50x50 ম্যাট্রিক্সের বৃহত্তম ইগন্যালু সন্ধানের জন্য এসভিডি - আমি কি উল্লেখযোগ্য পরিমাণে সময় নষ্ট করছি?

Question

আমি একটি প্রোগ্রাম পেয়েছি যা তাদের সকলের একক মান-পচা সঞ্চালন করে অনেকগুলি রিয়েল প্রতিসম 50x50 ম্যাট্রিকের বৃহত্তম ইগনুয়ালুকে গণনা করে। এসভিডি প্রোগ্রামের একটি বাধা।

অ্যালগরিদমগুলি রয়েছে যা বৃহত্তম ইগন্যালু খুঁজে পেতে খুব দ্রুত হয়, বা এই অংশটি অনুকূল করে তো বিনিয়োগে খুব বেশি রিটার্ন দেয় না?

Comments

আপনি কি নিজের ম্যাট্রিক্স সম্পর্কে আরও কিছু তথ্য দিতে পারেন, যেমন যদি তাদের কাঠামোর বিষয়ে কিছু জানা থাকে তবে তাদের ইউজভ্যালুগুলির পরিসীমা বা একে অপরের সাথে তাদের মিল?

— পেড্রো

এটি একটি কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স ( )। পরীক্ষায় দেখা যায় যে 5 বা তত বৃহত্তম বৃহত্তম ইগেনভ্যালুগুলি বাদে শূন্যের কাছাকাছি, এবং বৃহত্তম ইগেনভ্যালু দ্বিতীয় বৃহত্তম থেকে কমপক্ষে 20% বড়। যেহেতু শূন্যের কাছাকাছি প্রচুর এগেনভ্যালু রয়েছে, তাই আমি মনে করি পরিধিটি গুরুত্বপূর্ণ নয়? এটি যে কোনও পরিসরে পুনরুদ্ধার করা যেতে পারে। আমি বর্তমানে যে স্কেলটি ব্যবহার করছি তা আমাকে 150 ~ 200 এর পরিসীমা দেয়। $XX^T$

— আন্না

এছাড়াও, ম্যাট্রিক্স খুব ঘনিষ্ঠভাবে একবিন্দু নয়, সুতরাং এসভিডি সমস্যাটি শীতাতপ নিয়ন্ত্রিত।

— আনা

যেহেতু প্রতিসাম্য এবং ধনাত্মক (আধা) সুনিশ্চিত আপনি এসভিডির পরিবর্তে কোলেস্কি ফ্যাক্টেরাইজেশন ব্যবহার করতে পারেন। কোলেস্কি ফ্যাক্টেরাইজেশন এসভিডির তুলনায় গণনা করতে অনেক কম ফ্লপ নেয় তবে সঠিক পদ্ধতি হওয়ায় এখনও ফ্লপ লাগে । ও ( এন 3$XX^T$$O(n^3)$

— কেন

@ আন্না: আপনি এখানে প্রস্তাবিত অনেকগুলি পদ্ধতির কোনওটি ব্যবহার করে দেখেছেন? আপনার জন্য অনুশীলনে সবচেয়ে ভাল কী কাজ করেছে তা জানতে আমি বেশ কৌতূহলী হয়ে

— পেড্রো

Answer 1

বৃহত্তম ইগেনুয়ালুয়ের জন্য আপনার প্রয়োজনীয় নির্ভুলতার উপর নির্ভর করে আপনি পাওয়ার আইট্রেশন ব্যবহার করার চেষ্টা করতে পারেন ।

আপনার নির্দিষ্ট উদাহরণের জন্য, আমি স্পষ্টভাবে form গঠন না করে , তবে প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে গণনা করব। কম্পিউটিং জন্য ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন তবে ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর পণ্যটির জন্য কেবল । এক্স x ← এক্স ( এক্স টি এক্স ) এ ও ( এন 3 ) ও ( এন 2$A=XX^\mathsf{T}$$x \leftarrow X(X^\mathsf{T}x)$$A$$\mathcal O(n^3)$$\mathcal O(n^2)$

রূপান্তর হার সবচেয়ে বড় দুটি ইগুভ্যালুগুলির মধ্যে বিভক্তির উপর নির্ভর করে, সুতরাং এটি সব ক্ষেত্রেই ভাল সমাধান নাও হতে পারে,

Comments

বৃহত্তম eigenvalue 20% পরবর্তী চেয়ে বড় হয়, তাহলে ক্ষমতা পুনরাবৃত্তির প্রশংসনীয় দ্রুত (অন্য সমস্ত eigenvalues প্রতিটি পুনরাবৃত্তির 5/6 একটি গুণক দ্বারা damped পেতে মিলিত উচিত, তাই আপনি প্রতি 13 পুনরাবৃত্তিও জন্য এক অঙ্ক পান।

— উলফগ্যাং Bangerth

ক্রিলোভ সাবস্পেস পদ্ধতিগুলি পাওয়ার পদ্ধতির চেয়ে কঠোরভাবে ভাল, কারণ এগুলিতে একই সংখ্যার পুনরাবৃত্তি সহ পাওয়ার পুনরাবৃত্তি থেকে ভেক্টর রয়েছে।

— জ্যাক পলসন

@ জ্যাকপলসন: হ্যাঁ, তবে প্রতিটি পুনরাবৃত্তি গণনা করা আরও ব্যয়বহুল ... এত ছোট সমস্যার জন্য এটি কি সত্যই মূল্যবান হতে পারে?

