সমাধান

আমার এবং ম্যাট্রিক রয়েছে । বিক্ষিপ্ত হয় এবং সঙ্গে খুব বড় (কয়েক মিলিয়ন অনুক্রম হতে পারে।) একটি হল সঙ্গে লম্বা ম্যাট্রিক্স বরং ছোট ( ) এবং প্রতিটি কলামের করতে পারেন শুধুমাত্র একটি একক আছে বাকি হচ্ছে এন্ট্রি এর, যেমন যে । বিশাল, তাই এটি উল্টানো সত্যিই শক্ত, এবং আমি মতো একটি ক্রিলোভ সাবস্পেস পদ্ধতি ব্যবহার করে মতো লিনিয়ার সিস্টেমটি সমাধান করতে পারি, তবে আমার কাছে নেই $A$ $G$ $A$ $n\times n$ $n$ $G$ $n\times m$ $m$ $1 \lt m \lt 1000$ $1$ $0$ $G^TG = I$ $A$ $Ax = b$ $\mathrm{BiCGStab}(l)$ $A^{-1}$ স্পষ্টভাবে।

আমি ফর্মের একটি সিস্টেম সমাধান করতে চান: , যেখানে এবং হয় দৈর্ঘ্য ভেক্টর। এটি করার একটি উপায় হ'ল বাইরের পুনরাবৃত্ত অ্যালগরিদমের প্রতিটি পুনরাবৃত্তির জন্য for এর সমাধান করার জন্য পুনরাবৃত্ত অ্যালগরিদমের মধ্যে একটি পুনরাবৃত্ত অ্যালগরিদম ব্যবহার করা। তবে এটি অত্যন্ত গণনামূলকভাবে ব্যয়বহুল হবে। আমি ভাবছিলাম যে এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য কোনও গণনামূলকভাবে আরও সহজ উপায় আছে কিনা। $(G^TA^{-1}G)x = b$ $x$ $b$ $m$ $A^{-1}$

— Costis
সূত্র

আমি মাত্র আমার উত্তরে 0-1 কাঠামোটি শোষণের বিষয়ে একটি মন্তব্য যুক্ত করেছি।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

উত্তর:

ভেক্টর পরিচয় করিয়ে দাও এবং পুনরাবৃত্ত পদ্ধতিটি ব্যবহার করে এক সাথে জন্য বৃহত সংযুক্ত সিস্টেমের , । যদি প্রতিসম থাকে (সম্ভবত বলে মনে হয় আপনি এটিকে স্পষ্টভাবে রাষ্ট্র না) তারপর সিস্টেম প্রতিসম (কিন্তু অনির্দিষ্ট, যদিও quasidefinite যদি ইতিবাচক নির্দিষ্ট হয়), একটি যথাযথ পদ্ধতি নির্বাচন করার জন্য আপনাকে সহায়তা হতে পারে। (প্রাসঙ্গিক কীওয়ার্ডস: কেকেটি ম্যাট্রিক্স, কোয়াসাইডেফিনাইট ম্যাট্রিক্স)। $y:=-A^{-1}Gx$ $Ay+Gx=0$ $G^Ty=-b$ $(y,x)$ $A$ $A$

সম্পাদনা: যেমন জটিল প্রতিসাম্য, তেমনি বর্ধিত ম্যাট্রিক্সও, তবে কোসাইডাইফাইনেটেন্স নেই। তবে আপনি routine গণনা করতে রুটিন ব্যবহার করতে পারেন ; অতএব আপনি কিউএমআর ftp://ftp.math.ucla.edu/pub/camreport/cam92-19.pdf হিসাবে একটি পদ্ধতি অভিযোজিত করতে পারেন (বাস্তব সিস্টেমের জন্য ডিজাইন করা, কিন্তু আপনি সহজেই জটিল সিস্টেমের জন্য এটি পুনরায় লিখতে পারেন, অ্যাডমিন্ট ব্যবহার করে আপনার সমস্যা সমাধানের জন্য স্থানান্তর স্থান)। $A$ $Ax$ $A^*x=\overline{A\overline x}$

সম্পাদনা 2: প্রকৃতপক্ষে, এর (0,1) কাঠামোর অর্থ হল যে আপনি এর উপাদানগুলি xd কে প্রতীকীভাবে মুছে ফেলতে পারবেন , এভাবে সমাধানের জন্য একটি ছোট সিস্টেমের সাথে শেষ পর্যন্ত। এর অর্থ এর কাঠামোর সাথে বিশৃঙ্খলা , এবং কেবল তখনই প্রদান করে যখন লিনিয়ার অপারেটরের পরিবর্তে স্পার্স বিন্যাসে স্পষ্টভাবে দেওয়া হয়। $G$ $x$ $G^Ty$ $A$ $A$

