রিয়েল স্পর্স ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী গণনা করা

Question

একটি জেনেরিক স্পার্স ম্যাট্রিক্স m এর সাথে এম << এন (সংশোধন: ) শূন্য উপাদান নয় (সাধারণত )। এটিকে জেনেরিক যে এর কোনও নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য নেই (যেমন ইতিবাচক সুনির্দিষ্টতা), এবং কোনও কাঠামো (যেমন ব্যান্ডনেসড) অনুমান করা হয় না।$A \in \mathbb{R}^{n\times n}$$m \ll n^2$$m \in {\cal O}(n)$$A$

ভাল কিছু কি হয় সংখ্যাসূচক পদ্ধতি গনা চরিত্রগত বহুপদী অথবা ন্যূনতম বহুপদী পারেন ?$A$

Comments

আপনার মতামতগুলি সমস্ত ইগেনভ্যালুগুলি গণনা করতে চান। আপনি কেন বহুপদী চান এবং কীভাবে আপনি এটি প্রকাশ করতে চান? মনোমুগ্ধকর ভিত্তিটি অত্যন্ত অসুস্থ শর্তযুক্ত, সুতরাং সহগগুলি সুনির্দিষ্ট নির্ভুল গণিতগুলিতে স্ট্যাটিলে গণনা করা যায় না।

— জেড ব্রাউন

@ জেডব্রাউন আরও বেশি চিন্তাভাবনা করুন। ইন এই প্রশ্নের আমার উত্তর আমি একজন দিলেন বীজগাণিতিক (বিনিময় রিং এবং ক্ষেত্র ওভার যেমন ম্যাট্রিক্স) একটি ম্যাট্রিক্স, যা কম্পিউটার বীজগণিত সুপরিচিত হয় ইনভার্টারিং করার পদ্ধতি। আমি এটির সংখ্যাগত ম্যাট্রিক্সের জন্য ব্যবহার করতে পারি কিনা তা জানতে চাই। দয়া করে নোট করুন যে, এই প্রশ্নের উদ্দেশ্যে, আমি বিপরীত না করে বৈশিষ্ট্যযুক্ত / ন্যূনতম বহুবর্ষ সন্ধানের সংখ্যাসূচক পদ্ধতিতে আগ্রহী।

Answer 1

যদি জটিলতা স্টপার না হয় তবে আপনি ড্যানিলেভস্কি পদ্ধতিটি দেখতে চাইতে পারেন। এটি সংখ্যাগত লিনিয়ার বীজগণিত সম্পর্কিত রাশিয়ান সাহিত্যে বেশ সুপরিচিত, তবে ইংরেজিতে খুব বেশি তথ্য নেই। আপনি এই লিঙ্ক থেকে শুরু করতে পারেন ।$O(n^3)$

ধারণাটি বরং সোজাসাপ্টা: ম্যাট্রিক্স ধীরে ধীরে "গাউসিয়ান নির্মূলের মতো" মিলের রূপান্তর দ্বারা ফ্রবেনিয়াসের স্বাভাবিক ফর্মের কাছে হ্রাস পেয়েছে । আপনি যদি তথ্য না পান তবে আমি অ্যালগোরিদমটিকে আরও বিস্তৃত করতে পারি।

Answer 2

আপনি আপনার জেনেরিক ম্যাট্রিক্সের ইগেন্যুয়ালগুলি গণনা করার জন্য কিউআর ফ্যাক্টরাইজেশন বা পাওয়ার পদ্ধতি এবং এর বাস্তবগুলি (বিপরীত শক্তি ইত্যাদি) এর মতো একটি সংখ্যাসূচক পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারেন। এর পরে, আপনি গুণাবলী দ্বারা আপনার বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুপদী গণনা করতে পারেন: (λ-λ1) (λ-λ2) ... (λ-λn) = 0 যেখানে λi গণিত ইগেনভ্যালু। শক্তি এবং কিউআর পদ্ধতি সম্পর্কে এখানে একটি সংক্ষিপ্ত উপস্থাপনা:

কিউ-পাওয়ার

Answer 3

যাইহোক: আপনি কি বলতে চেয়েছিলেন যে আপনার কাছে আছে $m \ll O(n^2)$এন্ট্রি? সত্যিই যদি $m \ll O(n)$ তারপরে সারি এবং কলামগুলির সিংহভাগ পুরোপুরি খালি থাকবে এবং সম্ভবত এটি সম্ভবত বৈশিষ্ট্যযুক্ত বহুবর্ষটি ডিগ্রি নয় $n$ তবে ডিগ্রি $O(m)$।

Comments

অপস। না। আমি বলতে চাইছিলাম$m \ll n^2,$ অর্থাত $m \in {\cal O}(n)$। এর জন্যে দুঃখিত.