এফইএম: কঠোরতার ম্যাট্রিক্সের এককত্ব

আমি ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রারম্ভিক অবস্থার সঙ্গে , । এখানে প্যারামিটার। অপারেটর আকারে আমরা ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটিকে হিসাবে আবার লিখতে পারি , যেখানে অপারেটর ধনাত্মক সুনির্দিষ্ট।

{(σ^{2} (x) u^{″} (x))}^{″} = f (x), 0 ⩽ x ⩽ 1

$\left( \sigma^{2}(x) u ''(x) \right)'' = f(x), \;\;\; 0 \leqslant x \leqslant 1$

u (0) = u (1) = 0

$u(0) = u(1) = 0$

u^{″} (0) = u^{″} (1) = 0

$u''(0) = u''(1) = 0$

σ (x) ⩾ σ_{0} > 0

$\sigma(x) \geqslant \sigma_{0} > 0$

A u = f

$Au = f$

A

$A$

এফইএম স্কিম অনুসরণ করে, আমি আমার সমস্যাটিকে একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যার থেকে কমিয়ে আছি

J (u) = (A u, u) - 2 (f, u) \to min_{u}

$J(u) = (Au,u) - 2(f,u) \to \min_{u}$ আমি সীমাবদ্ধ উপাদান

h_{k} (x)

$h_{k}(x)$ কে

introduce হিসাবে পরিচয় করিয়ে দিচ্ছি

v_{k} (x) = {\begin{aligned} 1 - {(\frac{x - x_{k}}{h})}^{2}, & x \in [x_{k - 1}, x_{k + 1}] \\ 0, & otherwise \end{aligned}

$v_{k}(x) = \left\{ \begin{array}{rl} 1 - \left( \frac{x-x_{k}}{h} \right)^2, & x \in [x_{k-1},x_{k+1}] \\ 0, & \text{otherwise} \end{array} \right.$ কোন

k = 1, \dots, n - 1

$k = 1,\ldots,n-1$ , যেখানে

x_{k} = h k

$x_{k} = hk$ ,

h = \frac{1}{n}

$h = \frac{1}{n}$ । সীমাবদ্ধ উপাদানগুলি

v_{0} (x)

$v_{0}(x)$ এবং

v_{n} (x)

$v_{n}(x)$ একইভাবে প্রবর্তিত হয়।

আমি সংখ্যায়িত ভেক্টর $\alpha$ যেমন $u(x) = \sum_{k=0}^{n} \alpha_{k} v_{k}(x)$ অপ্টিমাইজেশনের সমস্যা সমাধান করে তা সন্ধান করার চেষ্টা করি। আমাদের কাছে

J (u) = \sum_{i = 0}^{n} \sum_{j = 0}^{n} α_{i} α_{j} (A v_{i}, v_{j}) - \sum_{i = 0}^{n} 2 α_{i} (v_{i}, f) = α^{T} V α - 2 α^{T} b \to min_{α},

$J(u) = \sum\limits_{i=0}^{n} \sum\limits_{j=0}^{n} \alpha_{i} \alpha_{j} (Av_{i},v_{j}) - \sum\limits_{i=0}^{n} 2\alpha_{i} (v_{i},f) = \alpha^{T} V \alpha - 2\alpha^{T} b \to \min\limits_{\alpha},$ যেখানে

b_{i} = (f, v_{i})

$b_{i} = (f,v_{i})$ এবং

V_{i, j} = (A v_{i}, v_{j})

$V_{i,j} = (Av_{i},v_{j})$ ।

সাথে পৃথকীকরণের পরে

α

$\alpha$ আমি

পেয়েছি

V α = b,

$V\alpha = b,$ তবে এখানে কঠোরতার ম্যাট্রিক্স

V

$V$ একবচন। তাহলে আমার কী করতে হবে? হতে পারে আমাকে অন্যান্য সীমাবদ্ধ উপাদান নির্বাচন করতে হবে?

finite-element

— Appliqué
সূত্র

হাই, নিমজা, আপনার কি এমন কোনও পরীক্ষা সমস্যা আছে যা আপনি সঠিক সমাধানটি জানেন? যদি হ্যাঁ, ডোমেনের অভ্যন্তরে আপনার ভিত্তিটি সঠিক কিনা তা পরীক্ষা করার জন্য প্রথমে

সমাধান করার চেষ্টা করুন

V^{T} V α = V^{T} b

$V^T V \alpha = V^T b$ , যদি সবকিছু সঠিক দেখাচ্ছে তবে সম্ভবত এটি ভুলভাবে পোজ করা বিসি ম্যাট্রিক্সকে একবচন করে তোলে। তবে বিসি আমার কাছে ঠিক আছে বলে মনে হচ্ছে।

— শুহাও Cao

উত্তর:

