ত্রিভুজটিতে কমপ্যাক্ট সমর্থিত ফাংশনের সংখ্যাগত সংহতকরণ

Question

শিরোনামের পরামর্শ অনুসারে আমি একটি ত্রিভুজটিতে একটি সংক্ষিপ্তভাবে সমর্থিত ফাংশন (ওয়েন্ডল্যান্ডের কুইন্টিক বহুপদী) এর অবিচ্ছেদ্য গণনা করার চেষ্টা করছি। লক্ষ্য করুন, ফাংশনের কেন্দ্রটি কোথাও 3-ডি স্পেসে রয়েছে। আমি এই ফাংশনটি একটি নির্বিচারে, তবে ছোট ত্রিভুজ ( ) এ সংহত করি rate আমি বর্তমানে ডুনাভান্ট, 1985 (পি = 19) দ্বারা বর্ণিত সংহতটি ব্যবহার করছি।$area < \frac{(radius/4)^2}{2}$

তবে মনে হয়, এই চতুর্ভুজ বিধিগুলি কমপ্যাক্ট সমর্থিত সমস্যার দিকে উপযুক্ত নয়। এটি সত্য দ্বারা সমর্থিত যে আমি যখন ত্রিভুজ ব্যবহার করে পৃথক করা হয় এমন একটি বিমানটিতে (সুতরাং একটি ফাংশন যা 1 ব্যাসার্ধের 1 এর বৃত্তের ভিতরে 1 হয় সংহত করা হয় তখন আমার (স্বাভাবিকীকরণ) ফলাফলগুলি এর মধ্যে থাকে 1.001 এবং 0.897।$f(r) = [r\leq1]$

সুতরাং আমার প্রশ্নটি হ'ল, এই জাতীয় সমস্যার জন্য কি একটি বিশেষ চতুষ্কোণ বিধি বিদ্যমান? একটি নিম্ন অর্ডার যৌগিক ইন্টিগ্রেশন নিয়ম আরও ভাল কাজ করবে?

দুর্ভাগ্যক্রমে আমার কোডে এই রুটিনটি সত্যই সমালোচিত তাই যথার্থতা গুরুত্বপূর্ণ। অন্যদিকে আমার এই একীকরণটি "একাধিকবার" একক সময়-পদক্ষেপের জন্য করা দরকার যাতে গণনার ব্যয় খুব বেশি না হয় not সমান্তরালকরণ কোনও সমস্যা নয় কারণ আমি সিরিয়ালেই ইন্টিগ্রেশনটি চালিয়ে দেব।

আপনার উত্তরের জন্য অগ্রিম ধন্যবাদ।

সম্পাদনা: ওয়েন্ডল্যান্ডের সহ এবং r_0 সহ r_0 \ mathbb {R} ^ 3 এ একটি নির্বিচারে ভেক্টর হিসাবে রয়েছেα=$W(q) = [q\leq2]\frac{\alpha}{h^3}(1-\frac{q}{2})^4(2q+1)$$\alpha = \frac{21}{16\pi}$$q=\frac{\|r-r_0\|}{h}$$r_0$$\mathbb{R}^3$

সম্পাদনা 2: যদি $\Delta$ দ্বি-মাত্রিক ত্রিভুজ হয় তবে আমি ulate omega (r) = W (\ frac {\ | r-r_0 \ |} {h}) এর সাথে \ int_ \ ডেল্টা \ ওমেগা (আর) ডর গণনা করতে চাই want । সুতরাং কুই মধ্যে ওয়াট হবে না চেয়ে ছোট 0. লক্ষ্য করুন অবিচ্ছেদ্য একটি 2-D: পৃষ্ঠের উপর একটি পৃষ্ঠ অবিচ্ছেদ্য \ mathbb {r} ^ 3$\int_\Delta \omega(r) dr$$\omega(r) = W(\frac{\|r-r_0\|}{h})$$q$$W$$\mathbb{R}^3$

সম্পাদনা 3: আমার কাছে 1-ডি (লাইন) সমস্যার জন্য বিশ্লেষণাত্মক সমাধান রয়েছে। 2-ডি (ত্রিভুজ) এর জন্য একটির গণনাও সম্ভব হতে পারে।

Comments

আপনি যে ফাংশনটি সংহত করার চেষ্টা করছেন তার আরও কয়েকটি বিশদ আমাদের দিতে পারেন? এটা কি শুধুই বহুপদী? বা একটি অংশবিশেষ বহুভুজ?

