প্রতিসম জেনারেলাইজড ইগেনভ্যালু সমস্যার জন্য কি সিলভেস্টার জড়তা আইনের একটি সাধারণীকরণ রয়েছে?

Question

আমি জানি যে প্রতিসমিত ইগেনভ্যালু সমস্যা সমাধানের জন্য $Ax = \lambda x$, আমরা সিলভেস্টার জড়তা আইনটি ব্যবহার করতে পারি, এটিই এর ইভালভ্যালুগুলির সংখ্যা $A$ এর চেয়ে কম $a$ এর নেতিবাচক এন্ট্রিগুলির সমান $D$ যেখানে তির্যক ম্যাট্রিক্স $D$ এর এলডিএল ফ্যাক্টেরাইজেশন থেকে আসে $A-aI = LDL^{T}$। তারপরে, দ্বিখণ্ডিত পদ্ধতিতে, আমরা সমস্ত বা কিছু ইগন্যালুয়েসগুলি পছন্দসই হিসাবে খুঁজে পেতে পারি। আমি জানতে চাই যে সিমমেট্রিক জেনারেলাইজড ইজেনভ্যালু সমস্যাগুলির সমাধান করার ক্ষেত্রে সিলভেস্টার জড়তা আইনের সাধারণীকরণ রয়েছে কিনা?$Ax= \lambda Bx$, কোথায় $A$ এবং $B$প্রতিসম ম্যাট্রিক্স হয়। ধন্যবাদ।

Answer 1

হ্যাঁ, পেন্সিলটি যদি নির্দিষ্ট হয়, অর্থাত্, যদি $A$ এবং $B$ হর্মিটিয়ান এবং $B$ইতিবাচক নির্দিষ্ট। তারপরে স্বাক্ষর$A-\sigma B$ ইজেনভ্যালু সমস্যার জন্য একই ব্যাখ্যা রয়েছে $(A-\lambda B)x=0$ ক্ষেত্রে হিসাবে $B=I$। এই ধরণের আরও সাধারণ ফল হ'ল যে কোনও নির্দিষ্ট অন-লাইনীয় ইগুভ্যালু সমস্যার জন্য$A(\lambda)x=0$। আমার বইয়ের 5.3 ধারা দেখুন

আর্নল্ড নিউমায়ার, সংখ্যার বিশ্লেষণের পরিচিতি, কেমব্রিজ ইউনিভ। প্রেস, কেমব্রিজ 2001।

জন্য $(A-\lambda B)x=0$আমার জোরের প্রমাণটি জ্যাক পলসনের যে বিষয়টি উল্লেখ করার পরে তা দিয়েছিলেন তা থেকে অনুমান করা যায় $C-\sigma I$ এবং $A-\sigma B$ একত্রিত হয়, সুতরাং একই জড়তা আছে।

বিশেষত, কেউ সরাসরি এর জড়তা গণনা করতে পারেন $A-\sigma B$, এবং এর কোলেস্কি ফ্যাক্টেরাইজেশন প্রয়োজন হয় না $B$ গঠন করতে $C$। আসলে, যদি$B$ অসুস্থ অবস্থা হয় তারপর সংখ্যার গঠন $C$ জড়তা পরীক্ষার মানকে হ্রাস করে।

Comments

বি এর অসুস্থতা সম্পর্কে ভাল বক্তব্য; আমি মনে করি যে কেউ যদি সত্যই কেবল জড়তা গণনা করতে আগ্রহী তবে আপনার পদ্ধতির আরও ভাল। আমি যে পদ্ধতির পরামর্শ দিয়েছি তা বাস্তবে ইগেনভ্যালু সমস্যা সমাধানের জন্য আদর্শ (যেখানে যেখানে রয়েছে)$B$কন্ডিশন্ডেড)।

— জ্যাক পলসন 21

@ জ্যাকপলসন: জড়তা পরীক্ষাটি সাধারণত নির্দিষ্ট বিরতিতে ইগেনভ্যালুগুলি পাওয়ার জন্য প্রয়োগ করা হয় যখন $A$ এবং $B$ বিরল এবং তাদের যৌথ স্পারসিটি প্যাটার্ন খুব বেশি পূরণ করে না But তবে আপনার $C$ ইতিমধ্যে যখন ঘন হবে $B$ত্রিভুজাকৃতির, অতএব এটি ব্যবহার করা কখনই কোনও বৃহত স্পার সাধারণ জেনারেলাইজড ইগেনুয়ালু সমস্যার ইগেনুয়ালগুলি সন্ধানের জন্য উপযুক্ত নয়। (সমস্যাটি যদি বড় না হয় তবে জড়তা ব্যবহারে খুব একটা লাভ নেই, কারণ সমস্ত ইগ্যালভ্যালু সন্ধান করা সাধারণত খুব দ্রুত হয়))

