সীমাবদ্ধ উপাদান বিশ্লেষণে পরীক্ষার কার্যের উদ্দেশ্য কী?

তরঙ্গ সমীকরণে:

c^{2} \nabla \cdot \nabla u (x, t) - \frac{\partial^{2} u (x, t)}{\partial t^{2}} = f (x, t)

$c^2 \nabla \cdot \nabla u(x,t) - \frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2} = f(x,t)$

কেন আমরা সংহত করার আগে প্রথমে একটি পরীক্ষা ফাংশন দ্বারা গুণ করব ? $v(x,t)$

finite-element

— অ্যান্ডি
সূত্র

সংক্ষিপ্ত উত্তর: কারণ সসীম উপাদান পদ্ধতি দুর্বল গঠনের একটি বিচক্ষণতা, শক্তিশালী গঠনের নয় (যা আপনি দিয়েছেন)। মাঝারি উত্তর: যেহেতু আপনি সীমাবদ্ধ-মাত্রিক কোনও কার্যকারিতা সন্ধানের পক্ষে নিশ্চিত নন যে সমীকরণটি সন্তুষ্ট; সর্বোপরি আপনি অবশিষ্টাংশের সীমাবদ্ধ-মাত্রিক সমাধানের স্থানের orthogonal হওয়ার আশা করতে পারেন - বা সমানভাবে, সেই জায়গার যে কোনও উপাদান (যা অবিকল পরীক্ষার ফাংশন) এর সাথে orthogonal হতে পারে। অংশ দ্বারা একীকরণ ততটা গুরুত্বপূর্ণ নয়, এবং আপনার ক্ষেত্রে প্রতিসাম্যের জন্য। মন্তব্যের জন্য দীর্ঘ উত্তর :)

— খ্রিস্টান ক্লাসন

আরেকটি সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা: আপনি শুধু শুন্যতে সংহত এবং সেট করেন তাহলে, আপনার জন্য জিজ্ঞাসা করা হয় গড় - সব আপনি যা খুঁজছিলেন তা এ, কারণ তারপর অবশিষ্ট ডোমেইন এক অংশে খুব বড় হতে পারে দীর্ঘ হিসাবে হিসাবে বিলুপ্ত অন্যটিতে বিপরীত চিহ্ন সহ এটি বড়। পরীক্ষার কার্যকরী উপাদানগুলি প্রতিটি উপাদানের অবশিষ্টাংশকে "স্থানীয়করণ" করে।

— খ্রিস্টান ক্লাসন

বিকল্প ব্যাখ্যার জন্য, এই উত্তরটি দেখুন: scicomp.stackexchange.com/questions/16331/…

— পল

উত্তর:

আপনি এটি পিছনে আসছে। বৈকল্পিক সেটিংস থেকে শুরু করে এবং শক্তিশালী ফর্মের দিকে কাজ করার মাধ্যমে ন্যায়সঙ্গতটি আরও ভালভাবে দেখা যায়। একবার আপনি এটিটি সম্পন্ন করার পরে, কোনও পরীক্ষা ফাংশন এবং সংহতকরণের ধারণাটি সেই সমস্যাগুলিতে প্রয়োগ করা যেতে পারে যেখানে আপনি কোনও মিনিমাইজেশন সমস্যাটি শুরু করেন না।

সুতরাং আমরা যে সমস্যাটি কমাতে চাই সেখানে বিবেচনা করুন (এবং এখানে আনুষ্ঠানিকভাবে কাজ করছেন এবং কঠোরভাবে এখানে মোটেই না):

I (u) = \frac{1}{2} \int_{Ω} (\nabla u (x))^{2} d x

$I(u) = \frac {1}{2} \int_\Omega (\nabla u(x))^2 \; dx$

$\partial\Omega$ $I$ $u$

I^{'} (u (x), v (x)) = lim_{h \to 0} \frac{d}{d h} I (u (x) + h v (x))

$I'(u(x),v(x))=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{d}{dh}I(u(x)+hv(x))$

যেখানে শুধু একটি স্কেলার হয়। আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এটি স্কেলার ভেরিয়েবলের স্কেলার ফাংশনগুলির জন্য ডেরাইভেটিভের traditionalতিহ্যগত সংজ্ঞার সাথে সমান, তবে মতো ক্রিয়াকলাপগুলিতে প্রসারিত যেগুলি স্কেলারগুলিকে ফিরিয়ে দেয় তবে তাদের ডোমেনের উপর ফাংশন রয়েছে। $h$ $I$

যদি আমরা আমাদের (বেশিরভাগ চেইন রুল ব্যবহার করে) এর জন্য এটি গণনা , আমরা পাই we $I$

I^{'} (u, v) = \int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x

$I'(u,v) = \int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx$

সর্বনিম্ন সন্ধানের জন্য এটি শূন্যে সেট করে আমরা একটি সমীকরণ পাই যা ল্যাপ্লেসের সমীকরণের জন্য দুর্বল বিবরণের মতো দেখায়:

\int_{Ω} \nabla u \cdot \nabla v d x = 0

$\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \; dx = 0$

এখন, আমরা যদি ডাইভারজেন থার্ম (অংশগুলির দ্বারা বহু-মাত্রিক সংমিশ্রণ) ব্যবহার করি, আমরা একটি ডেরাইভেটিভ নিতে পারি এবং এটি পেতে কাছে রাখতে পারি $v$ $u$

