প্রাথমিক-মান এবং চূড়ান্ত-মান সীমাবদ্ধতার সাথে মিলিত ওডিইগুলি সমাধান করা

Question

আমার প্রশ্নের সারমর্মটি নিম্নলিখিত: আমার কাছে দুটি ওডিই সিস্টেম রয়েছে। একটিতে প্রাথমিক-মান সীমাবদ্ধতা রয়েছে এবং অন্যটির চূড়ান্ত মান সীমাবদ্ধতা রয়েছে। কিছু ভেরিয়েবলের প্রাথমিক-মান সীমাবদ্ধতা এবং অন্যের উপর চূড়ান্ত-মান সীমাবদ্ধতা সহ এটি একক সিস্টেম হিসাবে ভাবা যেতে পারে।

বিশদটি এখানে:

আমি রৈখিক ডায়নামিকাল সিস্টেমটি চালনা করার জন্য একটি অবিচ্ছিন্ন-সময় সসীম-দিগন্ত এলকিউআর নিয়ামক ব্যবহার করার চেষ্টা করছি। আমি পাইথন ইকোসিস্টেমটি ব্যবহার চালিয়ে যেতে চাই।

সিস্টেমটি আকারে , x ( 0 ) = x 0 সাপেক্ষে$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$$x(0)=x_0$

এলকিউআর দ্রবণটি একটি ম্যাট্রিক্স যেমন সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ ইনপুট ইউ (টি), এক্স ( টি ) এর রৈখিক , হ'ল ইউ ( টি ) = কে ( টি ) এক্স ( টি ) ।$K(t)$$x(t)$$u(t) = K(t)x(t)$

যেখানে $K(t) = R^{-1} B^T P(t)$

এবং হ'ল একটানা সময় রিকিকাটি ডিফারেনশনাল সমীকরণের সমাধান (দ্রষ্টব্য যে এই পি ( টি ) একটি ম্যাট্রিক্স)$P(t)$$P(t)$

বিষয়সাজেP(tf)=$\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t) A + P(t) B R^{-1} B^T P(t) + Q$$P(t_f) = Q$

, B , x 0 , Q , Q f , R , t f সব দেওয়া আছে।$A$$B$$x_0$$Q$$Qf$$R$$t_f$

ইংরেজিতে: আপনি কিছু গতিশীলতার সিস্টেম রাজ্যের শুরু আছে । LQR নিয়ামক সময় 0 এবং t f এর মধ্যে ব্যবহারের জন্য একটি প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স উত্পন্ন করে ( t f সাধারণত সমস্যার সময়-দিগন্ত বলা হয়)$x_0$$0$$t_f$$t_f$

নোট করুন যে দুটি ওডিই কেবল এক দিকে মিলিত হয়েছে - এর সমাধান x ( টি ) এর উপর নির্ভর করে না । সুতরাং সমস্যার সমাধানের একটি উপায় হ'ল চূড়ান্ত-মান সমস্যাটিকে প্রাথমিক-মান সমস্যায় রূপান্তর করতে এবং মানক ODE ইন্টিগ্রেটার ব্যবহার করে 0 এবং t f সময়ের মধ্যে একটি সংখ্যাসূচক সমাধান সন্ধান করার জন্য রিকটি সমীকরণকে বিপরীত করা । এরপরে আমি এক্স ( টি ) খুঁজে পেতে এই সংখ্যাসূচক সমাধানটি ব্যবহার করতে পারি$P(t)$$x(t)$$0$$t_f$$x(t)$। এটি আমার উদ্বেগের কারণ x (টি) এর জন্য সংখ্যাসূচক ওডিই সল্ভার অগত্যা DE পি (টি) এর সংখ্যাসম্য সমাধানের সময়গুলির হিসাবে একই সময়ে ওডিইর নমুনা দেবে না। এটি প্রয়োগ করার জন্য কিছু চতুর উপায় থাকতে পারে।

সমস্যাটি সমাধান করার পূর্বে যেভাবে আমি পূর্বাভাস দিয়েছিলাম সেগুলি হ'ল একত্রে সমাধান করা, তবে প্রাথমিক-মান এবং চূড়ান্ত-মান সীমাবদ্ধতার মিশ্রণটি কীভাবে মোকাবিলা করতে হয় তা আমি জানি না। এই সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য কম্পিউটেশনালি ভারী? আমি কি এটি সায়পি / পাইথনে করতে পারি?

