বড় ম্যাট্রিক্সের আনুমানিক বর্ণালী

14

আমি একটি বিশাল স্পার্স ম্যাট্রিক্স (কয়েক হাজার সারি) এর বর্ণালী ( সমস্ত আইগেন্যুয়ালুগুলি) গণনা করতে চাই । এটা কঠিন.

আমি একটি আনুমানিক জন্য নিষ্পত্তি করতে ইচ্ছুক। এটি করার জন্য কি আনুমানিক পদ্ধতি আছে?

যদিও আমি এই প্রশ্নের সাধারণ উত্তরের জন্য আশাবাদী আমি নিম্নলিখিত নির্দিষ্ট ক্ষেত্রে একটি উত্তর দিয়ে সন্তুষ্ট হব। আমার ম্যাট্রিক্স একটি বড় গ্রাফের নরমালাইজড ল্যাপ্লেসিয়ান । ইগেনভ্যালুগুলি 0 থেকে 2 এর মধ্যে হবে যার মধ্যে একটি বিশাল সংখ্যা প্রায় 1 টি ক্লাস্টারযুক্ত।

— MRocklin
সূত্র

ম্যাট্রিক্স স্পারস বা ঘন?

— অরন আহমদিয়া

ম্যাট্রিক্স বিরল। এটি প্রতিফলিত করার জন্য আমি প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি।

— এমরোকলিন

কেন আপনি সব eigenvalues চান ? আপনার যখন কোনও স্পারস বা কাঠামোগত ম্যাট্রিক্স থাকে তখন এটি প্রায় সর্বজনীনভাবে করা খারাপ কাজ, সুতরাং আপনি কীভাবে এটি ব্যবহারের পরিকল্পনা করছেন তা জানা গুরুত্বপূর্ণ।

— জেড ব্রাউন

কোনও গ্রাফ ল্যাপ্যালাসিয়ান বর্ণালীতে এমন কিছু গুরুত্বপূর্ণ তথ্য বহন করে যা আমি পরিদর্শন করতে চাই। আমার এগুলি সবের দরকার নেই, কেবল তারা কোথায় আছে তা আমার কেবল জানতে হবে।

— এমরোকলিন

15

যদি আপনার গ্রাফটি পুনঃনির্দেশিত হয় (যেমন আমি সন্দেহ করি), ম্যাট্রিক্স প্রতিসম হয় এবং আপনি ল্যাঙ্কসোস অ্যালগরিদমের চেয়ে ভাল কিছু করতে পারবেন না (স্থায়িত্বের জন্য প্রয়োজনে নির্বাচনী পুনর্গঠন সহ)। যেহেতু পূর্ণ বর্ণালীটি 100000 সংখ্যা নিয়ে গঠিত, আমি জিৎস করি আপনি মূলত বর্ণালি ঘনত্বের প্রতি আগ্রহী।

আনুমানিক বর্ণালী ঘনত্ব পেতে, 100 বা তার বেশি মাত্রার শীর্ষস্থানীয় ক্রিলোভ উপসর্গের বর্ণালী নিন এবং এর স্বচ্ছ ঘনত্বটিকে একটি স্মুথড সংস্করণ দ্বারা প্রতিস্থাপন করুন।

শীর্ষস্থানীয় ক্রিলোভ বর্ণালী প্রায় ভালভাবে বিচ্ছিন্ন ইগেনালুগুলি সমাধান করতে হবে (এগুলির উপস্থিত থাকা উচিত), ননিসোলেট স্পেকট্রামের শেষে এগেনভ্যালুগুলি সংমিশ্রণ করে এবং কিছুটা এলোমেলোভাবে এর মাঝে এমন একটি বিতরণ যার সাথে ক্রমবর্ধমান বিতরণ ফাংশনটি সত্য বর্ণালীটির সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ with । মাত্রা বাড়লে এটি সঠিক গাণিতিক ক্ষেত্রে এটি রূপান্তরিত করে। (যদি আপনার অপারেটর অসীম-মাত্রিক হয়ে থাকে তবে এটি এখনও ঘটত এবং আপনি ক্রমাগত বর্ণালীতে সত্য বর্ণালী ঘনত্ব ফাংশনের অবিচ্ছেদ্য পেয়েছিলেন))

