একটি ল্যাপ্লাসিয়ান ম্যাট্রিক্সের বর্গমূলের সন্ধান করা

11

ধরুন নিম্নলিখিত ম্যাট্রিক্স দেওয়া হয় তার TRANSPOSE সঙ্গে । প্রোডাক্ট ফলন করেছে , $A$

[\begin{array}{ccc} 0.500 & - 0.333 & - 0.167 \\ - 0.500 & 0.667 & - 0.167 \\ - 0.500 & - 0.333 & 0.833 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc} 0.500 & -0.333 & -0.167\\ -0.500 & 0.667 & -0.167\\ -0.500 & -0.333 & 0.833\end{array}\right]$

A^{T}

$A^T$

A^{T} A = G

$A^TA=G$

[\begin{array}{ccc} 0.750 & - 0.334 & - 0.417 \\ - 0.334 & 0.667 & - 0.333 \\ - 0.417 & - 0.333 & 0.750 \end{array}]

$\left[\begin{array}{ccc}0.750 & -0.334 & -0.417\\ -0.334 & 0.667 & -0.333\\ -0.417 & -0.333 & 0.750\end{array}\right]$

যেখানে হ'ল ল্যাপলাসিয়ান ম্যাট্রিক্স । নোট করুন যে ম্যাট্রিকগুলি এবং 2 স্তরের, ইগেনভেেক্টর সাথে শূন্য ইগ্যালভ্যালু সহ $G$ $A$ $G$ $1_n=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1\end{array}\right]^T$ ।

আমি অবাক হয়েছি যদি কেবল দেওয়া হয় তবে উপায় কী হবে ? আমি চেষ্টা eigendecomposition , এবং তারপর সেট , কিন্তু বিভিন্ন ফলাফলের প্রাপ্ত। আমার ধারণা র‌্যাঙ্কের ঘাটতির সাথে এটি করা দরকার। কেউ এই ব্যাখ্যা করতে পারে? স্পষ্টতই, উপরের উদাহরণটি উদাহরণের জন্য; আপনি উপরের ফর্মটির সাধারণ ল্যাপ্লাসিয়ান ম্যাট্রিক্স পচকে বিবেচনা করতে পারেন। $A$ $G$ $G=UEU^T$ $A'=UE^{1/2}$

যেহেতু, উদাহরণস্বরূপ, কোলেস্কি পচনটি খুঁজে পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে , তাই ক্ষয় অনেক সমাধান পেতে পারে। আমি সমাধান হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে আগ্রহী যেখানে একটি হল পরিচয় ম্যাট্রিক্স, , এবং কিছু ভেক্টর পরিতৃপ্ত হচ্ছে $G=LL^T$ $G$

A = (I - 1_{n} w^{T}),

$A=(I-1_nw^{T}),$

I

$I$

3 \times 3

$3\times 3$

1_{n} = [1 1 1]

$1_n=[1~ 1~ 1]$

w

$w$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$ । যদি এটি বিষয়গুলিকে সহজতর করে, আপনি ধরে নিতে পারেন যে

এর এন্ট্রি অ-নেতিবাচক।

w

$w$

linear-algebra matrix eigensystem

— usero
সূত্র

আমি মনে করি মন্তব্য আপনি প্রতিনিধিত্ব সম্পর্কে আপনার দ্বারা যোগ

শুধুমাত্র আংশিকভাবে সহায়ক। এটি ধরে নেওয়া হয় যে শূন্যের সমান হ'ল একটি ইগন্যালুও আছে, তবে অ-নির্ধারকতা সর্বদা থাকে, তাই না?

A

$A$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ 21

@ ওল্ফগ্যাংবাংগার্থ আমি "অ-নির্ধারকতা" এর অর্থ বের করার চেষ্টা করছি। যদি এটি

তবে এটি উপরের উদাহরণটির জন্য ধারণ করে এবং আমি নিশ্চিত নই যে এটি

জন্য সাধারণীকরণ করা যায় কিনা । তবে,

ব্যতীত আমি সন্দেহ করি যে সমাধানটি সর্বদা উপস্থিত থাকবে।

d e t (A) = 0

$det(A)=0$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

n = 3

$n=3$

— usero

না, আমি যা বোঝাতে চেয়েছি তা হ'ল আপনার সমস্যার সমাধানটি অনন্যভাবে নির্ধারিত নয়। আমি এই বিষয়টির দিকে ইঙ্গিত করছিলাম যে ম্যাট্রিক্সের শূন্য ইগেনুয়ালু আছে কি না তা আসলে এই সত্যটি পরিবর্তন করে না যে বর্গমূল সমস্যার কোনও অনন্য সমাধান নেই।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