— পেড্রো

@ পেড্রো: অবশ্যই ম্যাটভেকদের জন্য চতুর্ভুজীয় কাজ প্রয়োজন এবং রেলেইগের ভাগফল ইজেনসলভ এবং পরবর্তী সম্প্রসারণ তুলনায় তুচ্ছ।

— জ্যাক পলসন

কোড ব্যয়? যেহেতু @ জ্যাকপলসন ইস্যুটি প্রকাশ করেছেন, বি। পারলেট এট আল (1982) ("ল্যানকোসোস অ্যালগরিদমের সাথে বৃহত্তম ইগেনালুয়ের অনুমানের উপর") পাওয়ার পদ্ধতি, পাওয়ার পদ্ধতি + আইটকেন ত্বরণ এবং ল্যানকোসের একটি অ্যাপ্লিকেশনকে বাস্তবের বৃহত্তম ইগন্যালুকে লক্ষ্য করে তুলনা করুন প্রতিসম (বা হার্মিটিয়ান) পোস্ট Def। ম্যাট্রিক্স। তারা উপসংহারে আসে যে ল্যাঙ্কজোস পদ্ধতিটি আরও কার্যকর যদি এমনকি পরিমিত যথাযথতা (দ্বিতীয়টির সাথে সম্পর্কিত প্রথম ইগেনুয়ালুয়ের) প্রয়োজন হয় এবং ভুলভ্রান্তি এড়ানোর ক্ষেত্রে আরও ভাল।

— হার্ডম্যাথ

Answer 2

$X(X^Tx)$

Comments

$B = T = I$

না; আমি মানক ল্যাঙ্কসোসোস অ্যালগরিদম বলতে চাইছিলাম তবে তাড়াতাড়ি সিজি লিখেছিলাম। এখন সংশোধন।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

Answer 3

$A = XX^T$$\mu$$A - \mu I$$A$

$||Ax||/||x||$$\lambda_1$$[0,\frac{5}{6} \lambda_1]$$A - \frac{5}{12} \lambda_1 I$$\frac{7}{12} \lambda_1$$[\frac{-5}{12} \lambda_1, \frac{5}{12} \lambda_1]$

$A - \mu I$$\lambda_1$$\mu$

মনে রাখবেন যে আপনার স্পষ্টভাবে গঠনের দরকার নেই কারণ এখনও প্রচেষ্টার সাথে গণনা করা যেতে পারে ।$A - \mu I$ও ( এন 2$(A - \mu I)x = X(X^Tx) - \mu x$$O(n^2)$

Comments

এর জন্য দ্বিতীয় বৃহত্তম ইগেনুয়ালুয়ের মাত্রা কী তা সম্পর্কে একটি ভাল ধারণা থাকা প্রয়োজন বলে মনে হয়। আপনি কিভাবে এই ক্ষেত্রে এটি আনুমানিক হবে?

— পেড্রো

@Pedro: স্থানান্তরিত ক্ষমতা পুনরাবৃত্তির প্রয়োগ করা হচ্ছে শুধুমাত্র একটি অনুমান প্রয়োজন বৃহত্তম eigenvalue কিন্তু সাথে unshifted ক্ষমতা পদ্ধতি, বিশ্লেষণ শো অভিসৃতি হার উপর নির্ভর করে(এ্যাবসগুলিতে নিক্ষেপ করা। মানগুলির জন্য যা অপ্রয়োজনীয়। হাতের কাছে আধা-নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে)। পরিবর্তিত পর্যবেক্ষণের হারগুলি অনুমান করতে ব্যবহার করা যেতে পারে, তাই আকার আপেক্ষিক আকাঙ্ক্ষিত পারেন। আমি পরামর্শ দিচ্ছিলাম যে কোনও ক্ষেত্রে আপনি কী উপকার দেখতে চান যেমন আন্না প্রশ্নের নীচে তার মন্তব্যগুলিতে বর্ণনা করেছেন। | λ 2 | / | λ 1 | | λ 2 | / | λ 1 | λ 2 λ $\lambda_1$$|\lambda_2|/|\lambda_1|$$|\lambda_2|/|\lambda_1|$$\lambda_2$$\lambda_1$

— হার্ডম্যাথ