— আর্নল্ড নিউমায়ার
সূত্র

শীর্ষস্থানীয় ক্রিলোভ উপসর্গের বর্ণালীটি কি কেবল 100 বৃহত্তম ইগ্যালভ্যালু হবে না? আমি মাঝারি ও ক্ষুদ্রতম ইগেনাল্যুগুলির বিতরণেও আগ্রহী।

— এমরোকলিন

1

@ এমআরকলিন: না। আমি আরও উত্তর দেওয়ার জন্য আমার উত্তরকে বাড়িয়েছি।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

6

আর্নল্ড নিউমায়ারের জবাব লিন লিন, ইউসুফ সাদ এবং চাও ইয়াং (২০১ by) র "বড় ম্যাট্রিক্সের স্পেকট্রাল ঘনত্বের আনুমানিক" প্রবন্ধের ৩.২ বিভাগে আরও বিশদে আলোচনা করা হয়েছে ।

কিছু অন্যান্য পদ্ধতিও আলোচনা করা হয়েছে তবে কাগজের শেষে সংখ্যাসূচক বিশ্লেষণে দেখা গেছে যে ল্যাঙ্কসোস পদ্ধতি এই বিকল্পগুলিকে ছাড়িয়ে গেছে।

— উ: ভ্যান ওয়ার্ড
সূত্র

4

যদি আপনি এমন কিছু বিষয় সম্পর্কে চিন্তাভাবনা করে ঠিক থাকেন যা এগেনভ্যালু নয় তবে এমন ক্রিয়াকলাপ যা কিছু দিক থেকে এখনও বর্ণালী সম্পর্কে আপনাকে কিছু বলে দেয় তবে আমি মনে করি আপনারা রাইস ইউনিভার্সিটির মার্ক এমব্রির কিছু কাজ পরীক্ষা করে দেখবেন।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ
সূত্র

2

বর্ণালী বৈশিষ্ট্যযুক্ত করার আরও একটি উপায় এখানে।

$\mathbf{A} v_k = \lambda_k v_k$ $\mathbf{A}$

S (ω) = \sum_{k} \frac{π^{- 1} σ}{σ^{2} + (λ_{k} - ω)^{2}} = \frac{σ}{π} T r [σ^{2} + (ω - A)^{2}]^{- 1}

$S(\omega) = \sum_k \frac{\pi^{-1}\sigma}{\sigma^2 + (\lambda_k - \omega)^2} = \frac{\sigma}{\pi} \mathop{\mathrm{Tr}} [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1}$

S (ω) = \frac{σ}{π} ⟨ z^{T} [σ^{2} + (ω - A)^{2}]^{- 1} z ⟩

$S(\omega) = \frac{\sigma}{\pi}\langle z^T [\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z \rangle$

z

$z$

+ 1

$+1$

- 1

$-1$

σ

$\sigma$

ω

$\omega$

[σ^{2} + (ω - A)^{2}]^{- 1} z

$[\sigma^2 + (\omega - \mathbf{A})^2]^{-1} z$

[ω + i σ - A]^{- 1} [ω - i σ - A]^{- 1}

$[\omega + i \sigma - \mathbf{A}]^{-1} [\omega - i \sigma - \mathbf{A}]^{-1}$

S (ω)

$S(\omega)$

$\omega$

— PV।
সূত্র

0

সানজিভ কুমার, মেহরিয়ার মোহরী ও আমিত তালওয়ালকার (আইসিএমএল ২০০৯.) রচনা "স্যাম্পলিং-ভিত্তিক আনুমানিক বর্ণালী পচন" উপর কাগজটি দেখুন। এটি আপনার ম্যাট্রিক্সের কলামগুলির নমুনা ব্যবহার করে।

যেহেতু আপনার ম্যাট্রিক্স প্রতিসম হয় তাই আপনার নিম্নলিখিতগুলি করা উচিত:

