কীভাবে ক্রিলোভ-এক্সিলেন্টড মুলটিগ্রিড (এমজি প্রিড শর্ত হিসাবে ব্যবহার করে) প্রেরণা দেওয়া হয়?

Question

মাল্টিগ্রিড (এমজি) একটি প্রাথমিক অনুমান x 0 নির্ধারণ করে এবং i = 0 , 1 এর জন্য নিম্নলিখিতটি পুনরাবৃত্তি করে লিনিয়ার সিস্টেম সমাধানের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে .. রূপান্তর পর্যন্ত:$Ax=b$$x_0$$i=0,1..$

1. অবশিষ্টাংশ গণনা কর i $r_i = b-Ax_i$
2. একটি আনুমানিক পেতে একটি মাল্টিগ্রিড চক্র প্রয়োগ করুন , যেখানে A e i = r i ।$\Delta x_i \approx e_i$$Ae_i = r_i$
3. এক্স i + 1 ← x i + Δ x i আপডেট করুন$x_{i+1} \gets x_i + \Delta x_i$

Multigrid চক্র মসৃণকরণ, ক্ষেপক, সীমাবদ্ধতা কিছু ক্রম এবং আপনাকে সঠিক মোটা গ্রিড সমাধান অপারেশন প্রয়োগ উত্পাদন করতে Δ x আমি । এটি সাধারণত একটি ভি-চক্র বা ডাব্লু-চক্র। এটি লিনিয়ার অপারেশন তাই আমরা Δ x i = B r i লিখি ।$r_i$$\Delta x_i$$\Delta x_i = B r_i$

এই প্রক্রিয়াটি পূর্ব শর্তযুক্ত রিচার্ডসন পুনরাবৃত্তি হিসাবে কেউ ব্যাখ্যা করতে পারেন। তা হল, আমরা আপডেট করি ।$x_{i+1} \gets x_i + B r_i$

রিচার্ডসন পুনরাবৃত্তি হ'ল একটি প্রোটোটাইপিকাল ক্রিলোভ সাবস্পেস পদ্ধতি, যা অন্যান্য ক্রিলোভ সাবস্পেস পদ্ধতির পূর্বশর্তে মাল্টিগ্রিড চক্রের ব্যবহারের পরামর্শ দেয়। একে কখনও কখনও ক্রিলোভ পদ্ধতিতে "ত্বরণী" মাল্টিগ্রিড বলা হয় বা পর্যায়ক্রমে ক্রেলোভ পদ্ধতির পূর্বশর্ত হিসাবে বেছে নেওয়া যেতে পারে।

উপরের অ্যালগরিদম প্রসারিত করার আরেকটি উপায় হ'ল ফুল মাল্টিগ্রিড (এফএমজি) নিয়োগ করা। সংক্ষিপ্ত বর্ণনার জন্য এই উত্তরটি দেখুন ।

কোন পরিস্থিতিতে ক্রিলোভ-ত্বক এমজি এমজি বা এফএমজির চেয়ে বেশি পছন্দনীয়?

Comments

(চ) এমজি বেশ সংবেদনশীল, যদি কোনও মোড মসৃণ বা দ্বি-স্তরের সংশোধন দ্বারা সঠিকভাবে স্যাঁতসেঁতে না যায় তবে পুরো জিনিসটি স্তব্ধ হয়ে যায়। ক্রিলোভ পদ্ধতি এই সমস্যাযুক্ত মোডগুলিকে স্যাঁতসেঁতে সহায়তা করতে পারে। সুতরাং এটি মূলত যতদূর আমি বুঝতে পারি দৃ rob়তা দ্বারা অনুপ্রাণিত।

— ক্রিস

Answer 1

$b-Ax$

যাইহোক, অনেক ব্যবহারিক ক্ষেত্রে, একটি অনুকূল বা কার্যকর মাল্টিগ্রিড পদ্ধতি ব্যবহার করা হয় না। এটি কারণ হতে পারে

• প্রদত্ত সমস্যার জন্য এই জাতীয় পদ্ধতি অজানা বা অনুপলব্ধ
• স্মুথার এবং ইন্টারগ্রিড অপারেটর পাঠ্যপুস্তক রূপান্তর করতে যথেষ্ট নয়
• মোটা গ্রিড সলভার অক্ষম

$BA$

নোট করুন যে সাবপটিমাল পদ্ধতি ব্যবহারের পছন্দটি ক্রিয়লভ ত্বরণকে ছাড়িয়ে যাওয়ার পয়েন্টে অনেক "সস্তা" মাল্টিগ্রিড চক্রের ফলস্বরূপ হতে পারে। এটি হ'ল সমস্যাগুলি (এবং কম্পিউটিং সিস্টেম) থাকতে পারে যেখানে ক্রেলভ-ত্বরণী এমজি এমজিকে ছাড়িয়ে যেতে পারে। আমি এর একটি দৃ concrete় উদাহরণ খুঁজে পেতে আগ্রহী হবে।

(উপরের ক্রিস এবং ম্যাট নিপলি কে ধন্যবাদ যারা উপরোক্ত কয়েকটি টিউটোরিয়ালে উল্লেখ করেছেন)