একটি আয়তক্ষেত্রাকার ঘন ম্যাট্রিক্সের নাল স্পেস

Question

একটি ঘন ম্যাট্রিক্স দেওয়া

$$A \in R^{m \times n}, m >> n; max(m) \approx 100000$$ কি সবচেয়ে ভালো উপায় কিছু সহনশীলতা মধ্যে এর নাল-স্পেস ভিত্তি খুঁজে হয় $\epsilon$ ?

সেই ভিত্তির ভিত্তিতে আমি কি তখন বলতে পারি যে কিছু কলস মধ্যেই লাইন নির্ভর করে $\epsilon$? অন্য কথায়, নাল স্পেস ভিত্তি গণনা করা, ননসিংুলার ম্যাট্রিক্স পেতে কোন কলামগুলি $A$অপসারণ করতে হবে?

তথ্যসূত্র প্রশংসা করা হয়।

Answer 1

ম্যাট্রিক্সের নাল স্থান নির্ধারণের জন্য স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতিগুলি হল একটি কিউআর পচন বা একটি এসভিডি ব্যবহার করা। নির্ভুলতা যদি সর্বমোট হয় তবে এসভিডি পছন্দ করা হয়; কিউআর পচন দ্রুত হয়।

, SVD ব্যবহার করা হয় তবে , তারপর এর কলাম ভী ছোট একবচন মান (অর্থাত, ছোট তির্যক এন্ট্রি সংশ্লিষ্ট Σ ) নাল স্থান ভিত্তি করা হয়। এখানে প্রাসঙ্গিক সহনশীলতা হ'ল যা একটি "ছোট" একক মান হিসাবে বিবেচনা করে। ম্যাটল্যাব, উদাহরণস্বরূপ, হতে ছোট লাগে সর্বোচ্চ ( মি , এন ) ⋅ ε , যেখানে ε মেশিন সঠিকতা সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত (দেখুন ম্যাটল্যাব এর ডকুমেন্টেশন এখানে )।$A = U\Sigma V^{H}$$V$$\Sigma$$\max(m,n) \cdot \varepsilon$$\varepsilon$

QR পচন ব্যবহার করে, যদি , এবং A এর স্থানটি r হয় , তবে Q এর শেষ n - r কলামগুলি A এর শূন্যস্থান তৈরি করে ধরে নিবে যে QR পচনটি র‌্যাঙ্ক প্রকাশিত হয়। নির্ধারণ দ , প্রধান তির্যক উপর এন্ট্রি সংখ্যা গণনা আর যার মাত্রার একটি সহনশীলতা (SVD পদ্ধতির মধ্যে ব্যবহৃত যে অনুরূপ) অতিক্রম করেছে।$A^{T} = QR$$A$$r$$n-r$$Q$$A$$r$$R$

LU পচন ব্যবহার করবেন না। সঠিক গাণিতিক ক্ষেত্রে এটি একটি কার্যকর পদ্ধতি, তবে ভাসমান পয়েন্ট গণিতের সাথে সংখ্যাসূচক ত্রুটিগুলির জমা হওয়া এটিকে ভুল করে তোলে।

উইকিপিডিয়া এখানে এই বিষয়গুলি কভার করে ।

Comments

জিওফ, কিউআর শর্তে কথা বলছি, ধরুন আমার পচন আছে, আমি কীভাবে তাহলে আসল ম্যাট্রিক্সে নাল স্পেস ভিত্তি এবং কলামগুলি সম্পর্কিত করব? অন্য কথায়, শূন্য স্থান থেকে মুক্তি পেতে আমি কলামগুলি এ থেকে সরিয়ে ফেলব ? এখানে বিন্দু সঙ্গে কাজ করার একটি নিজেই এবং তার পচানি সাথে নয়। $A$$A$

— আলেকজান্ডার

রুটিনগুলি যেগুলি কিউআর পচনকে গণনা করে থাকে সেগুলিতে সাধারণত একটি অনুগমন ভেক্টরকে ফেরত দেওয়ার একটি বিকল্প অন্তর্ভুক্ত থাকে যা নির্দেশ করে যে কীভাবে কলামগুলি কিউআর ফ্যাক্টেরাইজেশন পাওয়ার জন্য অনুমতিপ্রাপ্ত হয়। এই ক্রমশক্তি ভেক্টরের শেষ এন্ট্রিগুলি শূন্যস্থানতে থাকা A ( A টি কলামের ) সারিগুলির সাথে মিল রাখে। সেই ভেক্টরের প্রথম r এন্ট্রিগুলি A টি এর কলামগুলির সাথে সামঞ্জস্য করে যা লিনিয়ারে স্বতন্ত্র। "নাল স্থান থেকে মুক্তি" বলতে আপনি কী বোঝাতে চাইছেন তা আমি নিশ্চিত নই। আপনি কি বোঝাতে চেয়েছেন যে আপনি একটি ননসিংুলার ম্যাট্রিক্স পেতে A এর কলামগুলি মুছে ফেলতে চান ? $n-r$$A$$A^{T}$$r$$A^{T}$$A$