— আর্নল্ড নিউমায়ার
সূত্র

ধন্যবাদ! এ জটিল সংলগ্ন। মূল ম্যাট্রিক্স

চেয়ে অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্সের অবস্থা আরও খারাপ হওয়ার আশা করার কি কারণ আছে ? যদি মিটি ছোট হয় তবে অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স এ এর চেয়ে সামান্য আকারে বড় হবে, তাই আমি সন্দেহ করব যে এই অগমেন্ট সিস্টেমটি পুনরাবৃত্তভাবে সমাধান করা এ-এর সাথে একটি সিস্টেম সমাধানের চেয়ে আরও শক্ত হওয়া উচিত নয়?

A

$A$

— কস্টিস

দুটি সিস্টেমের শর্ত সংখ্যাটি সাধারণত বেশ সম্পর্কযুক্ত; এটি

উপর নির্ভর করে । - কীভাবে জটিল প্রতিসামগ্রী কাজে লাগানো যায় সে সম্পর্কে আমি আমার উত্তর তথ্যে যুক্ত করেছি।

G

$G$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

হাই বন্ধুরা! সব জবাব দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ; এই জায়গাটি দুর্দান্ত! মূল প্রশ্নের একটি বর্ধন: এখন ধরে নিন যে আমার কাছে

, যেখানে জি এবং এ এর মূল প্রশ্নের মতো একই অর্থ রয়েছে তবে বি একটি র‌্যাঙ্কের ঘাটতিযুক্ত এনএক্সএন ম্যাট্রিক্স ( A এর সমান আকার) এবং পুরো

সম্পূর্ণ র‌্যাঙ্ক। আপনি কীভাবে নতুন সিস্টেমটি সমাধান করতে যাবেন, যেহেতু এখন বি এর বিপরীতটি বিদ্যমান নেই তাই আপনার

থাকতে পারে না

(G^{T} A^{- H} B A^{- 1} G) x = b

$(G^TA^{-H}BA^{-1}G)x=b$

G^{T} A^{- H} B A^{- 1} G

$G^TA^{-H}BA^{-1}G$

A B^{- 1} A^{H}

$AB^{-1}A^H$ । আমি মনে করি না এটি খ এর সিউডোইনভার্সের সাথে কেবল কাজ করবে।

— কস্টিস

পরিচয় দিন

এবং

, এবং উপমা এগিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে কাজ। (সম্ভবত আপনাকে

পূর্ণমানের ম্যাট্রিকগুলিতে তৈরি করতে হবে এবং একটি অতিরিক্ত মধ্যবর্তী ভেক্টর প্রবর্তন করতে হবে।)

y := A^{- 1} G x

$y:=A^{-1}Gx$

z := A^{- H} B y

$z:=A^{-H}By$

B

$B$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

হাই আর্নল্ড ধন্যবাদ, এটি আসলে কাজ করে! আমি এটি কয়েকটি খুব ছোট পরীক্ষার উদাহরণ দিয়ে পরীক্ষা করেছি এবং এটি দুর্দান্ত কাজ করে। যাইহোক, আমার পুনরাবৃত্তির সমাধানকারীটির অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্সকে উল্টানোতে বিশাল সমস্যা হচ্ছে। মূল A ম্যাট্রিক্স সহ

ফর্মের সিস্টেমটি সমাধান করতে যখন প্রায় 80 টি পুনরাবৃত্তি (কয়েক সেকেন্ড) সময় লাগে , বর্ধিত ম্যাট্রিক্স সহ সিস্টেমটি (যা 2n + mx 2n + m বা 2n-mx 2n- মিঃ @ ওল্ফগ্যাং-ব্যানারথের পদ্ধতির ব্যবহার করে একটি আরএইচএস সমাধান করতে কয়েক হাজার হাজার পুনরাবৃত্তি (কয়েক ঘন্টা) লাগে। একীকরণ ত্বরান্বিত করার জন্য কোন কৌশল আছে? সম্ভবত একটি পূর্বশর্ত?

