সংখ্যার বিশ্লেষণে 'একটি প্রিমিয়ারি' এবং 'পোস্টেরিয়েরি' ত্রুটির অনুমানের মধ্যে পার্থক্যগুলি কী?

আমি ফিনাইট এলিমেন্ট পদ্ধতি সম্পর্কে শিখেছি (অন্যান্য সংখ্যার পদ্ধতিতেও একটু) তবে আমি জানি না যে এই দুটি ত্রুটি এবং তাদের মধ্যে পার্থক্যের ঠিক সংজ্ঞা কি?

finite-element numerical-analysis error-estimation

— আনহ-থি ডিআইএনএইচ
সূত্র

একটি প্রাইমারী (ল্যাটিন থেকে "পূর্বের" থেকে) অনুমানগুলি কেবল নির্ভুলের উপর নির্ভর করে, তবে গণিত আনুমানিক, সমাধানের উপর নির্ভর করে না এবং তাই সমাধানটি গণনা করার আগে (তাত্ত্বিকভাবে বাস্তবে না হলে) মূল্যায়ন করা যেতে পারে। বিপরীতে, একটি পোস্টেরিয়েরি (ল্যাটিন থেকে "পরবর্তীকালে") অনুমানগুলি গণিত সমাধানের উপর নির্ভর করে তবে সঠিক সমাধানের উপর নির্ভর করে না, সুতরাং তাদের সমাধানটির গণনা করা প্রয়োজন তবে বাস্তবে এটি অনুশীলন করে মূল্যায়ন করা যেতে পারে।

— ক্রিশ্চান ক্লাসন

@ ক্রিশ্চিয়ান ক্লাসন - এটি একটি উত্তর দিন!

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

ত্রুটি অনুমান সাধারণত ফর্ম আছে যেখানে সঠিক সমাধান আপনি আগ্রহী হয়, হয় নির্ণিত আনুমানিক সমাধান, প্রায় সঠিক পরিমাপ পরামিতি আপনি নিয়ন্ত্রণ করতে পারেন, এবং কিছু ফাংশন (অন্যান্য জিনিসের মধ্যে)। সসীম উপাদান পদ্ধতি ইন, একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান নেই এবং জাল আকার সঙ্গে একটি জাল জন্য সসীম উপাদান সমাধান হবে

‖ u - u_{h} ‖ \leq C (h),

$\|u - u_h\| \leq C(h),$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$

C (h)

$C(h)$

h

$h$

u

$u$

u_{h}

$u_h$

h

$h$ কিন্তু আপনি (নিয়মিতকরণ পরামিতি সঙ্গে একই বিপরীত সমস্যা কাঠামো আছে

স্থানে

বা সমীকরণ বা অপ্টিমাইজেশান সমস্যা সমাধানের জন্য পুনরাবৃত্ত পদ্ধতি) (পুনরাবৃত্তির সূচকের সাথে

- বরং বা

- স্থানে

) । যেমন একটি অনুমান বিন্দু সাহায্যের প্রশ্নের উত্তর দাও হয় "যদি আমি মধ্যে বলুন, পেতে চান, সঠিক সমাধান, কিভাবে ছোট আমি চয়ন করতে হবে ?"