11

আমরা ম্যাট্রিক্স Laplacian ম্যাট্রিক্স আছে যা eigenvalues একটি সেট আছে জন্য যেখানে আমরা সবসময় জানতে । সুতরাং Laplacian ম্যাট্রিক্স সবসময় প্রতিসম ধনাত্মক আধা-নির্দিষ্ট হয়। কারণ ম্যাট্রিক্স $G=A^TA$ $\lambda_0\leq\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$ $G\in\mathbb{R}^{n\times n}$ $\lambda_0 = 0$ $G$ প্রতিসম ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট নয়, যখন আমরা কোলেস্কি পচন নিয়ে আলোচনা করি তখন আমাদের সতর্ক থাকতে হবে। কোলেস্কি পচন ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের জন্য বিদ্যমান তবে এটি আর অনন্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, ইতিবাচক আধা-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স এর অনেকগুলি Cholesky পচন

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}],

$A=\left[\!\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\!\right],$

A = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] = [\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin θ & \cos θ \end{array}] [\begin{array}{cc} 0 & \sin θ \\ 0 & \cos θ \end{array}] = L L^{T} .

$A=\left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \!\right] = \left[\!\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \!\right] \left[\!\begin{array}{cc} 0 & \sin\theta \\ 0 & \cos\theta \end{array} \!\right]=LL^T.$

যাইহোক, কারণ আমরা একটি ম্যাট্রিক্স আছে করে একটি Laplacian ম্যাট্রিক্স আমরা আসলে Cholesky decompositions বা ইতিবাচক আধা নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্স বর্গমূল খোঁজার মত আরো পরিশীলিত রৈখিক বীজগণিত সরঞ্জাম এড়াতে পারেন হিসেবে পরিচিত যেমন যে আমরা পুনরুদ্ধার । উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা ল্যাপ্লেস ম্যাট্রিক্স , $G$ $G$ $A$ $G\in\mathbb{R}^{4\times 4}$ আমরা কাঙ্ক্ষিত ম্যাট্রিক্সপুনরুদ্ধার করতে গ্রাফ তত্ত্ব ব্যবহার করতে পারি। আমরা ওরিয়েন্টেড ইনসিডেন্স ম্যাট্রিক্স প্রণয়ন করে এটি করি। যদি আমরা গ্রাফের প্রান্তগুলির সংখ্যাএবং সংখ্যার কোণকেহিসাবে সংজ্ঞায়িত করে থাকিতবে ওরিয়েন্টেড ঘটনা ম্যাট্রিক্সহ'ল দ্বারা প্রদত্তএকটিম্যাট্রিক্স

G = [\begin{array}{cccc} 3 & - 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}]

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & -1 & -1 & -1\\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right]$

A

$A$

m

$m$

n

$n$

A

$A$

m \times n

$m\times n$

যেখানে

প্রান্তটি

এবং

সাথে সংযুক্ত করে নির্দেশ করে। আমরা যদিচারটি শীর্ষে এবং তিনটি প্রান্তের সাথে

জন্য গ্রাফ নিয়ে থাকিতবে আমাদের কাছে ওরিয়েন্টেড ঘটনা ম্যাট্রিক্স

A_{e v} = {\begin{array}{lc} 1 & if e = (v, w) and v < w \\ - 1 & if e = (v, w) and v > w \\ 0 & otherwise, \end{array}

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right.$

e = (v, w)

$e=(v,w)$

v

$v$

w

$w$

G

$G$

এবং আমরা খুঁজে পেতে পারি যে

। আপনি যে ম্যাট্রিক্স সমস্যার বর্ণনা দিয়েছেন তার জন্য আপনি

জন্যএকই সংখ্যার প্রান্তটি শীর্ষে হিসাবেএকটি গ্রাফ তৈরি করবেন, তখন আপনাকে ম্যাট্রিক্স

পুনর্গঠন করার সক্ষমতা থাকা উচিতযখন আপনাকে কেবল ল্যাপ্ল্যাকিয়ান ম্যাট্রিক্স

দেওয়া হয়।

একজন = [\begin{array}{cccc} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array}],

$A = \left[\!\begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}\!\right],$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

হালনাগাদ:

যদি আমরা একটি গ্রাফের ভার্টেক্স ডিগ্রির তির্যক ম্যাট্রিক্সকে হিসাবে এবং গ্রাফের সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সকে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি, তবে গ্রাফের ল্যাপল্যাসিয়ান ম্যাট্রিক্স দ্বারা সংজ্ঞা দেওয়া হয়েছে । উদাহরণস্বরূপ, নিম্নলিখিত গ্রাফ এ $N$ $M$ $G$ $G=N-M$

