পয়েন্টওয়াইস বনাম পিডিই বিপরীত সমস্যার নিয়মিত পর্যবেক্ষণ servations

Question

আমি আমার পিএইচডি করার জন্য একটি বিপরীত সমস্যা নিয়ে কাজ করি গবেষণা, যা আমরা সরলতার জন্য বলব তা নির্ধারণ করছে ইন$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

কিছু পর্যবেক্ষণ থেকে ; একটি ধ্রুবক এবং পরিচিত হয়। এটি সাধারণত চূড়ান্ত করার জন্য একটি অপ্টিমাইজেশন সমস্যা হিসাবে সূচিত হয়$u^o$$k_0$$f$

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

যেখানে হ'ল ল্যাঞ্জারেঞ্জ গুণক। সাথে কার্যকরী ডেরাইভেটিভ স্থগিতকরণের সমীকরণটি সমাধান করে গণনা করা যেতে পারে$\lambda$$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

কিছু নিয়মিত কার্যকরী সাধারণ কারণে সমস্যাটিতে যুক্ত করা হয়।$R[\beta]$

এখানে অব্যক্ত ধারণাটি হ'ল পর্যবেক্ষণ করা ডেটা ডোমেন জুড়ে অবিচ্ছিন্নভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । আমি মনে করি পরিবর্তে এটি ব্যবহার করা আমার সমস্যার পক্ষে আরও উপযুক্ত be$u^o$$\Omega$

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

যেখানে হল সেই বিন্দু যেখানে পরিমাপ নেওয়া হয় এবং হ'ল মাপ পরিমাপের আদর্শ বিচ্যুতি । এই ক্ষেত্রটির পরিমাপ প্রায়শই দাগযুক্ত এবং অনুপস্থিত অংশগুলি হয়; যদি এড়ানো যায় তবে সন্দেহজনক বিশ্বস্ততার ধারাবাহিক ক্ষেত্র পেতে কেন বিভক্ত হবে?$x_n$$\sigma_n$$n$

এটি আমাকে বিরতি দেয় কারণ স্থির সমীকরণ হয়ে যায়

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

যেখানে হ'ল ডাইরাক ডেল্টা ফাংশন। আমি সীমাবদ্ধ উপাদানগুলি ব্যবহার করে এটি সমাধান করছি, সুতরাং নীতিগতভাবে ডেল্টা ফাংশনের বিপরীতে কোনও আকৃতি ফাংশনকে সংহত করা সেই সময়ে আকৃতির ফাংশনটি মূল্যায়নের সমান। তবুও, নিয়মিততার বিষয়গুলি সম্ভবত হাতছাড়া করা উচিত নয়। আমার সর্বোত্তম অনুমান যে আসল ক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধ উপাদানটির সীমাবদ্ধতার ক্ষেত্রে উদ্দেশ্যগত ক্রিয়াকলাপটি সংজ্ঞায়িত করা উচিত, তার চেয়ে প্রকৃত ক্ষেত্রগুলির ক্ষেত্রে বিবেচনা করা উচিত এবং তারপরে পৃথক করা উচিত।$\delta$

আমি যে নির্দিষ্ট সমস্যাটিতে বা সাধারণভাবে কাজ করছি তার সাথে সম্পর্কিত হয়ে আমি সাহিত্যের বিপরীত সমস্যার ক্ষেত্রে ধারাবাহিক বা পয়েন্টওয়্যার পরিমাপ অনুমানের তুলনা খুঁজে পাচ্ছি না। নিয়মিতভাবে নিয়মিত সমস্যা সম্পর্কিত কোনও উল্লেখ ছাড়াই প্রায়শই পয়েন্টওয়াইজ পরিমাপ ব্যবহার করা হয়, যেমন এখানে । অবিচ্ছিন্ন বনাম পয়েন্টওয়াইজ পরিমাপের অনুমানের সাথে তুলনা করা কোনও প্রকাশিত কাজ রয়েছে কি? পয়েন্টওয়াইস ক্ষেত্রে ডেল্টা ফাংশন সম্পর্কে কি আমার উদ্বিগ্ন হওয়া উচিত?

Answer 1

এই ক্ষেত্রটির পরিমাপ প্রায়শই দাগযুক্ত এবং অনুপস্থিত অংশগুলি হয়; যদি এড়ানো যায় তবে সন্দেহজনক বিশ্বস্ততার ধারাবাহিক ক্ষেত্র পেতে কেন বিভক্ত হবে?

