ডিজি-এফইএম-তে সংখ্যার প্রবাহের ভূমিকা Ro

13

আমি হেস্টেভেন / ওয়ার্ববার্টন বইটি ব্যবহার করে ডিজি-এফইএম পদ্ধতিগুলির পিছনে তত্ত্বটি শিখছি এবং আমি 'সংখ্যাগত প্রবাহের ভূমিকা' সম্পর্কে কিছুটা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি। যদি এটি একটি প্রাথমিক প্রশ্ন হয় তবে আমি ক্ষমা চাইছি, তবে আমি এর সন্তোষজনক উত্তর খুঁজে পেয়েছি এবং খুঁজে পাইনি।

রৈখিক স্কেলার ওয়েভ সমীকরণ বিবেচনা করুন: যেখানে রৈখিক প্রবাহকেহিসাবে দেওয়া হয়।

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f (u)}{\partial x} = 0

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial f(u)}{\partial x} = 0$

f (u) = a u

$f(u) = au$

হেস্টেভেনের বইতে যেমন প্রতিটি উপাদান জন্য প্রবর্তিত হয়েছিল , আমরা সমীকরণগুলি সমাপ্ত করি , প্রতিটি ভিত্তি ফাংশনের জন্য একটি, যা বলবত হয় যে অবশিষ্টাংশ দুর্বলভাবে বিলুপ্ত হয়: $k$ $N$

R_{h} (x, t) = \frac{\partial u_{h}}{\partial t} + \frac{\partial a u_{h}}{\partial x}

$R_h(x,t) = \frac{\partial u_h}{\partial t} + \frac{\partial au_h}{\partial x}$

\int_{D^{k}} R_{h} (x, t) ψ_{n} (x) d x = 0

$\int_{D^k} R_h(x,t) \psi_n(x) \, dx = 0$

ফাইন। সুতরাং আমরা একবার 'দুর্বল ফর্ম' (1) এ পৌঁছে অংশগুলির দ্বারা একীকরণের মাধ্যমে যাচ্ছি এবং 'শক্তিশালী ফর্ম' (2) পেতে দু'বার অংশে একীভূত হয়েছি। আমি হেস্টেভেনের সাজানোর ধরণের ওভারকিল গ্রহণ করব তবে সহজেই সাধারণকরণের পৃষ্ঠের অবিচ্ছেদ্য ফর্ম 1 ডি তে:

(1)

\int_{D^{k}} (\frac{\partial u_{h}^{k}}{\partial t} ψ_{n} - a u_{h}^{k} \frac{d ψ_{n}}{d x}) d x = - \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h})^{*} ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} \left( \frac{\partial u_h^k}{\partial t} \psi_n-au_h^k\frac{d \psi_n}{d x} \right)\, dx = - \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot(au_h)^*\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

(2)

\int_{D^{k}} R_{h} ψ_{n} d x = \int_{\partial D^{k}} \hat{n} \cdot (a u_{h}^{k} - (a u_{h})^{*}) ψ_{n} d x 1 \leq n \leq N

$\int_{D^k} R_h \psi_n\, dx = \int_{\partial D^k} \hat{n}\cdot \left( au_h^k-(au_h)^* \right)\psi_n \,dx \qquad 1 \leq n\leq N$

কেন আমরা একটি সংখ্যার প্রবাহ পছন্দ করি? কেন আমরা এর মান ব্যবহার করবেন না মধ্যে সীমানা (1) পরিবর্তে একটি সর্দি ব্যবহারে? হ্যাঁ, এটি সত্য যে এই পরিমাণের মান উপাদানগুলির মধ্যে বহুগুণ সংজ্ঞায়িত হতে পারে তবে প্রতিটি সমীকরণটি কেবল 1 টি উপাদান , তবে কেন এই বিষয়টি গুরুত্বপূর্ণ? $au_h^k$ $D^k$

তদ্ব্যতীত, অংশগুলির দ্বারা দ্বিতীয় সংহতকরণের সীমানা শব্দটি স্পষ্টভাবে আলাদাভাবে দ্বিতীয়বার (2) এ দেয়, যা আমার কাছে কোনও ধারণা রাখে না। আমরা একই অপারেশন করছি! কেন দুটি সীমানা শর্তাবলী বাতিল হবে না (2) অকেজো? আমরা কীভাবে নতুন তথ্য প্রবর্তন করেছি? $au_h^k$

