ক্রিয়াকলাপের অর্ডার, সংখ্যাগত অ্যালগোরিদম

আমি এটা পড়েছি

(1) অসুস্থ কন্ডিশনার পরিচালনা করার আগে অসুস্থ শর্তাধীন অপারেশনগুলি করা উচিত।

উদাহরণ হিসাবে, গণনা করা উচিত হিসাবে অসুস্থ শর্তযুক্ত, যখন গুণটি হয় না। $xz-yz$ $(x-y)z$

যাইহোক, উভয় অ্যালগরিদমের একটি প্রথম-ক্রমের ত্রুটি বিশ্লেষণ থেকে জানা যায় যে তারা কেবল তিনটি (*) এর একটি ফ্যাক্টর দ্বারা পৃথক হয়েছে এবং আমি কেন দেখছি না যে কেউ এটিকে বিবৃতিতে (1) সাধারণীকরণ করতে পারে এবং আমি তত্পরতার সাথে এর তাত্পর্যকে উপলব্ধিও করি না অপারেশন ক্রম। আপনি কি মনে করেন যে বিবৃতিটি (1) একটি স্বীকৃত নিয়ম, এবং এর জন্য কি আপনার অন্যান্য ব্যাখ্যা রয়েছে?

*: আরও সুনির্দিষ্টভাবে, প্রথম সংস্করণে আপেক্ষিক ত্রুটি দ্বারা আবদ্ধ

eps + 3 \frac{| x | + | y |}{| x | - | y |} EPS

$\text{eps}+3\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$ দ্বিতীয় সংস্করণের আপেক্ষিক ত্রুটি দ্বারা বেষ্টিত

3 eps + \frac{| x | + | Y |}{| এক্স | - | Y |} EPS

$3\text{eps}+\frac{|x|+|y|}{|x|-|y|}\text{eps}$

যেখানে the হ'ল মেশিন যথার্থ। $\text{eps}$

এই বিশ্লেষণের ভাবনাটি হলো এই যে এর উপর ভিত্তি করে -th অন্তর্বর্তী ফলাফল নিয়ে গুন করা হয় (rounding ত্রুটির কারণে), যেখানে IID র্যান্ডম দ্বারা বেষ্টিত ভেরিয়েবল । "প্রথম অর্ডার" এর অর্থ হ'ল উচ্চ-অর্ডার শর্তাদি,, , অবহেলিত। $i$ $(1+\varepsilon_i)$ $\varepsilon_i$ $\text{eps}$ $\epsilon_i\epsilon_jx$

stability floating-point

— Bananach
সূত্র

তুমি কোথায় পড়েছ?

— ডেভিড কেচসন 27:38

আমার বক্তৃতা নোটগুলিতে

— কলাচ

আসুন বোঝাতে দ্বারা সঠিক গুণ এর ফ্লোটিং পয়েন্ট সহধর্মীদের ((আমি অলস বিভাজন অপারেটর বৃত্তাকার সংস্করণ পেতে চেষ্টা ছিল না) ), উপরন্তু ( (), এবং বিয়োগ যথাক্রমে)। আমরা ধরে নিব (আইইইই -754) তাদের সবার জন্য $\otimes,\oplus,\ominus$ $\times$ $+$ $-$ যেখানে মেশিনের অ্যাপসিলনটি বৃত্তাকার বন্ধ হওয়ার কারণে আপেক্ষিক ত্রুটির উপরের দিকে একটি বাউন্ড দেয়। আমরা নীচের লেমাও ব্যবহার করব (সমস্ত ধরে , এবং খুব বড় নয়) যা সহজে প্রমাণিত হতে পারে:

[x \oplus y] = (x + y) (1 + δ_{\oplus}), | δ_{\oplus} | \leq ϵ_{m a c h},

$[x\oplus y]=(x+ y)(1+\delta_\oplus),\quad |\delta_\oplus|\le\epsilon_\mathrm{mach},$

ϵ_{m a c h}

$\epsilon_\mathrm{mach}$

| δ_{i} | \leq ϵ_{m a c h}

$|\delta_i|\le\epsilon_\mathrm{mach}$

m

$m$

Π_{আমি = 1}^{মি} (1 + + δ_{আমি}) = 1 + + θ (মি), | θ (মি) | \leq \frac{মি ε_{মি একটি গ জ}}{1 - মি ε_{মি একটি গ জ}}

$\prod\limits_{i=1}^{m}(1+\delta_i)=1+\theta(m),\quad |\theta(m)|\le\frac{m\epsilon_\mathrm{mach}}{1-m\epsilon_\mathrm{mach}}$

$f$ $x,y,z$

চ (এক্স, Y, z- র) = (এক্স \times z- র) - (Y \times z- র)

$f(x,y,z)=(x\times z)-(y\times z)$

$\tilde{f_1}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{x}=x(1+\delta_x),\tilde{y},\tilde{z}$

\tilde{চ_{1}} (\tilde{এক্স}, \tilde{Y}, \tilde{z- র}) = (\tilde{এক্স} \otimes \tilde{z- র}) ⊖ (\tilde{Y} \otimes \tilde{z- র}),

$\tilde{f_1}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\otimes\tilde{z})\ominus(\tilde{y}\otimes\tilde{z}),$

\tilde{চ_{2}} (\tilde{এক্স}, \tilde{Y}, \tilde{z- র}) = (\tilde{এক্স} ⊖ \tilde{Y}) \otimes \tilde{z- র} ।

$\tilde{f_2}(\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z})=(\tilde{x}\ominus\tilde{y})\otimes\tilde{z}.$