সম্ভাবনার ক্রম হ্রাস

ভুল ভিত্তি। আপনার বিবরণ থেকে, এটি প্রদর্শিত হচ্ছে যে প্রতিটি উপাদানকে সমর্থন করে আপনার ঠিক দুটি চতুর্ভুজ ফাংশন রয়েছে। সেই স্থানটি unityক্যের বিভাজন নয় এবং (ক্রমাগত প্রথম ডেরাইভেটিভস) নয়। আপনার চতুর্থ ক্রম সমস্যাটি সরাসরি বিচক্ষণ করার জন্য (এটি দ্বিতীয় আদেশের সমীকরণের সিস্টেমে হ্রাস করার পরিবর্তে) উদাহরণস্বরূপ, আপনার ভিত্তি প্রয়োজন হবে । নোট করুন যে ভিত্তিতে সমস্ত লিনিয়ার ফাংশনগুলি পুনরুত্পাদন করতে সক্ষম হওয়া উচিত। $C^1$ $C^1$ $C^1$
অপর্যাপ্ত সীমানা শর্ত। যদি আপনি নাল স্পেসটি গণনা করে প্লট করেন তবে এটি স্পষ্টভাবে স্পষ্ট হবে।
ভুল সমাবেশ আপনি যা প্রত্যাশা করেছিলেন তা নিশ্চিত করার জন্য উপাদানগুলি থেকে একত্রিত ক্রমে মানচিত্রটি পরীক্ষা করুন, উদাহরণস্বরূপ যে এটি উপাদানগুলির দিকনির্দেশকে বিপরীত করছে না।
ভুল স্থানীয় সমাবেশ। 1 ডি তে, আপনি বিশ্লেষণ করে এই উপাদানটির স্টাফনেস ম্যাট্রিক্সের চেহারাটি (সম্ভবত কোনও সরল ক্ষেত্রে ব্যবহারের জন্য) দেখতে পান এবং কোডটি এটি পুনরুত্পাদন করে তা পরীক্ষা করে দেখতে পারেন।

— জেড ব্রাউন
সূত্র

ধন্যবাদ. 1. আমি মনে করি যে আমার ভিত্তি প্রয়োজন হবে কারণ । তারপর, যদি আমি শুধুমাত্র ফাংশন যে সীমানা শর্ত সন্তুষ্ট বিবেচনা তারপর ।

C^{2}

$C^2$

(A u, v) = \int_{0}^{1} σ^{2} (x) u^{″} (x) v^{″} (x) d x

$(Au,v) = \int_{0}^{1} \sigma^{2}(x) u''(x) v''(x) dx$

\ker A = {0}

$\ker A = \{ 0 \}$

— অ্যাপ্লিক্যু

একটি ভিত্তি যথেষ্ট, একীকরণটি অবিচ্ছিন্ন হওয়া দরকার। নোট করুন যে দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভগুলির সীমানা শর্তগুলি একটি সীমানা অবিচ্ছেদ্য হয়ে উঠবে। চতুর্থ অর্ডার সমস্যার সরাসরি বিবেচনার জন্য আপনি ভিত্তিক ব্যবহার করতে পারেন , তবে প্রথম এবং দ্বিতীয় অর্ডার সিস্টেমের জন্য বিচ্ছিন্ন গ্যালার্কিন পদ্ধতিগুলির মতো আপনাকে জাম্প শর্তাদি একীকরণ করতে হবে। এটি কোনও খারাপ পদ্ধতি নয়, তবে এটি 1 ডি-তে অকারণে জটিল কারণ এটি ধারাবাহিকতার কোনও আদেশ (যেমন স্প্লাইনস) দিয়ে ঘাঁটিগুলি তৈরি করা এত সহজ। এই কাগজটি " ডিজিজ" এর উদাহরণ ।

C^{1}

$C^1$

C^{0}

$C^0$

C^{0}

$C^0$

— জেড ব্রাউন

ঠিক আছে. আমি আমার ভিত্তি সংশোধন: এখন উপর এবং । এখন এটি । কিন্তু পদ্ধতি এখনও কাজ করে না।

v_{k} (x) = \cos^{2} (\frac{π}{2 h} (x - x_{i}))

$v_{k}(x) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2h}(x-x_{i}) \right)$

[x_{i - 1}, x_{i + 1}]

$[x_{i-1},x_{i+1}]$

i = 1, \dots, n - 1

$i = 1,\ldots,n-1$

C^{1}

$C^1$

— অ্যাপ্লিক্যু

ভিত্তিতে ফাংশন রৈখিক পুনর্গঠন করতে সক্ষম হওয়া উচিত, কিন্তু এই না। এটি ঠিক করার পরে, অখণ্ডগুলি সঠিকভাবে সম্পাদিত হচ্ছে তা পরীক্ষা করুন, তারপরে সীমানা শর্তগুলি পরীক্ষা করুন।

C^{1}

$C^1$

— জেদ ব্রাউন

স্পষ্টত সমস্যাটির একটি ওডিডি অর্ডার ডেরাইভেটিভ রয়েছে। আরও বিশেষত বৃহত্তর প্যাকেট সংখ্যার জন্য , শক্ততার ম্যাট্রিক্স 'সূক্ষ্ম' আকারটি বজায় রাখতে পারে না, যা সমাবেশের সময় জিরো তৈরি করে এবং তাই একক বা কখনও কখনও খুব ছোট নির্ধারক হয়ে যায় যা সমাধান প্লটের ক্ষেত্রে দোলনের দ্বারা লক্ষণীয়।

এই জাতীয় সমস্যার সমাধান হ'ল অন্যান্য পদ্ধতির মধ্যে জরিমানা ব্যবহার। আরো নির্দিষ্টভাবে এই বলা হয় পেট্রোভ-Galerkin পদ্ধতি ।

আমার খারাপ ইংরেজি বোঝার জন্য দুঃখিত।

— সোহেল আহমেদ
সূত্র