আপনি পুরোপুরি ঠিক বলেছেন - বেশিরভাগ সময়, সম্পূর্ণ ডোমেনটি coveringেকে রাখা অবিচ্ছিন্ন ক্ষেত্রের ক্ষেত্রে বিরক্তি কোনও বিকল্প নয়। আবহাওয়ার পূর্বাভাস সমস্যাগুলি সম্পর্কে চিন্তা করুন, যেখানে পরিমাপ (পয়েন্ট-উত্স) কেবলমাত্র নির্বাচিত ডোমেন অবস্থানগুলিতে পাওয়া যায়। আমি বলব যে আপনি "বাস্তব-জীবন" বিপরীতমুখী সমস্যা বিবেচনা করলে ব্যতিক্রমের চেয়ে বেশি তথ্য পয়েন্ট-ওয়াইনের তথ্য more

আমার সর্বোত্তম অনুমান যে আসল ক্ষেত্রগুলির শর্তাবলী না করে অবজেক্টাল ক্রিয়াকলাপটি সমস্ত ক্ষেত্রের সীমাবদ্ধ উপাদান ( বিবেচ্য-অতপর-অনুকূলকরণ ) এর সংজ্ঞা অনুসারে সংজ্ঞায়িত করা উচিত এবং তারপরে ( অনুকূলিত- তত - বিবেচনার পরে ) বিবেচনা করা উচিত

দুটি পদ্ধতির সমতুল্য নয় (খুব সাধারণ সমস্যা বাদে)। দুটি পদ্ধতির (প্রতিটি তার সুবিধাগুলি এবং ত্রুটিগুলি সহ) তুলনা করে সেখানে সাহিত্যের একটি বিস্তৃত অংশ রয়েছে। আমি আপনাকে ম্যাক্স গানজবার্গারের মনোগ্রাফের দিকে নির্দেশ করব (বিশেষত দ্বিতীয় অধ্যায়ে শেষ)।

অবিচ্ছিন্ন বনাম পয়েন্টওয়াইজ পরিমাপের অনুমানের সাথে তুলনা করা কোনও প্রকাশিত কাজ রয়েছে কি? পয়েন্টওয়াইস ক্ষেত্রে ডেল্টা ফাংশন সম্পর্কে কি আমার উদ্বিগ্ন হওয়া উচিত?

আপনি আপনার উত্স শর্তাবলী হুবহু উপস্থাপন করতে পারেন - যথা, আপনার উত্স শব্দটি একটি (ক এর সাথে স্বতন্ত্র অনুমান) হিসাবে মডেল করা হবে ( ডাইরাক বিতরণ) [ অ্যারায়া এট আল।, 2006 ], বা আপনি কিছু নিয়মিত ফাংশন দ্বারা উত্স শব্দটি আনুমানিক করতে পারেন (যেমন হয়েছে উদাহরণস্বরূপ, নিমগ্ন সীমানা পদ্ধতিতে )। হোসেইনি এট আল-র সাম্প্রতিক এই গবেষণাপত্রে একবার দেখুন (শুরুর জন্য) । (এবং এতে উল্লেখ)।

Answer 2

@ GoHokies এর উত্তরে প্রসারিত করার জন্য: আপনি যদি নিয়মিততার প্রশ্নে আগ্রহী হন তবে আপনি "বিন্দু পরিমাপ" আসলে কী তা জিজ্ঞাসা করতে পারেন। শারীরিক অনুশীলনে আপনি কোনও "পয়েন্ট" এ পরিমাপ করতে পারবেন না। বরং আপনি সর্বদা একধরনের স্পেস-টাইম খণ্ডের চেয়ে কিছুটা গড় পেতে চলেছেন: থার্মোমিটারটি কোনও বিন্দু নয় বরং একটি বর্ধিত বস্তু হয় এবং চারপাশের মাঝারি তাপমাত্রার সাথে সামঞ্জস্য হতে সময় লাগে; একটি ঘনত্ব পরিমাপ ডিভাইস একটি সীমাবদ্ধ নমুনা আকার প্রয়োজন; প্রভৃতি

গাণিতিকভাবে এর অর্থ হ'ল আপনার কার্যকরীতে ব-দ্বীপ ফাংশনগুলি সত্যই যথেষ্ট পরিমাণে ছোট ছোট অঞ্চল এবং / অথবা সময়ের ব্যবধানগুলির চেয়ে গড়। ফলস্বরূপ, দ্বৈত সমীকরণের ডান দিকের পক্ষগুলিও সীমাবদ্ধ এবং কোনও নিয়মিততার সমস্যা দেখা দেয় না।

অবশ্যই, অনুশীলনে, আপনি সাধারণত একটি সীমাবদ্ধ উপাদান জাল দিয়ে পরিমাপ করেন এমন ছোট স্থান বা সময়ের ব্যবধানগুলি সমাধান করতে সক্ষম হবেন না। এটি হ'ল দৈর্ঘ্যের স্কেলগুলিতে আপনি সমাধান করতে পারেন, ডান হাতটি একক দেখায় , ফলস্বরূপ সমাধানটিও এরূপ হয়। তবে, যেহেতু আপনি ইতিমধ্যে একটি বিচক্ষণতা ত্রুটি প্রবর্তন করছেন , আপনি একই পরিমাণের সাথে পৃথক পৃথক আকার দ্বারা যা পরিমাপ করেছেন তার ভলিউমের বৈশিষ্ট্যযুক্ত কার্যটিও নিয়মিত করতে পারেন; আপনি যদি এটি সঠিকভাবে করেন তবে আপনি একটি ত্রুটি প্রবর্তন করবেন যা বিবেচনামূলক ত্রুটির চেয়ে বড় নয়, (বিযুক্ত) দ্বৈত সমীকরণের জন্য পুরোপুরি সুন্দর ডান হাতের কার্যকারিতা লাভের সুবিধায়।