Answer 1

$P(t)$$t \in [0,t_f]$

আপনি আউটপুট মানগুলির মধ্যে ফাঁক দিয়ে এটি করতে পারেন । আমি আপনাকে পরামর্শ দিচ্ছি যে আপনি একটি রানেজ-কত্তা পদ্ধতি ব্যবহার করুন যা ঘন আউটপুট সমর্থন করে। উদাহরণস্বরূপ, scipy.integrate.ode.dopri5যেমন একটি পদ্ধতির উপর ভিত্তি করে। সুতরাং আপনাকে খুব ছোট পদক্ষেপ নিতে ইন্টিগ্রেটারকে বাধ্য না করে খুব সূক্ষ্মভাবে ব্যবধানযুক্ত আউটপুট সময় নির্দিষ্ট করতে সক্ষম হওয়া উচিত (ধরে নেওয়া উচিত যে এটির স্কিপি ইন্টারফেসটি সঠিকভাবে কার্যকর হয়েছে)।

Comments

$P(t)$$P'(t)$

Answer 2

একে দ্বি-পয়েন্ট সীমানা মান সমস্যা বলা হয় এবং ভালভাবে অধ্যয়ন করা হয়।

শুটিং পদ্ধতিটি প্রোগ্রামের জন্য খুব সহজ তবে সংখ্যাগতভাবে এটি অস্থির হতে পারে।

এই সমস্যাগুলি সমাধান করার স্ট্যান্ডার্ড উপায় হ'ল একাধিক শুটিং পদ্ধতির ব্যবহার এবং মানক ননলাইনার সলভার দ্বারা সমীকরণের সম্পর্কিত ননলাইনার সিস্টেমটি সমাধান করা। সমীকরণের ননলাইনার সিস্টেমগুলির জন্য সলভারগুলির তালিকার জন্য, দেখুন উদাহরণস্বরূপ,
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonlin

আপনি নিয়মিত গ্রিডে স্থিতিশীল হিসাবে স্থিতি হিসাবে নিন (সাধারণত খুব সূক্ষ্ম গ্রিডের প্রয়োজন হয় না), এবং সমীকরণ হিসাবে সীমানা পরিস্থিতি এবং ম্যাপিংগুলি যা টাইম টি ভেরিয়েবলগুলিকে টাইম টি + এইচ ভেরিয়েবলের মানচিত্র দেয়। এটি ভেরিয়েবল হিসাবে অনেক সমীকরণ দেয়। গ্রিডে অবস্থিত রাজ্যগুলির একটি নির্দিষ্ট কনফিগারেশনের জন্য আপনাকে কেবল এই ম্যাপিংয়ের মূল্যায়নের জন্য রুটিনগুলি সরবরাহ করতে হবে এবং ননলাইনার সলভার অন্য সব কিছু করে। (আপনার প্রাথমিক অনুমানগুলি যদি কম হয় তবে সম্ভবত আপনার একাধিক প্রারম্ভিক বিন্দু প্রয়োজন))

উইকিপিডিয়া http://en.wikedia.org/wiki/Direct_m Multipleple_shooting_method প্রক্রিয়াটির একটি দরকারী বিবরণ রয়েছে, যদি উপরের বর্ণনটি আপনার পক্ষে যথেষ্ট বিশদ না থাকে। সেখানে উদ্ধৃত স্টোয়ার / বুলির্শ বইটি সম্পূর্ণ বিবরণ দেয়।

Answer 3

পাইথনে এটি কীভাবে করা যায় তা আমি জানি না, তবে আপনি সাহিত্যে যে কীওয়ার্ডটি অনুসন্ধান করতে চান সেটি হ'ল "শুটিং পদ্ধতি"। এটি এমন একটি পদ্ধতির নাম যা সমস্যার সমাধান করে যা প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত মানের উভয়ই সীমাবদ্ধতা রয়েছে।

Answer 4

অটো দুটি পয়েন্ট বিভিপিগুলিকে সমাধান করতে পারে এবং এতে অজগর ইন্টারফেস রয়েছে এবং এটি ইনস্টল করা তুলনামূলক সহজ। http://www.ma.hw.ac.uk/~gabriel/auto07/node6.html ।

আপনি যদি প্রথমে পি (টি) সমাধান করার ইচ্ছার পথে যান এবং অন্য ওডিইতে একটি ইনপুট হিসাবে এটি খাওয়ান, তবে সেট আপ করার একটি কার্যকর উপায় হল পাইডিস্টুল ব্যবহার করা। পাইডিস্টুল যে কোনও প্ল্যাটফর্মে ইনস্টল করা খুব সহজ, দেখুন http://pydstool.sf.net । এটি, ডিফল্টরূপে কেবল আপনার পূর্ববর্তী গণিত সমাধানের জন্য লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন ব্যবহার করবে (সুতরাং সূক্ষ্ম সময়ে রেজুলেশনে এটি গণনা করুন)। যাইহোক, আপনি পাইডিস্টুলকে একটি অভিযোজক সংহতকারী (এমনকি এটি অদক্ষ হতে পারে এবং ত্রুটিযুক্ত হতে পারে) দিয়ে ঠিক পছন্দসই সময় পয়েন্টে যেতে বাধ্য করতে পারেন। তবে পর্যাপ্ত পরিমাণে ছোট পদক্ষেপের সাথে, দ্বিতীয় সিস্টেমের জন্য লিনিয়ার ইন্টারপোলেশন এবং একটি দ্রুত সংহত (ডপরি অন্তর্নির্মিত) এর অর্থ আপনি এই জাতীয় "নিয়মিত" সিস্টেমের জন্য ভাল থাকবেন।