বহু স্বাধীন পিরিয়ড এবং কোনও বদ্ধ ফর্মের সাথে দোলক সংহতগুলির মূল্যায়ন

Question

দোলনীয় ইন্টিগ্রালগুলির বেশিরভাগ পদ্ধতিগুলি আমি ফর্মের ইন্টিগ্রালগুলির সাথে ডিল সম্পর্কে জানি

$$\int f(x)e^{i\omega x}\,dx$$ কোথায় $\omega$ বড়.

আমার যদি ফর্মটির অবিচ্ছেদ্য থাকে

$$\int f(x)g_1(x)\cdots g_n(x)\,dx,$$ কোথায় $g_k$ অসিলেটরি ফাংশন যার শিকড়গুলি প্রায় আনুমানিক হিসাবে পরিচিত তবে কিছু ধরণের অ্যাসিম্পটোটিক ফর্ম $$g_k(x) \sim e^{i\omega_k x}$$ ফ্রিকোয়েন্সি সহ, পরিচিত হয় $\omega_k$ সমস্ত আলাদা (এবং $\mathbb{Q}$-লাইনারি স্বতন্ত্র), তাহলে আমি কীভাবে এই অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করতে পারি?

ক্ষেত্রে অসদৃশ $e^{i\omega x}$, বহুপদী সংহত $\int x^a \prod g_k(x)$ জানা যায় না, তাই এর জন্য আমি বহুভিত্তিক ইন্টারপোলেন্টগুলির একটি সেট তৈরি করতে পারি না $f(x)$ এবং ইন্টারপোলেন্টগুলি ঠিক একীভূত করুন।

আমার সঠিক সমস্যা, $g_k$এর বেসেল ফাংশন $J_0(\omega_k x)$, এবং $f(x)=x^\alpha$, এবং একীকরণের অঞ্চলটি $[0,\infty)$। আমি এখন যে পদ্ধতিটি ব্যবহার করছি তা হ'ল অন্তরগুলির সাথে অবিচ্ছেদ্য অবদানের যোগফল$[x_{k-1},x_k]$ কিছু কাটাফোঁটা পর্যন্ত শিকড় মধ্যে $M$তারপরে, অ্যাসিম্পটোটিক এক্সটেনশন ব্যবহার করুন $g_k(x)$ বড় জন্য $x$। এই অ্যালগরিদমের সময় জটিলতাটি ক্ষতিকারক$n$ কারণ এতে পণ্য সম্প্রসারণ জড়িত $g_1\ldots g_n$যার প্রত্যেকটির একটি সংখ্যা রয়েছে $r$ asyptotic পদ, প্রদান $r^n$মোট পদ; খুব ছোট ছোট ছাঁটাইয়ের শর্তাদি এই সময়কে বড় করার পক্ষে পর্যাপ্ত রান সময়কে হ্রাস করে না$n$।

হিউরিস্টিক অ-কঠোর উত্তর, পরামর্শ এবং রেফারেন্স সবই স্বাগত।

Answer 1

আমি সরল ইন্টিগ্রালগুলিতে কাজ করেছি যেখানে স্টেশন পর্বের পয়েন্ট রয়েছে। আমি দুটি পদ্ধতি খুঁজে পেয়েছি যা বেশ ভালভাবে কাজ করে।

একটি হ'ল একটি ঘৃণ্য স্যাঁতসেঁতে ফ্যাক্টর প্রবর্তন করা যা ফেজ ফাংশনের উপর নির্ভর করে, যদি আপনি চান তবে এক ধরণের কৃত্রিম সান্দ্রতা।

আরেকটি কৌশল (যেখানে স্ট্যাটাসের একাধিক পয়েন্ট রয়েছে। ফেজ) এখানে বর্ণিত ছিল:

টাক, ইও, কলিন্স, জেএল এবং ওয়েলস, ডাব্লুএইচ, "জাহাজের তরঙ্গ এবং তাদের বর্ণালীতে", শিপ রিসার্চ জার্নাল, পৃষ্ঠা ১১-২২, 1971

এই পদ্ধতিটি সংহতকরণে ক্ষতিকারক ক্ষয় কারণগুলি প্রয়োগ করে যেখানে এটি স্ট্যাট থেকে দূরে সরে যায়- ফেজ পয়েন্ট, কিন্তু সংহতটি অক্ষত যেখানে এটি নেই leaves

এটাই আমার ধারণার বাইরে!

