টিক পলিনোমিয়াল"। আপনি যে বিষয়ে কথা বলছেন তা সম্পর্কে আমি পুরোপুরি হারিয়েছি। দ্বিতীয়ত, আমি স্থূলত্ব উল্লেখ করেছি কারণ লিনিয়ার ফাংশনগুলি অবতল এবং উত্তল; ফাংশন উত্তল নয়। কেবল কারণ ফাংশনটি অদম্য এবং টুকরোচক লিনিয়ার তাত্ক্ষণিকভাবে কোনও এলপি সংস্কারের সম্ভাবনাটি বাদ দেয় না।

— জিফ অক্সবেরি

উদাহরণস্বরূপ, "একটি লিনিয়ার সীমাবদ্ধতার হিসাবে সংস্কার করা যেতে পারে, এবং এইভাবে, এলপি সংস্কারকে স্বীকার করে। অবশেষে, আপনি ঠিক বলেছেন, অনেকগুলি প্রতিবন্ধকতা রয়েছে যা লিনিয়ার সীমাবদ্ধতাগুলি যেমন মসৃণ ননরেখা সংক্রান্ত সীমাবদ্ধতা হিসাবে সংস্কার করা যায় না।

U_{i j} \leq min_{k} {U_{i k}, U_{k j}}

$U_{ij} \leq \min_{k}\{U_{ik}, U_{kj}\}$

— জিফ অক্সবেরি

দুঃখিত, মন্তব্যটি সংক্ষিপ্ত করতে হয়েছিল, সুতরাং আমি বহু-বহিরাগতের জন্য এনপি এবং বহুবর্ষের জন্য পি ব্যবহার করেছি। মুল বক্তব্যটি ছিল যে নন-উত্তল অপ্টিমাইজেশন সর্বদা এনপি-হার্ড হয় না। বহুমাত্রিকের চেয়ে সম্ভাব্য সমাধানের সংখ্যা সবচেয়ে কম হলে এটি কেবল এনপি-হার্ড। বিভ্রান্তির জন্য দুঃখিত :) আপনি লিনিয়ার হিসাবে সংস্কার সম্পর্কে ঠিক বলেছেন। আপনি বলেছিলেন "ফলস্বরূপ, আপনার প্রোগ্রামকে একটি রৈখিক প্রোগ্রাম হিসাবে সংস্কার করার কোনও উপায় নেই," অবিচ্ছিন্নতার কারণে, আমি কেবল উল্লেখ করছিলাম যে এটি বেহেশতের সাথে নয়, লিনিয়ারির সাথে সম্পর্কিত নয়।

— টিম

0

আরও কি অসমতার সীমাবদ্ধতা উল্লেখ করা হচ্ছে না? যেমনটি বলা হয়েছে, সমস্যাটি শঙ্কুর উপরে লিনিয়ার ফাংশনটি হ্রাস করতে হয়, তাই সর্বোত্তম মান সর্বদা হয় বা । $-\infty$ $0$

এমনকি প্রতিবন্ধকতা সীমাবদ্ধ করেও , সমস্যাটি একটি পৃথক সিদ্ধান্ত সমস্যায় হ্রাস পায়। রৈখিক ফাংশন মনে সম্পূর্ণ গ্রাফ কোণগুলি ইতিবাচক / নেতিবাচক ওজন সংশ্লিষ্ট হিসাবে ছেদচিহ্ন। যদি সেখানে ব্যাসের 2 এর গ্রাফ থাকে যা এর সমস্ত ওজনকে তার ওজনের যোগফলের সাথে সংযুক্ত করে কঠোরভাবে নেতিবাচক হয়, তবে অনুকূল মানটি হয় , অন্যথায় অনুকূল মান । $U \ge 0$ $A$ $n$ $-\infty$ $0$

এটি কীভাবে প্রমাণ করতে হয় তার একটি দ্রুত স্কেচ। প্রথম দ্রষ্টব্য যে যদি , তবে বোঝায় । সুতরাং বৈষম্যগুলি বোঝায় যে প্রতি ট্রিপল ঠিক নীচের একটি অবশ্যই সত্য হওয়া উচিত: $a \le b \le c$ $c \le \max(a,b)$ $b=c$ $i,j,k$

$U_{ij} < U_{jk} = U_{ik}$
$U_{ik} < U_{jk} = U_{ij}$
$U_{jk} < U_{ik} = U_{ij}$
$U_{ij} = U_{jk} = U_{ik}$

সুতরাং আপনি যদি কিছু প্রান্তিক এবং যেখানেই প্রান্ত দিয়ে একটি গ্রাফ করেন , তবে প্রতি 3 টি উল্লম্বের সাথে অবশ্যই 0,2, বা 3 টি কিনারা যুক্ত হতে হবে। তাই আপনি যদি , তারপর প্রত্যেক অন্যান্য প্রান্তবিন্দু জন্য , আমরা থাকতে হবে পারেন বা । সুতরাং গ্রাফের যদি কোনও প্রান্ত থাকে তবে এটি অবশ্যই ব্যাস 2 এর হতে হবে। $t$ $G(t)$ $U_{ij}=t$ $U_{ij}=U_{j k}=t$ $\ell$ $U_{j \ell}=t$ $U_{i\ell}=U_{k\ell}=t$ $G(t)$

— পুনশ্চ
সূত্র