— জিওফ অক্সবেরি

হ্যাঁ, আমি বলতে চাইছি। আমি অনুক্রমের দিকে তাকান, ধন্যবাদ।

— আলেকজান্ডার

এটি ভিন্ন প্রশ্ন। এর পরিবর্তে আপনি যা করবেন তা হ'ল এর QR পচন (বা SVD) গণনা করা । যদি আপনি A এর QR পঁচন গণনা করেন তবে আপনি উপরের উত্তরের (ম্যাট্রিক্স স্থানান্তর করার প্রয়োজন নেই) হিসাবে A এর র‌্যাঙ্ক গণনা করতে পারেন , এবং তারপরে প্রথমে r প্রবেশদ্বারা (যেখানে r এর A এর র‌্যাঙ্ক রয়েছে ) পরস্পরের সাথে যোগাযোগ করুন স্বাধীন কলামকে একটি । একই ধরণের অ্যালগরিদম এসভিডির ক্ষেত্রে প্রযোজ্য; যদি আপনি পচন সহ একটি ক্রমবর্ধমান ভেক্টরকে ফিরিয়ে দিতে পারেন তবে এটি প্রয়োজনীয় তথ্য সরবরাহ করবে। $A$$A$$A$$r$$r$$A$$A$

— জিওফ অক্সবেরি

Answer 2

যদি , যেমন আপনার প্রশ্নের ইঙ্গিত, আপনি কিছু কাজ প্রথমে একটি সূচক অবচয় দ্বারা সংরক্ষণ করতে পারেন সেট আমি এর পি ≈ 5 এন (বলুন) র্যান্ডম সারি এবং লম্ব গুণকনির্ণয় ব্যবহার একটি টি আমি : = প্রশ্নঃ আর । (কিউআর-ফ্যাক্টেরাইজেশন হ'ল এক যেখানে Q স্কয়ার এবং আর র‌্যাঙ্ক আর এর আয়তক্ষেত্রাকার , এবং আর এর এন - আর কলামগুলি শূন্য a আরও বিস্তারিত রেসিপি।)$m\gg n$$I$$p\approx 5n$$A_{I:}^T=QR$$Q$$R$$r$$n-r$$R$

সাধারণত, এই আপনি অনেক কম মাত্রিক subspace এর কলাম দৃশ্যও দেব , গত এন - R এর কলাম প্রশ্ন । এই subspace এর নাল স্থান উপস্থিত রয়েছে একটি । এখন অন্যটি বাছুন, এলোমেলো করে র্যান্ডম সূচক সেট করুন এবং ( এ আই : এন ) টি এর কিউআর ফ্যাক্টেরাইজেশন গণনা করুন । সম্ভবত আরও নিম্ন মাত্রার একটি উন্নত এন পেতে N দ্বারা বামদিকে ফলস্বরূপ নাল স্থানটি গুণ করুন । এন এর মাত্রা আর হ্রাস না হওয়া পর্যন্ত পরিশ্রম করুন । তারপরে আপনার কাছে সম্ভবত সঠিক নাল স্থান রয়েছে এবং এটি একটি এন গণনা করে পরীক্ষা করতে পারেন$N$$n-r$$Q$$A$$(A_{I:}N)^T$$N$$N$$N$$AN$। যদি এটি এখনও তুচ্ছ না হয় তবে সর্বাধিক উল্লেখযোগ্য সারি দিয়ে আরও পুনরাবৃত্তি করুন।

সম্পাদনা: একবার আপনার হয়ে গেলে , আপনি পাইভোটিংয়ের সাথে এন টি = কিউ আর এর অরথোগোনাল ফ্যাক্টেরাইজেশন দ্বারা A এর রৈখিক স্বাধীন কলামগুলির সর্বাধিক সেট জে দেখতে পারেন । প্রকৃতপক্ষে, সূচকের সেট জে পিভট হিসাবে নির্বাচিত হয়নি এই সম্পত্তি থাকবে।$N$$J$$A$$N^T=QR$$J$

Comments

বড় ম্যাট্রিক্সের নালস্পেস নির্ধারণের কার্যকর উপায়ের জন্য +1। আমার যখন প্রয়োজন হবে তখন আমাকে এই উত্তরটি পরে পরামর্শ করতে হবে।

— জিফ অক্সবেরি

প্রকৃতপক্ষে, এটি যুক্তিসঙ্গত মনে হচ্ছে, তবে আমার ম্যাট্রিকগুলি 16 গিগাবাইট র‍্যামের সাথে ফিট করে, তাই আমি স্ট্যান্ডার্ড ম্যাট্লাব কিউআর সাথে থাকব।

— আলেকজান্ডার

প্রফেসর নিউমায়ার, আমি সেই অ্যালগরিদমটি পরীক্ষা করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি, তবে আমি ঠিক বুঝতে পারছি না কী এবং " ( এ আই : এন ) টি " এর কিউআর ফ্যাক্টেরাইজেশন গণনা করা কী? আপনি দয়া করে আরও কিছু ব্যাখ্যা করতে পারেন। $N$$(A_{I:}N)^T$

— আলেকজান্ডার

আমি আমার উত্তরটি একটু সম্পাদনা করেছি। জেফ অক্সবেরির রেসিপি দ্বারা গণনা করা হয়। $N$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

ধন্যবাদ. আমি এটি বাস্তবায়ন। তবে, যতটা আমি দেখতে, এই অ্যালগরিদম আমার সুসংগত স্বাধীন কলাম একটি সেট নির্ধারণ করার অনুমতি দেয় না (যেহেতু আমরা পচা একটি টি আমি : বদলে একজন আমি : ), কিন্তু মাত্র nullspace ভিত্তিতে নিজেই অনুমান করার জন্য সাহায্য করে? $A$$A_{I:}^T$$A_{I:}$

— আলেকজান্ডার