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ, তবে এই ক্ষেত্রে এটি কীভাবে কাজ করবে তা আমি যথেষ্ট দেখতে পাচ্ছি না। এক কিছুর জন্য, আসল লাইনে স্থিতিশীল পর্বের কোনও পয়েন্ট নেই, এবং দোলন থেকে প্রাপ্ত অবদানগুলি চূড়ান্ত মানের জন্য তাৎপর্যপূর্ণ, তাই স্যাঁতস্যাঁতে হবে না।

— কিরিল

Answer 2

আপনার সংহতকরণের দোলকের অংশের শিকড়গুলির (বা এক্সট্রিমার) জন্য যতক্ষণ পর্যন্ত সঠিক মান রয়েছে ততক্ষণ লংগম্যানের পদ্ধতি (আমি এই উত্তরে বর্ণিত হিসাবে ) প্রযোজ্য থাকবে। আপনাকে যা করতে হবে তা হ'ল আপনার পছন্দের চতুর্ভুজ পদ্ধতিটি ব্যবহার করে শিকড়গুলির মধ্যে অন্তরগুলির সাথে একগুচ্ছ সংস্থার মূল্যায়ন করা এবং এই সংহতগুলিকে কিছু বিকল্প সিরিজের শর্ত হিসাবে বিবেচনা করা। তারপরে আপনি এই বিকল্প সিরিজের "যোগফল" তৈরি করতে যেকোন সংখ্যক কনভার্জেন্স ত্বরণ পদ্ধতি (ইউলার, লেভিন, ওয়েনিগার ইত্যাদি) ব্যবহার করতে পারেন।

উদাহরণ হিসাবে, এই গণিত.এসই উত্তরে আমি একটি অসীম অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করেছি যার দোলক অংশটি দুটি বেসেল ফাংশনের একটি পণ্য।

Comments

শিকাগুলিগুলি অনিয়মিতভাবে ব্যবধানযুক্ত (পিরিয়ডগুলির সমস্তগুলি অযৌক্তিক এবং স্বতন্ত্র) তা কী বিবেচনা করবে না? আপনি কেন এই ধরনের অনিয়মিত ক্রমের জন্য কনভার্জেনশন ত্বরণকে বিশ্বাস করবেন?

— কিরিল

এটি কিছুক্ষণ আগে, আমি এক হাজার অঙ্কের অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করতে চেয়েছিলাম এবং যদি আমি সঠিকভাবে মনে করি তবে দোল চতুর্ভুজটি আসলে আমি প্রথমে চেষ্টা করেছি। আমি ফলাফলগুলি মনে করি না, তবে আমি মনে করি না যে সময়টি এটি ভালভাবে কাজ করেছিল।

— কিরিল

"আপনি কেন এই জাতীয় অনিয়মিত অনুক্রমের জন্য অভিব্যক্তির ত্বরণকে বিশ্বাস করবেন?" - আমি কেবলমাত্র একজন এক্সিলারকে বিশ্বাস করব না । তবে, যদি কমপক্ষে তিনটি পৃথক এক্সিলিটর আমাকে ধারাবাহিক ফলাফল দেয় তবে আমি ভাবব যে আমি যে অঙ্কগুলি পেয়েছি তা কমপক্ষে প্রশংসনীয়। এফডাব্লুআইডাব্লু, আমি বেসেল ফাংশনগুলির পণ্যগুলির সীমাহীন সংহতগুলির জন্য লংগম্যান ব্যবহার করেছি এবং বিশেষত ত্বক হিসাবে ওয়েনিজারের রূপান্তরটি ব্যবহার করার সময় আমি কখনই হতাশ হইনি।

— জেএম

আমি প্রশ্নে যে পদ্ধতিটি বর্ণনা করছি তাও একটি দোলক চতুর্ভুজ পদ্ধতি: ফর্মের শর্তগুলির একটি ধারাবাহিকতায় ইন্টিগ্রান্ডটি প্রসারিত করুন$x^a e^{b x}$, অসীম অবিচ্ছেদ্য যার জন্য একটি বদ্ধ ফর্ম রয়েছে। আমি কনভার্জেশন ত্বরণের চেয়ে এই জাতীয় পদ্ধতিতে বেশি বিশ্বাস করব। আমার বোধগম্যতা হ'ল তাদের দৃ work় একঘেয়েত্বের মতো কিছু বা ত্রুটির শর্তগুলির একটি ভাল বোঝার প্রয়োজন যাতে ভাল কাজ করা নিশ্চিত হয়।

— কিরিল

আপনি যদি কোনও (সাধারণীকরণ) ফুরিয়ার সম্প্রসারণ করতে পারেন তবে নিশ্চিত হন।

— জেএম