A x = b

$Ax=b$

— কস্টিস

আর্নল্ডের জবাব অনুসরণ করে, সমস্যাটি সহজ করার জন্য আপনি কিছু করতে পারেন। বিশেষত, সিস্টেমটি । তারপরে নোট করুন যে লম্বা এবং সংকীর্ণ এবং প্রতিটি সারিতে অন্য একটি মাত্র 1 এবং শূন্য রয়েছে অন্যথায় বিবৃতিতে অর্থ হ'ল এর উপাদানগুলির একটি উপসেট একটি নির্দিষ্ট মান, অর্থাত্ উপাদানগুলির । $Ay+Gx=0, G^Ty=-b$ $G$ $G^Ty=-b$ $y$ $-b$

আসুন আমরা বলতে পারি যে সরলতার জন্য এর কলাম এবং সারি রয়েছে এবং ঠিক প্রথম সারিগুলিতে সেগুলি রয়েছে এবং এর উপাদানগুলি পুনরায় সাজানোর জন্য আমি এটি তৈরি করতে পারি যাতে উপরে পরিচয় ম্যাট্রিক্স থাকে এবং নীচে একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। তারপরে আমি কে "বাধা" এবং "ফ্রি" উপাদানগুলিতে ভাগ করতে পারি যাতে $G$ $m$ $n$ $m$ $x$ $G$ $m \times m$ $n-m \times m$ $y=(y_c,y_f)$ $m$ $n-m$ । আমিও পার্টিশন করতে পারেন যাতে । সমীকরণ থেকে আমি তারপরে নিম্নলিখিতটি পেয়েছি: $y_c=-b$ $A$ $A=\begin{pmatrix} A_{cc} & A_{cf} \\ A_{fc} & A_{ff} \end{pmatrix}$ $Ay+Gx=0$ এবং ব্যবহার কি আমরা সম্পর্কে জানতে আমরা এই সমীকরণ দ্বিতীয় থেকে আছে এবং এর ফলে অন্য কথায়, শুধুমাত্র ম্যাট্রিক্স আপনি বিপরীতমুখী আছে এর উপসেট

{একজন}_{গ গ} Y_{গ} + + {একজন}_{গ চ} Y_{চ} + + এক্স = 0, {একজন}_{চ গ} Y_{গ} + + {একজন}_{চ চ} Y_{চ} = 0

$A_{cc} y_c + A_{cf} y_f + x = 0, \\ A_{fc} y_c + A_{ff} y_f = 0$

y_{c}

$y_c$

{একজন}_{চ চ} Y_{চ} = {একজন}_{চ গ} খ

$A_{ff} y_f = A_{fc} b$

এক্স = {একজন}_{গ গ} খ - {একজন}_{গ চ} {একজন}_{চ চ}^{- 1} {একজন}_{চ গ} খ ।

$x = A_{cc} b - A_{cf} A_{ff}^{-1} A_{fc} b.$

A

$A$ যার সারি এবং কলাম উল্লেখ করা হয় নি

(এর নাল স্থান

)। এটি আপনি সহজেই করতে পারেন: (i) গণনা

; (ii)

সমাধান করতে আপনার যা কিছু সলভার রয়েছে তা ব্যবহার করুন ; (iii) গণনা

।

G

$G$

G

$G$

z = A_{f c} b

$z=A_{fc} b$

A_{f f} h = z

$A_{ff} h = z$

x = A_{c c} b - A_{c f} h

$x = A_{cc} b - A_{cf} h$

অন্য কথায়, এর কাঠামোর ভিত্তিতে , আপনার কাছে রৈখিক ব্যবস্থা সমাধান করা সাথে একক লিনিয়ার সিস্টেমটি সমাধান করার চেয়ে বেশি কঠিন নয় । $G$ $A$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

তবে আমরা , এবং , তাই জানি $G$ $G^T$ $A$

$G^T A^{-1} G x = b$

$G G^T A^{-1} G x = G b$

যেহেতু , তারপরে , সুতরাং : $G^T G = I$ $G^T = G^{-1}$ $G G^T=I$

$A^{-1} G x = G b$

$A A^{-1} G x = A G b$

$G x = A G b$

$G^T G x = G^T A G b$

$x = G^T A G b$

আমি যদি কিছু মিস না করি তবে আপনার প্রদত্ত , এবং কে গণনার জন্য কোনও পুনরাবৃত্তি বা কোনও দ্রাবক প্রয়োজন হবে না । $G$ $A$ $b$

— ফিল এইচ
সূত্র

হচ্ছে একটা বাম বিপরীত

পরোক্ষভাবে না যে এটি একটি অধিকার বিপরীত হয়। বিবেচনা করুন

, যেখানে

বাম বিপরীত, কিন্তু

।

G^{T}

$G^T$

G

$G$

G = e_{1}

$G=e_1$

G^{T} = e_{1}^{T}

$G^T=e_1^T$

G G^{T} = e_{1} e_{1}^{T} \neq I

$GG^T=e_1e_1^T\neq I$

— জ্যাক পলসন

G \in C^{n} \otimes C^{m}

$G\in \mathbb{C}^n\otimes \mathbb{C}^m$

G^{T} G = I_{m \times m}

$G^TG=I_{m\times m}$

G G^{T} \neq I_{n \times n}

$GG^T\ne I_{n\times n}$