এটিকে আপনার এন * এন ম্যাট্রিক্স হতে দিন। আপনি কোনও এন * এন ম্যাট্রিক্সের ইগেনভ্যালুগুলির একটি কে * কে ম্যাট্রিক্সের ইগেন্যুয়েলের গণনায় হ্রাস করতে চান। প্রথমে আপনার কে এর মানটি চয়ন করুন। ধরা যাক আপনি কে = 500 বেছে নিচ্ছেন, যেহেতু আপনি সহজেই 500 * 500 ম্যাট্রিক্সের ইগোনালগুলি গণনা করতে পারেন। তারপরে, এলোমেলোভাবে ম্যাট্রিক্স এ এর ক কলামগুলি এ ম্যাট্রিক্স বি গঠন করুন যা কেবলমাত্র এই কলামগুলি এবং সংশ্লিষ্ট সারিগুলিকে রাখে।

কে সূচী x এর এলোমেলো সেটের জন্য বি = এ (x, এক্স)

বি এখন আক * কে ম্যাট্রিক্স। বি এর ইগেনালুগুলি গণনা করুন এবং সেগুলি (n / কে) দ্বারা গুণ করুন। আপনার কাছে এখন k এর মান রয়েছে যা আনুমানিক এ এর এন ইভেনভ্যালুগুলির মতো বিতরণ করা হয়েছে তা নোট করুন যে আপনি কেবলমাত্র কে মান পাবেন, এন নয়, তবে তাদের বিতরণটি সঠিক হবে (তারা এলো যে এটি একটি আনুমানিক)।

— জেরুমে কুনগিস
সূত্র

-1

আপনি সর্বদা জিগারগোরিন সার্কেল থিওরেম সীমানা ব্যবহার করতে পারেন এগেনুয়ালগুলি আনুমানিক করতে to

অফ-ডায়াগোনাল পদগুলি যদি ছোট হয় তবে তির্যকটি বর্ণালীটির একটি ভাল অনুমান ima অন্যথায় আপনি যদি ইগেনস্পেসের সান্নিধ্যের সাথে শেষ করেন (অন্য পদ্ধতি দ্বারা) আপনি এই সিস্টেমে তির্যক এন্ট্রিগুলি প্রকাশ করার চেষ্টা করতে পারেন। এটি ছোট অফ-ডায়াগোনাল পদগুলির সাথে একটি ম্যাট্রিক্সকে নিয়ে যাবে এবং নতুন তির্যকটি বর্ণালীটির আরও ভাল সমীকরণ হবে।

— FKaria
সূত্র

Gerschgoring কোন aprroximations কিন্তু ত্রুটির সীমা দেয় না, তাই এখানে অপ্রাসঙ্গিক। তদুপরি, একটি বিচ্ছিন্ন ম্যাট্রিক্সে আপনার পদ্ধতিটি ব্যবহার করার জন্য একটি ঘন আইজেনভেક્ટર ম্যাট্রিক্সের প্রয়োজন হবে, যা ওপিএস সমস্যার জন্য সঞ্চয় করা অসম্ভব।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

যেমনটি আমি বলেছি, তির্যকটি গের্শগোরিয়ান বৃত্ত উপপাদ্য দ্বারা প্রদত্ত ত্রুটিসীমাগুলির সাথে বর্ণালীটি একটি সংক্ষেপণ, অবশ্যই গের্শগোরিনের ত্রুটি সীমাটি কোনও অনুমান নয়। অফ-ডায়াগোনাল পদটি যদি ছোট হয় তবে তির্যকটি খুব ভাল হবে। কারণ ওপি বলেছিল যে ম্যাট্রিক্স খুব কম।

— এফকারিয়া

5

অনুশীলনে উত্থাপিত বেশিরভাগ স্পার্স ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি এবং কলামে কিছু উল্লেখযোগ্য অফ-ডায়াগোনাল উপাদান থাকে, যা তির্যকটি খুব দুর্বল অনুমান করে তোলে (উদাহরণস্বরূপ, একটি নিয়মিত গ্রাফের একটি ল্যাপ্লেসিয়ার ক্ষেত্রে তির্যক স্থির থাকে), এবং ত্রুটিটি অকেজো হয়ে যায়।

— আর্নল্ড নিউমায়ার