— পেড্রো

অনুরোধ অনুসারে সম্পাদিত

— Azrael3000

Answer 1

যেহেতু ফাংশনটি মধ্যে মসৃণ , তবে নির্দিষ্ট ডিগ্রির নয় (বিমানটিতে, এটি), আমি একটি সাধারণ অভিযোজিত স্কিম ব্যবহার করার পরামর্শ দেব, যেমন ট্রাম্পিজয়েডাল রুল , রোমবার্গের পদ্ধতির সাথে , উভয় মাত্রায়ই।$q \leq 2$

অর্থাৎ আপনার ত্রিভুজ ছেদচিহ্ন দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয় , এবং , এবং আপনি একটি রুটিন আছে যা সংহত লাইন বরাবর থেকে থেকে , আপনি নিম্নলিখিত করতে পারে (মতলব স্বরলিপি):$x$$y$$z \in \mathbb R^3$romb(f,a,b)fab

int = romb( @(xi) romb( W , xi , y+(z-y)*(xi-x)./(z-x) ) , x , z );

ইন romb, একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক পয়েন্ট ব্যবহার করবেন না, তবে যতক্ষণ না দুটি ক্রমাগত তির্যকের মধ্যে পার্থক্য আপনার প্রয়োজনীয় সহনশীলতার নীচে না থাকে ততক্ষণ টেবিলটি বর্ধমান রাখুন। যেহেতু আপনার ফাংশনটি মসৃণ, এটির জন্য একটি ভাল ত্রুটি অনুমান করা উচিত।

যদি ত্রিভুজের অংশগুলি এর ডোমেনের বাইরে থাকে তবে আপনি সেই অনুযায়ী উপরের কোডে সংহতকরণের সীমাটি সামঞ্জস্য করার চেষ্টা করতে পারেন।$W(q)$

এটি আপনার সমস্যা সমাধানের পক্ষে সবচেয়ে গণনামূলকভাবে কার্যকর উপায় নাও হতে পারে তবে অভিযোজিততা আপনাকে একটি নির্দিষ্ট-ডিগ্রি রুলের চেয়ে অনেক বেশি দৃust়তা দেয়।

Comments

ফাংশনটি ব্যতীত সর্বত্র স্মোথ । এই পয়েন্টের পাড়াটি সমস্যা সৃষ্টি করছে। $q=0$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

আহ দু'-1 টি সমস্যায় বিভক্ত, একেবারেই খারাপ ধারণা নয়। কারণ একটি জিনিস আছে যা আমি আপনাকে বলিনি। আমার 1-ডি-তে একটি বিশ্লেষণাত্মক সমাধান রয়েছে যাতে আমি একটি বিশ্লেষণমূলক ফাংশন দ্বারা অভ্যন্তর রম্বটিকে প্রতিস্থাপন করতে পারি। আমি ইতিমধ্যে এটি একটি শট +1 দেব

— Azrael3000

@ আর্নল্ডনিউমায়ার, আমি দুঃখিত, কীভাবে এটি সম্ভব তা আমি দেখছি না। আপনি ব্যাখ্যা করতে পারেন?