স্পষ্টতই আমি পদ্ধতির জন্য গুরুত্বপূর্ণ কিছু অনুপস্থিত, এবং আমি এটি ঠিক করতে চাই। আমি কিছু বাস্তব এবং কার্যকরী বিশ্লেষণ করেছি, সুতরাং সূত্রটি সম্পর্কে যদি আরও তত্ত্ব-ভিত্তিক উত্তর থাকে তবে আমি জানতে চাই!

finite-element discontinuous-galerkin

— user3482876
সূত্র

6

u

$u$

u

$u$

8

টাইলারদের মন্তব্যের সাথে সম্পর্কিত, তবে আইএমও আরও গুরুত্বপূর্ণ: ফ্লাক্স বিভিন্ন সাব-প্রবলেমের মধ্যে একটি সংযোগের পরিচয় দেয়। অন্যথায় একটি বিচ্ছিন্ন অর্থে তথ্যের কোনও প্রচার হতে পারে না।

— খ্রিস্টান ওয়ালুগা

3

সংখ্যার প্রবাহটি সমীকরণের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বক্ররেখার (আপুইন্ডিং) দিক দিয়ে ভ্রমণ করে তা নিশ্চিত করার জন্য এই সংখ্যাটি প্রবাহকে বেছে নেওয়া হয়। মন্তব্যে উল্লিখিত হিসাবে, প্রতিটি উপাদানকে সংজ্ঞায়িত সাব-প্রব্লেমগুলি সংযুক্ত করার জন্য সংখ্যাগত প্রবাহ প্রয়োজনীয়।

সংখ্যাগত প্রবাহের ভূমিকার জন্য অন্তর্দৃষ্টি লাভের একটি উপায় নিম্নলিখিত সাধারণ উদাহরণটি বিবেচনা করা।

$a=1$

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 on Ω,

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \qquad\text{on $\Omega$},$

Ω = [0, 1]

$\Omega = [0,1]$

x = 0

$x = 0$

x = 1

$x = 1$

u (0, t) = g_{D}

$u(0,t) = g_D$

g_{D}

$g_D$

$D_1 = [0,1/2]$ $D_2 = [1/2,1]$

\begin{aligned} (PDE 1): & v_{t} + v_{x} & = 0 on D_{1}, \\ (PDE 2): & w_{t} + w_{x} & = 0 on D_{2}, \end{aligned}

$\begin{align*} \text{(PDE 1):}&& \quad v_t + v_x &= 0 \quad\text{on $D_1$},\\ \text{(PDE 2):}&& \quad w_t + w_x &= 0 \quad\text{on $D_2$}, \end{align*}$

$D_1$ $D_2$

$D_1$ $v(0,t) = g_D$ $D_2$ $w(1/2,t) = v(1/2,t)$

$\psi$ $D_k$

\begin{aligned} \int_{\partial D_{1}} \hat{n} \cdot v ψ d x & = {[v ψ]}_{0}^{1 / 2} \\ \int_{\partial D_{2}} \hat{n} \cdot w ψ d x & = {[w ψ]}_{1 / 2}^{1} \end{aligned}

$\begin{align*} \int_{\partial D_1} \hat{n} \cdot v \psi \, dx &= \left[ v\psi \right]_0^{1/2}\\ \int_{\partial D_2} \hat{n} \cdot w \psi \, dx &= \left[ w\psi\right]_{1/2}^1 \\ \end{align*}$

v

$v$

w

$w$

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

v (0, t)

$v(0,t)$

g_{D}

$g_D$

w (1 / 2, t)

$w(1/2,t)$

v (1 / 2, t)

$v(1/2,t)$

$u_h^* = g_D$ $x = 0$ $u_h^* = v(1/2,t)$ $x=1/2$

বিষয়গুলিকে এভাবে দেখলে, আমরা সংখ্যার ফ্লাক্স ফাংশনগুলিকে প্রতিটি উপাদানটির সীমানা শর্তগুলি দুর্বলভাবে প্রয়োগ করে যা সমীকরণগুলিকে এমনভাবে সংযুক্ত করার জন্য প্রয়োজন যেগুলি সমীকরণের বৈশিষ্ট্যগত কাঠামোকে সম্মান করে।