$\tilde{f_1}$

\begin{aligned} \tilde{চ_{1}} & = (\underset{(\tilde{এক্স} \otimes \tilde{z- র})}{\underset{⏟}{(এক্স (1 + + δ_{এক্স}) \times z- র (1 + + δ_{z- র})) (1 + + δ_{\otimes_{এক্স z- র}})}} - \underset{(\tilde{Y} \otimes \tilde{z- র})}{\underset{⏟}{(Y (1 + + δ_{Y}) \times z- র (1 + + δ_{z- র})) (1 + + δ_{\otimes_{Y z- র}})}}) (1 + + δ_{⊖}) \\ = এক্স z- র (1 + + δ_{এক্স}) (1 + + δ_{z- র}) (1 + + δ_{\otimes_{এক্স z- র}}) (1 + + δ_{⊖}) - Y z- র (1 + + δ_{Y}) (1 + + δ_{z- র}) (1 + + δ_{\otimes_{Y z- র}}) (1 + + δ_{⊖}) \\ = এক্স z- র (1 + + θ_{এক্স z- র, 1}) - Y z- র (1 + + θ_{Y z- র, 1}) । \end{aligned}

$\begin{aligned} \tilde{f_1}&=\Big(\underbrace{\big(x(1+\delta_x)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{xz}}\big)}_{(\tilde{x}\otimes\tilde{z})}-\underbrace{\big(y(1+\delta_y)\times z(1+\delta_z)\big)\big(1+\delta_{\otimes_{yz}}\big)}_{(\tilde{y}\otimes\tilde{z})}\Big)\Big(1+\delta_{\ominus}\Big)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{xz}})(1+\delta_\ominus)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\otimes_{yz}})(1+\delta_\ominus)\\ &=xz(1+\theta_{xz,1})-yz(1+\theta_{yz,1}). \end{aligned}$

| θ_{x z, 1} |, | θ_{y z, 1} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}

$|\theta_{xz,1}|,|\theta_{yz,1}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

$\tilde{f_2}$

\begin{aligned} \tilde{চ_{2}} & = (((এক্স (1 + + δ_{এক্স}) - Y (1 + + δ_{Y}) (1 + + δ_{⊖_{এক্স Y}})) \times (z- র (1 + + δ_{z- র}))) (1 + + δ_{\otimes}) \\ = এক্স z- র (1 + + δ_{এক্স}) (1 + + δ_{z- র}) (1 + + δ_{⊖_{এক্স Y}}) (1 + + δ_{\otimes}) - Y z- র (1 + + δ_{Y}) (1 + + δ_{z- র}) (1 + + δ_{⊖_{এক্স Y}}) (1 + + δ_{\otimes}) \\ = এক্স z- র (1 + + θ_{এক্স, 2}) - Y z- র (1 + + θ_{Y, 2}) । \end{aligned}

$\begin{aligned} \tilde{f_2}&=\Bigg(\Big(\big( x(1+\delta_x)-y(1+\delta_y \big)\big(1+\delta_{\ominus_{xy}}\big)\Big)\times \Big(z(1+\delta_z)\Big)\Bigg)\Bigg(1+\delta_{\otimes}\Bigg)\\ &=xz(1+\delta_x)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)-yz(1+\delta_y)(1+\delta_z)(1+\delta_{\ominus_{xy}})(1+\delta_\otimes)\\ &=xz(1+\theta_{x,2})-yz(1+\theta_{y,2}). \end{aligned}$

| θ_{x, 2} |, | θ_{y, 2} | \leq \frac{4 ϵ_{m a c h}}{1 - 4 ϵ_{m a c h}}

$|\theta_{x,2}|,|\theta_{y,2}|\le\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}$

$\tilde{f_1}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{f_2}$ $\tilde{f_1}$

$x$ $y$

\begin{aligned} \frac{| \tilde{চ_{1}} - চ |}{| চ |} & = \frac{| এক্স z- র + + এক্স z- র θ_{এক্স z- র, 1} - Y z- র - Y z- র θ_{Y z- র, 1} - (এক্স z- র - Y z- র) |}{| এক্স z- র - Y z- র |} = \frac{| এক্স θ_{এক্স z- র, 1} - Y θ_{Y z- র, 1} |}{| এক্স - Y |} \\ \leq \frac{| এক্স | + + | Y |}{| এক্স - Y |} \frac{4 ε_{মি একটি গ জ}}{1 - 4 ε_{মি একটি গ জ}}, \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_1}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{xz,1}-yz-yz\theta_{yz,1}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{xz,1}-y\theta_{yz,1}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}, \end{aligned}$

\begin{aligned} \frac{| \tilde{চ_{2}} - চ |}{| চ |} & = \frac{| এক্স z- র + + এক্স z- র θ_{এক্স, 2} - Y z- র - Y z- র θ_{Y, 2} - (এক্স z- র - Y z- র) |}{| এক্স z- র - Y z- র |} = \frac{| এক্স θ_{এক্স, 2} - Y θ_{Y, 2} |}{| এক্স - Y |} \\ \leq \frac{| এক্স | + + | Y |}{| এক্স - Y |} \frac{4 ε_{মি একটি গ জ}}{1 - 4 ε_{মি একটি গ জ}} । \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{|\tilde{f_2}-f|}{|f|}&=\frac{|xz+xz\theta_{x,2}-yz-yz\theta_{y,2}-(xz-yz)|}{|xz-yz|}=\frac{|x\theta_{x,2}-y\theta_{y,2}|}{|x-y|}\\ &\le\frac{|x|+|y|}{|x-y|}\frac{4\epsilon_\mathrm{mach}}{1-4\epsilon_\mathrm{mach}}. \end{aligned}$

$\theta$ $x,y,z$ $(x-y)$ $x$ $y$

$x,y,z,f(x,y,z)\in\mathbb F_0$ $\mathbb F_0$

— আন্তন মেনশভ
সূত্র