α

$\alpha$

h

$h$

k

$k$

1 / k

$1/k$

h

$h$ $10^{-3}$ $h$

একটি অগ্রণী এবং উত্তরোত্তর অনুমানের মধ্যে পার্থক্যটি ডান হাতের আকারে : $C(h)$

ইন অবরোহমার্গী অনুমান, ডান দিকে উপর নির্ভর করে এবং (সাধারণত স্পষ্টভাবে) কিন্তু না । উদাহরণস্বরূপ, পয়সন এর সমীকরণের সসীম উপাদান পড়তা জন্য একটি টিপিক্যাল অবরোহমার্গী অনুমান ফর্ম হবে ডোমেন এবং জাল জ্যামিতি উপর নির্ভর করে। নীতিগতভাবে, ডান দিকের দিকটি (তাই নাম) গণনা করার আগে মূল্যায়ন করা যেতে পারে , তাই আপনি কোনও সমস্যা সমাধানের আগে বেছে নিতে সক্ষম হবেন । অনুশীলনে, $h$ $u$ $u_h$ $-\Delta u = f$ একটি ধ্রুবক
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h^{2} | u |_{H^{2}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h^2 |u|_{H^2},$ $c$ $u_h$ $h$ $c$ বা না পরিচিত (হয় কি প্রথম স্থানে খুঁজছেন), কিন্তু আপনি কখনও কখনও জন্য অর্ডার-অর-মাত্রার হিসেব পেতে পারেন সাবধানে প্রমাণাদি মাধ্যমে এবং জন্য গিয়ে তথ্য ব্যবহার করে $|u|_{H^2}$ $u$ $c$ $|u|$ $f$ (যা জানা) মূল ব্যবহারটি একটি গুণগত অনুমান হিসাবে - এটি আপনাকে বলে যে আপনি যদি চারটির একটি ফ্যাক্টর দ্বারা ত্রুটিটি ছোট করতে চান তবে আপনাকে অর্ধেক করতে হবে । $h$
ইন আরোহী অনুমান, ডান দিকে উপর নির্ভর করে এবং কিন্তু না । একটি সরল অবশিষ্ট ভিত্তিক পয়সন এর সমীকরণ একটি অবর অনুমান would হতে যা তত্ত্বটির মূল্যায়ন করা যেতে পারে পরে কম্পিউটিং । অনুশীলনে, $h$ $u_h$ $u$
$‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c h ‖ f + Δ u_{h} ‖_{H^{- 1}},$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c h \|f+\Delta u_h\|_{H^{-1}},$ $u_h$ $H^{-1}$ আদর্শ, গনা সমস্যাযুক্ত, তাই আপনি আরও ডানদিকে নিপূণভাবে চাই একটি পেতে উপাদান-অনুযায়ী আবদ্ধ যেখানে প্রথম সমষ্টি উপাদান শেষ হয়ে গেছে ট্রায়াঙ্গুলেশন এর আকার , দ্বিতীয় সমষ্টি সব উপাদান গণ্ডি শেষ হয়ে গেছে , এবং স্বাভাবিক ব্যুৎপন্ন এর লাফ উল্লেখ করে জুড়ে । ধ্রুবক বাদে প্রাপ্ত করার পরে এটি এখন সম্পূর্ণ গণনাযোগ্য। সুতরাং আবার ব্যবহারটি মূলত গুণগত - এটি আপনাকে বলে যে কোন উপাদানগুলি অন্যের তুলনায় বৃহত্তর ত্রুটির অবদান দেয়, তাই এইচটি হ্রাস করার পরিবর্তে $‖ u - u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c (\sum_{K} h_{K}^{2} ‖ f + Δ u_{h} ‖_{L^{2} (K)} + \sum_{F} h_{K}^{3 / 2} ‖ j (\nabla u_{h}) ‖_{L^{2} (F)}),$ $\|u-u_h\|_{L^2} \leq c \left(\sum_{K} h_K^2 \|f+\Delta u_h\|_{L^2(K)} + \sum_{F} h_K^{3/2} \|j(\nabla u_h)\|_{L^2(F)}\right),$ $K$ $h_K$ $K$ $F$ $j(\nabla u_h)$ $u_h$ $F$ $u_h$ $c$ $h$ অভিন্নভাবে, আপনি কেবল বৃহত ত্রুটির অবদানের সাথে কিছু উপাদান নির্বাচন করেন এবং সেগুলি ভাগ করে তাদের আরও ছোট করে তোলেন। এটি অভিযোজিত সসীম উপাদান পদ্ধতির ভিত্তি ।

— খ্রিস্টান ক্লাসন
সূত্র

এই উত্তরটি আমার যা প্রয়োজন ঠিক তা-ই ধন্যবাদ।

— আনহ-থি ডিআইএনএইচ