— আর্নল্ড নিউমায়ার

নিশ্চয়ই; দেখে মনে হচ্ছে আমি ভুল করে আমার মন্তব্যটি বাদ দিয়ে "ঘন" শব্দটি রেখেছি।

— জ্যাক পলসন

Answer 2

ক্ষেত্রে যেখানে $B$ হার্মিটিয়ান এবং ইতিবাচক-সুনির্দিষ্ট, এর কোলেস্কি ফ্যাক্টরাইজেশন $B$বলুন $B = L L^H$, দেয়

$$Ax=LL^H x \lambda,$$

এবং এই সমীকরণটি তা দেখানোর জন্য হেরফের করা যায়

$$(L^{-1} A L^{-H})(L^H x) = (L^H x) \lambda,$$

যেখানে এটি পরিষ্কার হওয়া উচিত $C \equiv L^{-1} A L^{-H}$ এর প্রতিসাম্যতা সংরক্ষণ করে $A$, এবং পেন্সিলের মতো একই বর্ণালীও রয়েছে $(A,B)$। এইভাবে, গঠনের পরে$C$, দ্বি-ত্রিভুজ ত্রিভুজাকার সমাধানের পরে একটি কোলেস্কি ফ্যাক্টেরাইজেশন সহ , আপনি সরাসরি সিলভেস্টার জড়তা আইন প্রয়োগ করতে পারেন$C$ পেন্সিল এর eigenvalues ​​সম্পর্কে তথ্য সংগ্রহ করতে $(A,B)$।

মনে রাখবেন, যেহেতু সিলভেস্টারের জড়তার আইনটি সংঘবদ্ধ রূপান্তরগুলির প্রতি সম্মানজনক , যেমন,$S \cdot S^H$, তারপর ম্যাট্রিক্স $C$ একত্রিত হয় $A$ রূপান্তর মাধ্যমে $L^{-1} \cdot L^{-H}$, এবং তাই $C$ একই জড়তা আছে $A$। তবে, জড়তা যদি$C-\sigma I$ কিছু ননজারো শিফটের জন্য পছন্দসই $\sigma$তাহলে আমরা আর সহজভাবে বিবেচনা করতে পারি না $A$।

Comments

কোন গঠনমূলক সমালোচনা ছাড়াই একটি ডাউনটোট?

— জ্যাক পলসন

আমি আমার অফিসের কম্পিউটারে লগ আউট করিনি, এবং আমার অফিসার আমার ব্রাউজারে এই ট্যাবটি চালানোর জন্য ঘটনার উত্তরটি হ্রাস পেয়েছে, আমি ভুল বোঝাবুঝির জন্য ক্ষমাপ্রার্থী এবং তাকে জিজ্ঞাসা করব কেন তিনি এটিকে নিম্নমান দিয়েছেন।

— শুহাও কও

আপনি যখন একেবারে সঠিক ছিলেন $B$ এই জুটির জন্য একটি এসপিডি ম্যাট্রিক্স $(A,B)$, আমরা কেবল তাকান পারে $A$আমরা যা চাই তা পেতে যাইহোক, আমার অফিসার বলেছিলেন যে আপনি যদি প্রশ্নের উত্তর দেন না তবে$B$শুধুমাত্র প্রতিসাম্যতা আছে। বিভ্রান্তির জন্য দুঃখিত.

— শুহাও Cao

@ জন: দীর্ঘশ্বাস ফেলুন। ডাউনভোটের পক্ষে এটি নয়।

— জ্যাক পলসন

আমি জানি! আমি ইতিমধ্যে তাকে বললাম "দয়া করে নিয়মটি পড়ুন" পরে আমি জানতে পেরেছিলাম যে তিনি আমার অ্যাকাউন্টটি কোনও প্রাসঙ্গিক উত্তরকে হ্রাস করতে ব্যবহার করেছেন!

— শুভাও Cao