- \int_{Ω} \nabla \cdot (\nabla u) v d x + boundary terms = 0

$-\int_\Omega \nabla \cdot (\nabla u) v \; dx + \text {boundary terms} = 0$

আপনি যখন আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে কোনও দুর্বল বিবৃতি তৈরি করতে চান তখন এটি সত্যিই দেখায়। এই ধারণাটি এখনই দেওয়া হয়েছে, আপনি এটি যে কোনও পিডিইর জন্য ব্যবহার করতে পারেন, কেবল একটি পরীক্ষা ফাংশন দ্বারা গুণিত করতে পারেন, সংহত করতে পারেন, ডাইভারজেন তত্ত্বটি প্রয়োগ করতে পারেন এবং তারপরে বিচক্ষণ করতে পারেন।

— বিল বার্থ
সূত্র

আমি ওজনযুক্ত অবশিষ্টগুলি হ্রাস করার ক্ষেত্রে এটি ব্যাখ্যা করতে পছন্দ করব।

— নিকোগুয়ারো

@nicoguaro, ঠিক আছে তবে আপনি সেই উত্তরটি লিখতে পারেন, এবং আমরা দেখতে পাব যে কোনটি ওপিতে আরও বেশি অর্থবোধ করে। :)

— বিল বার্থ

+1 দেখানোর জন্য যে দুর্বল ফর্মটি আসলে (বা কমপক্ষে প্রায়শই) শক্তিশালী ফর্মের চেয়ে বেশি প্রাকৃতিক।

— ক্রিশ্চান ক্ল্যাসন

মজাদার. স্পর্শকাতর ধরনের, তবে "এই ধরণের ডেরিভেটিভ বিবেচনা করার জন্য এখন বেশ কয়েকটি ভাল ট্রড পদ্ধতি রয়েছে" সম্পর্কিত : আমি কেবল শিখেছি যে পদ্ধতিটিই আপনি উল্লেখ করেছেন is আর কি ধরণের আছে?

— ব্যবহারকারী541686

@ মেহরদাদ এই পদ্ধতিটি একটি দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভকে গণনা করে এবং নিশ্চিত করে যে এটি লিনিয়ার অপারেটর ( ) এবং অতএব একটি গেটো ডেরিভেটিভ। আপনি অন্য দিক থেকেও আসতে পারেন: লিনিয়ার অপারেটরটি অনুমান করুন (উদাহরণস্বরূপ, বাস্তব ফাংশনগুলির সাথে সাদৃশ্য অনুসারে) এবং এটি যাচাই করে নিন যে এটি একপ্রকার প্রথম অর্ডার টেলর সান্নিধ্য সম্পত্তিকে সন্তুষ্ট করে। তারপরে এটি একটি ফ্র্যাচেট ডেরিভেটিভ (এবং সেইজন্য একটি গুটাক্স ডেরিভেটিভ)।

h

$h$

— ক্রিশ্চান ক্ল্যাসন

যেমনটি আমি আগে উল্লেখ করেছি, আমি ভারী অবশিষ্টাংশ হিসাবে দুর্বল ফর্মটি সম্পর্কে ভাবতে পছন্দ করি।

আমরা একটি আনুমানিক সমাধান খুঁজতে চান । আসুন হিসাবে বাকী সংজ্ঞা দিন $\hat{u}$

R = c^{2} \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^{2} \hat{u}}{\partial t^{2}} - f (x, t)

$R = c^2 \nabla \cdot \nabla \hat{u} - \frac{\partial^2 \hat{u}}{\partial t^2} - f(x,t)$

সঠিক সমাধানের ক্ষেত্রে অবশিষ্টটি ডোমেনের শূন্য ফাংশন। আমরা একটি আনুমানিক সমাধান খুঁজে পেতে চাই যা "ভাল", অর্থাত্ একটি, যা "ছোট" করে তোলে । সুতরাং, আমরা অবশিষ্টাংশের আদর্শ (উদাহরণস্বরূপ ন্যূনতম বর্গ পদ্ধতি) বা এটির কিছুটা গড়পড়তা করার চেষ্টা করতে পারি। এটি করার একটি উপায় হ'ল ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশগুলি গণনা করা, অর্থাৎ ওজনযুক্ত অবশিষ্টাংশকে ন্যূনতম করা $R$

\int_{Ω} w R d Ω

$\int\limits_\Omega wR d\Omega$

এই সম্পর্কে একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় এটি একটি কার্যকরী সংজ্ঞা দেয়, তাই আপনি এটি হ্রাস করতে পারেন। এটি এমন ফাংশনগুলির জন্য কাজ করতে পারে যা বৈকল্পিক ফর্ম নেই। আমি এই পোস্টে আরও কিছুটা বর্ণনা । আপনি ফাংশন নির্বাচন করতে পারবেন ফাংশনের একই স্থান হচ্ছে মত, বিভিন্ন উপায়ে (Galerkin পদ্ধতি), ডিরাক ব-দ্বীপ ফাংশন (বিন্যাস পদ্ধতি), অথবা মৌলিক সমাধান (সীমানা উপাদানসমূহ পদ্ধতি)। $w$ $\hat{u}$

আপনি যদি প্রথম কেসটি নির্বাচন করেন, তবে আপনি @ বিলবার্থ দ্বারা বর্ণিত মত সমীকরণটি শেষ করবেন।

— নিকোগুয়ারো
সূত্র