— পেড্রো

ফাংশন হিসাবে মসৃণ , তবে হল একটি অসাধারণ ফাংশন , এবং ইন্টিগ্রেশনটি এরও বেশি , যতদূর আমি প্রশ্নটি বুঝতে পেরেছি। যৌগিক ফাংশন এইভাবে একটি nonsmooth ফাংশন । q r r $q$$q$$r$$r$$r$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

@ পেড্রো আমি এটি প্রয়োগ করেছি এবং এটি একটি কবজির মতো কাজ করে। আমরা আসলে আজ একটি বিশ্লেষণাত্মক সমাধানও পেয়েছি। তবে এটি কেবলমাত্র একটি বিশেষ কেসের জন্য যা সাধারণটিকে পুনর্গঠন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে। এর অর্থ আমাদের কিছু ডোমেন পচন করা দরকার। যেহেতু রমবার্গ প্রায় 4 টি ধাপে রূপান্তরিত করে আমি মনে করি যে এর কারণে এটি বিশ্লেষণাত্মক সূত্রটি ব্যবহার করার চেয়ে দ্রুত হবে। এবং উইকিপিডিয়া অনুসারে যুক্তিযুক্ত বহুপদী ব্যবহারের সময় আমরা রোমবার্গের চেয়ে আরও ভাল করতে পারি। আপনি আমার পরবর্তী কাগজের স্বীকৃতিগুলিতে আপনার নামটি খুঁজে পাবেন :) চিয়ার্স।

— Azrael3000

Answer 2

ঘনক্ষেত্রের নিয়মগুলির একটি ভাল সংক্ষিপ্তসার জন্য, দেখুন "আর। কুলস, একটি এনসাইক্লোপিডিয়া অফ কিউবেচার ফর্মুলা জে। জটিলতা, 19: 445-453, 2003"। একটি নির্দিষ্ট নিয়ম ব্যবহার করে, আপনাকে এই সুবিধাটি দেওয়া যেতে পারে যে কিছু নিয়ম বহুত্ববিন্দুকে ঠিক একীভূত করে তোলে (যেমন গাউসিয়ান চতুর্ভুজটি এক মাত্রায় হয়)।

কুলস সিউবিপ্যাকের অন্যতম প্রধান লেখক, সংখ্যার কিউবাইটের জন্য একটি সফ্টওয়্যার প্যাকেজ।

Comments

আমি মনে করি যে এখানে সমস্যাটি হ'ল ফাংশনটি বহুবচন , তবে স্থানিক স্থানাঙ্কগুলিতে একটি লিনিয়ার ফাংশন। ফাংশনটি বেস ফাংশনের প্রান্তে মসৃণ, তবে অক্ষ ছাড়াও বহুপদী নয়। $q$$q$

— পেড্রো

এটি সঠিক পেড্রো।

— Azrael3000

আহ, ঠিক আছে. আমার ভুল. দুঃখিত।

— GertVdE

Answer 3

সংহতকরণের বিধিগুলি অনুমান করে যে ফাংশনটি স্থানীয়ভাবে কম ডিগ্রি বহুপদী দ্বারা সজ্জিত। কমপ্যাক্ট সমর্থন নিয়ে আপনার সমস্যার কোনও যোগসূত্র নেই। যথাযথভাবে সমর্থিত রেডিয়াল বেস ফাংশন সমর্থন সীমানায় মসৃণ হয় এবং মসৃণতার ক্রম পর্যন্ত চতুর্ভুজ বিধিগুলি সমস্যা ছাড়াই ব্যবহার করা যেতে পারে। (উচ্চতর আদেশের নিয়মগুলি কোনও উপকারে আসে না; সুতরাং আপনার সম্ভবত সম্ভবত এমন কোনও নিয়ম ব্যবহার করা উচিত নয় যা ডিগ্রি 5 বহুতলকে ঠিক একীভূত করে।)

আপনার ক্ষেত্রে, ভ্রম যে ভাল বহুপদী approximability এর ধৃষ্টতা কাছাকাছি ত্রিভুজ জন্য আপনার ক্ষেত্রে ব্যর্থ থেকে আসে , এমনকি যখন তারা থাকে না ।r $r_0$$r_0$

কিউ কি আর আর → র 0 আর $W$ ফাংশন হিসাবে মসৃণ , তবে হল একটি অসাধারণ ফাংশন, গ্রেডিয়েন্ট সহ সীমাতে অসীম হয়ে যায় । ইন্টিগ্রেশন শেষ হয়ে গেছে , এবং যৌগিক ফাংশনের একটি nonsmooth ফাংশন ।$q$$q$$r$$r\rightarrow r_0$$r$$r$