আমরা দেখতে পাই ল্যাপ্লাসিয়ান ম্যাট্রিক্সটি এখন আমরাচিত্রের গ্রাফে প্রদত্ত প্রান্ত এবং নোডগুলি ব্যবহার করেওরিয়েন্টেড ঘটনা ম্যাট্রিক্সসাথেসম্পর্কিত করব। আবার আমরা এন্ট্রি খুঁজেথেকে উদাহরণস্বরূপ, প্রান্ত

জি = [\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}] ।

$G=\left[\!\begin{array}{cccc} 3 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\!\right] - \left[\!\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

A

$A$

A

$A$

{একজন}_{ই বনাম} = {\begin{array}{lc} 1 & যদি ই = (বনাম, W) এবং বনাম < W \\ - 1 & যদি ই = (বনাম, W) এবং বনাম > W \\ 0 & অন্যভাবে, \end{array} ।

$A_{ev} = \left\{\begin{array}{lc} 1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v<w \\ -1 & \textrm{if }e=(v,w)\textrm{ and }v>w \\ 0 & \textrm{otherwise}, \end{array} \right..$

e_{1}

$e_1$ নোডগুলি

এবং

সংযুক্ত করে । সুতরাং

নির্ধারণ করার জন্য আমরা নোট করি যে

এর সূচকটি

এর সূচকের চেয়ে কম (অথবা আমাদের ক্ষেত্রে

এর সংজ্ঞা

আছে )। সুতরাং,

। একইভাবে সূচকের তুলনা করার মাধ্যমে আমরা

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

A_{e_{1}, v_{1}}

$A_{e_1,v_1}$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v < w

$v<w$

A_{e v}

$A_{ev}$

A_{e_{1}, v_{1}} = 1

$A_{e_1,v_1} = 1$

A_{e_{1}, v_{2}} = - 1

$A_{e_1,v_2} = -1$ । আমরা দিতে

আরো স্পষ্ট ভাবে প্রান্ত এবং ছেদচিহ্ন অঙ্কিত উল্লেখ নিচের।

A

$A$

A = \begin{array}{ccccc} v_{1} & v_{2} & v_{3} & v_{4} \\ e_{1} & 1 & - 1 & 0 & 0 \\ e_{2} & 1 & 0 & - 1 & 0 \\ e_{3} & 1 & 0 & 0 & - 1 \end{array} .

$A = \begin{array}{c|cccc} & v_1 & v_2 & v_3 & v_4 \\ \hline e_1 & 1 & -1 & 0 & 0\\ e_2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ e_3 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ \end{array}.$

$Gr$ $V$ $E$

w : V \times V \to R^{+},

$w: V\times V\rightarrow \mathbb{R}^+,$

u

$u$

v

$v$

w (u, v)

$w(u,v)$

u \in V

$u\in V$

u

$u$

d_{u} = \sum_{v \in V} w (u, v) .

$d_u = \sum_{v\in V}w(u,v).$

G r

$Gr$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

n \times n

$n\times n$

V

$V$

w (u, v)

$w(u,v)$

D (G r)

$D(Gr)$

V

$V$

G

$G$

G = D (G r) - A d (G r) .

$G = D(Gr) - Ad(Gr).$

G = [\begin{array}{ccc} \frac{3}{4} & - \frac{1}{3} & - \frac{5}{12} \\ - \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{3} \\ - \frac{5}{12} & - \frac{1}{3} & \frac{3}{4} \end{array}] .

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{3}{4} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{5}{12} \\ -\tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} \\ -\tfrac{5}{12} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{3}{4} \\ \end{array}\!\right].$

G

$G$

G = A^{T} A

$G=A^TA$

A

$A$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

w^{T} 1_{n} = 1

$w^T1_n=1$

A

$A$

A

$A$

A d (G r)

$Ad(Gr)$

G

$G$

জি = [\begin{array}{ccc} \frac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{11}{12} \end{array}] - [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{5}{12} & \frac{1}{3} & \frac{1}{6} \end{array}] = ডি (জি R) - একজন ঘ (জি R) ।