ধ্রুবক-গুণমান অভিজাতকরণের চেয়ে জটিল আরও সমীকরণের জন্য, তথ্য সর্বদা একই দিকে প্রচার করতে পারে না, এবং তাই সংখ্যার প্রবাহটি ইন্টারফেসে একটি রিমান সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে (বা সমাধানটির কাছাকাছি) সমাধান করতে হবে । এটি হেস্টেভেনের বইয়ের ২.৪ অনুচ্ছেদে লিনিয়ার সমস্যার জন্য আলোচনা করা হয়েছে।

— উইল পি।
সূত্র

1

খুব আলগাভাবে বলতে গেলে দুটি বিষয় রয়েছে যা আপনার ডিজাইনের প্রকৃত সমাধানে রূপান্তরিত করার জন্য সবচেয়ে বিচক্ষণতার কৌশলগুলির প্রয়োজন কারণ আপনি তাদের ডিজি ব্যবহার করছেন বা না তা নির্বিশেষে:

$u$
স্থিতিশীলতা (তথ্যের ক্ষুদ্র পরিবর্তনগুলির ফলে উত্তরে ছোট পরিবর্তন আসে)

ডিজি বংশোদ্ভূত হওয়ার প্রথম পদক্ষেপ যেখানে আপনি প্রতিটি জাল উপাদান সংরক্ষণ করে (1) অংশগুলি দ্বারা একীকরণ করেছেন কারণ আপনি PDE দিয়ে শুরু করছেন এবং সেখান থেকে কেবল আইনী ক্রিয়াকলাপ প্রয়োগ করছেন।

এটি আপনাকে দেয় না (2) যদিও। আপনি আংশিকভাবে তৈরি করা ডিজিজ দুর্বল ফর্মের ম্যাট্রিক্সকে একত্রিত করার চেষ্টা করে এবং এর স্থানীয় মূল্যবোধগুলি দেখে নিজেই এটি দেখতে পারেন - সময়ের নির্ভর সমস্যার জন্য আমরা এগুলি সমস্ত বাম আধে বিমানে চাই, তবে একটি উপযুক্ত সংখ্যাগত প্রবাহ ছাড়াই তারা সর্বত্র থাকবে। এটি এমন একটি সমাধানের দিকে নিয়ে যায় যা শারীরিক সমস্যা না হলেও সময় মতো দ্রুত বিস্ফোরিত হয়।

$u$

কৌশলটি হ'ল জাম্প এবং গড়ের সংমিশ্রণগুলি গ্রহণ করা এবং তাদের এমনভাবে একত্রিত করা যাতে আপনার স্কিমটি এখনও সুসংগত তবে স্থিতিশীলও। এর পরে একটি কনভার্জেনশন উপপাদ্য সাধারণত নিজেকে প্রকাশ করে।

এটি বেসিক, তবে আপনি প্রায়শই অতিরিক্ত পদার্থবিজ্ঞানকে সংখ্যাগত প্রবাহেও আনতে পারেন যাতে এটি কেবল এই গাণিতিক প্রয়োজনীয়তাগুলি পূরণ করে না তবে সংরক্ষণের নীতিগুলি সহ সুন্দরভাবে অভিনয় করে।

— Reid.Atcheson
সূত্র

0

আপনি যখন ডিজি পদ্ধতিতে পরীক্ষার কার্যের সমান টেস্ট ফাংশনটি চয়ন করেন আপনি একটি অপ্টিমাইজেশনের সমস্যা তৈরি করছেন। এটি হল, আপনার পেট্রোভ-গ্যালারকিন পদ্ধতির চেয়ে গ্যালার্কিন রয়েছে। আপনি ট্রায়াল ফাংশন অবিচ্ছেদের সময় ডেরাইভেটিভসের সন্ধান করছেন যা এল 2 আদর্শের উপাদানগুলির অবশিষ্টাংশকে ন্যূনতম করে তুলবে এবং প্রবাহের সময় প্রদত্ত ফ্লাক্স ফাংশন অনুমানের ভিত্তিতে আপনি এই অনুকরণকে তৈরি করেন।

— ফিলিপ রো
সূত্র