যদি ত্রিভুজটি না থাকে তবে ক্রিয়াকলাপটি is তবে উচ্চতর ডেরাইভেটিভ খুব দ্রুত কাছাকাছি বাড়তে সহায়তা করে না এবং উচ্চ আদেশের পদ্ধতির ত্রুটিটি একটি উচ্চ অর্ডার ডেরিভেটিভের সাথে সমানুপাতিক, তাই খুব বড় !C i n f r $r_0$$C^inf$$r_0$

সহজ প্রতিকারটি হ'ল প্রতিটি ত্রিভুজ টিকে সাবট্রায়াঙ্গলের একটি নম্বর এনটি বিভক্ত করা। আপনি গ্রহণ করতে পারেন কাছ থেকে অনেক দূরে , এবং পাসে । পছন্দসই নির্ভুলতায় পৌঁছানোর জন্য প্রদত্ত ব্যাসের ত্রিভুজ এবং থেকে দূরত্বের জন্য কতটা বড় হবে তা আপনি অফলাইনে বুঝতে পারবেন figure , আপনার কেবলমাত্র কাছাকাছি লো অর্ডার সূত্রগুলি ব্যবহার করা উচিত ।আর 0 এন টি ≫ 1 আর $N_T=1$$r_0$$N_T\gg 1$$r_0$আর 0 আর $N_T$$r_0$$r_0$

আপনি যখন ত্রিভুজের উপর একীভূত হন, তবে ত্রিমাত্রিক, ত্রিভুজটি স্পষ্টতই ।R $r_0$$R^3$

একটি দ্রুততর প্রতিকার অতএব জন্য অবিচ্ছেদ্য সারসংক্ষেপ হবে ত্রিভুজ স্থানাঙ্ক এর কার্যকারিতা হিসেবে (ক 2-মাত্রিক সেটিকে আবর্তিত দ্বারা স্বাভাবিক উপর -plane যেমন যে এক চূড়া মিথ্যা -axis, এবং এটি যেমন যে অনুধ্যায়ী একটি দ্বিতীয় শীর্ষস্থানটি এর উপরে অবস্থিত)। রৈখিক বা চতুষ্কোণ ইন্টারপোলেশন যথাযথভাবে নির্ভুল করতে এই সারণীটি অবশ্যই যথেষ্ট বিশদ হতে হবে। তবে আপনি এই টেবিলটি তৈরি করতে প্রথমে বর্ণিত ধীর পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারেন।x y $r_0=0$$xy$$x$

সমস্যা থেকে মুক্তি পাওয়ার আরেকটি উপায় হ'ল একটি কমপ্যাক্ট সমর্থিত রেডিয়াল বেস ফাংশন যা চেয়ে এ একটি বহুভুজ । এটি সর্বত্র মসৃণ এবং সংহত করা সহজ।$q^2$$q$

Comments

আমি মনে করি একটি ছোট ভুল ধারণা আছে। আমি আমার প্রশ্নের বিবরণ আপডেট করেছি। প্রকৃতপক্ষে, অখণ্ড কখনই 0 এর চেয়ে ছোট হতে পারে না এবং অগত্যা ত্রিভুজটিতে অন্তর্ভুক্ত থাকে না। r $q$$r_0$

— Azrael3000

আপনার নতুন সংযোজনটি আমার কাছে বোধগম্য নয়। যদি তবে অবশ্যই হওয়া উচিত । অথবা আপনি কি ডি ত্রিভুজটির উপর একীভূত হন ? - আমি ধরে নিই যে ত্রিভুজটিতে রয়েছে। আমি আমার উত্তরের সাথে আরও এক মুহুর্তে আরও বিশদ যুক্ত করেছি। r R 3 r $r_0\in R^3$$r$$R^3$$r_0$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

হ্যাঁ, এটা ঠিক যে আমি ডি ত্রিভুজের উপরে সংহত করেছি । $R^3$

— Azrael3000