$G=\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{5}{4} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac{11}{12} \\ \end{array}\!\right]-\left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{12} \\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \\ \tfrac{5}{12} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{6} \\ \end{array}\!\right] = D(Gr)-Ad(Gr).$

v_{1}

$v_1$

v_{2}

$v_2$

v_{3}

$v_3$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 6

$1/6$

w

$w$

[\frac{1}{2}

$[\frac{1}{2}$

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$

\frac{1}{6}]^{T}

$\frac{1}{6}]^T$

A

$A$

একজন = আমি - 1_{এন} W^{টি} = [\begin{array}{ccc} \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & \frac{2}{3} & - \frac{1}{6} \\ - \frac{1}{2} & - \frac{1}{3} & \frac{5}{6} \end{array}] ।

$A = I-1_nw^T = \left[\!\begin{array}{ccc} \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{6} \\ -\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{5}{6} \\ \end{array}\!\right].$

$A$

— অ্যান্ড্রু উইন্টারস
সূত্র

পুনরুদ্ধার

A

$A$

G

$G$

O (n^{2})

$O(n^2)$

G

$G$

G

$G$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

A

$A$

G

$G$

1

G

$G$

A = I - 1_{n} w^{T}

$A=I-1_nw^T$

G

$G$

G = A^{T} A = (I - 1_{n} w^{T})^{T} (I - 1_{n} w^{T})

$G=A^TA=(I-1_nw^T)^T(I-1_nw^T)$

9

$A$ $B$

{বি}^{2} = একজন,

$B^2 = A,$

$C$

{সি}^{এইচ} সি = একজন,

$C^H C = A,$

$C \mapsto Q C$ $Q$

শেষ অবধি, কেউ তার একজাতীয় পচনের মাধ্যমে হার্মিটিয়ান পজিটিভ আধা-নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের অনন্য ম্যাট্রিক্স বর্গমূলকে গঠনমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারেন , বলুন

একজন = ইউ Λ {ইউ}^{এইচ},

$A = U \Lambda U^H,$

$U$ $\Lambda$ $A$

বি = ইউ \sqrt{Λ} {ইউ}^{এইচ} ।

$B = U \sqrt{\Lambda} U^H.$

— জ্যাক পলসন
সূত্র

A

$A$

6

জি = {একজন}^{টি} একজন ।

$G = A^T A.$

G

$G$

G

$G$

G = L^{T} L

$G=L^TL$

A = L

$A=L$

A

$A$

G

$G$ , এবং যদি আপনার কোনও একটি নির্দিষ্ট থাকতে চান তবে আপনার প্রশ্নটি এমনভাবে পুনর্বিবেচনা করতে হবে যে আপনি যে শ্রেণীর মূলের "ব্রাঞ্চ" এর আগ্রহী তার কাঠামোগত বৈশিষ্ট্যগুলি নির্দিষ্ট করে দিন।

আমি বলব যে জটিল পরিস্থিতি ব্যবহার করে প্রকৃত সংখ্যাগুলির মধ্যে বর্গমূল গ্রহণের সাথে এই পরিস্থিতিটি ভিন্ন নয়: সেখানেও সাধারণভাবে আপনার দুটি শিকড় রয়েছে এবং আপনি উত্তরটি অনন্য করতে চান কোনটি আপনাকে বলতে হবে।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

আপনি অবশ্যই সঠিক। অন্য উপায়ে বর্ণিত পচন পদ্ধতির উপরোক্ত হিসাবে বর্ণনা করব। সমাধানটি অনন্য করতে আমি একটি সম্পাদনা করেছি। আশা করি বিষয়টি জটিল হবে না।

— Usero

উপরে আমি যে প্রতিবন্ধকতা দিয়েছি তার সমাধান কি সর্বদা বিদ্যমান? সম্ভবত এটি কেবলমাত্র কিছু ক্ষেত্রে রয়েছে এবং সাধারণভাবে নয়।

— usero

আসলে, কোলেস্কি তার ক্ষেত্রে কাজ করে না, কারণ এটির (মূলত) প্রয়োজন ম্যাট্রিক্স হার্মিটিয়ান ইতিবাচক-সুনির্দিষ্ট।

— জ্যাক পলসন

4

$LDL^{T}$ $\hat{D} = \sqrt{D}$ $G = L\hat{D}$

— Willowbrook কিছু
সূত্র

L D L^{T}

$LDL^T$

1

@ জ্যাকপলসন আমি মতলব-তে একটি একক ম্যাট্রিক্স এ চেষ্টা করি এবং ldl চালাই, এটি কার্যকর। শূন্য ইগেনভ্যালুগুলি ডি এর তির্যকের শূন্যগুলির সাথে মিলে যায়

— উইলব্রুক

2

L D L^{T}

$LDL^T$

P A P^{'} = L D L^{T}

$PAP'=LDL^T$

D

$D$

2 \times 2

$2 \times 2$