নিউটন-রাফসন আনুমানিক সংখ্যাসূচক ডেরিভেটিভ সহ আনুমানিকের ত্রুটিগুলি

ধরুন আমি কিছু ফাংশন আছে এবং আমি খুঁজতে চান যেমন যে । আমি নিউটন-রাফসন পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারি। তবে এর জন্য প্রয়োজন যে আমি ডেরিভেটিভ ফাংশন । জন্য বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি অনুপলব্ধ হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, কম্পিউটার কোডের একটি জটিল অংশ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা পরীক্ষামূলক মানগুলির একটি ডাটাবেসকে পরামর্শ করে। $f$ $x$ $f(x)\approx 0$ $f'(x)$ $f$ $f$

কিন্তু এমন কি যদি জটিল, আমি অনুমান করতে পারে কোন বিশেষ জন্য অল্প সংখ্যক চয়ন করে এবং calculting $f'$ $f'(a)$ $a$ $\epsilon$ । $f'(a) \approx {f(a+\epsilon) - f(a)\over\epsilon}$

আমি শুনেছি এই পদ্ধতির স্বতন্ত্র অসুবিধাগুলি রয়েছে তবে সেগুলি কী তা আমি জানি না। উইকিপিডিয়া ইঙ্গিত দেয় যে "এই সান্নিধ্যটি ব্যবহারের ফলে সেকান্ট পদ্ধতির মতো কিছু ঘটতে পারে যার অভিব্যক্তি নিউটনের পদ্ধতির চেয়ে ধীর গতিতে"।

কেউ কি দয়া করে এ সম্পর্কে বিশদভাবে বলতে পারেন এবং এমন একটি রেফারেন্স সরবরাহ করতে পারেন যা বিশেষত এই কৌশলটি নিয়ে সমস্যাগুলি নিয়ে আলোচনা করে?

reference-request approximation

— মার্ক ডোমিনাস
সূত্র

যখন সঞ্চিত পদ্ধতিটি গণনার জন্য ব্যয়বহুল হয় তখন সেকান্ট পদ্ধতিটি একটি দুর্দান্ত বিকল্প। তিন ধাপ সেকান্ট সাধারণত দুটি ধাপ নিউটনের সমান এবং ধাপগুলি সস্তা।

যখনই আপনি সীমাবদ্ধ পার্থক্য (যেমন আপনি প্রস্তাব দিচ্ছেন) দ্বারা সংখ্যাসূচকভাবে গণনা করেন, ফাংশনের কোনও শব্দ প্রশস্ত করা হয়, তাই আপনাকে অবশ্যই আপনার এপসিলনটি সাবধানতার সাথে বেছে নিতে হবে। এক সম্ভাবনা, যখন আপনি সমাধান, একটি বাইনারি উপবিভাগ পদ্ধতি, যে দীর্ঘ হিসাবে হিসাবে একই বিন্দুতে মিলিত নিশ্চিত এর সুইচ বন্ধ পাবেন চ স্থানীয়ভাবে একঘেয়ে হয়।

— মাইক ডুনলাভে

আন্দ্রে যেমন উল্লেখ করেছেন, দ্বি-পয়েন্টের সংখ্যাসূচক ডেরিভেটিভগুলি, যেমন আপনি প্রস্তাব করেছেন, পুনরায় চালু হওয়া সেকান্ট পদ্ধতির সমতুল্য । দ্রুত অভিযোজনের জন্য, আমি তথাকথিত ইলিনয় অ্যালগরিদমকে পরামর্শ দেব , যা সেকান্ট পদ্ধতির একটি নিকটাত্মীয় এবং আপনার ক্ষেত্রে দু'জনের বিপরীতে পদক্ষেপে কেবল একটি পয়েন্ট ব্যবহার করবে, এবং এর মতো আটকে যাবে না ভুয়া অবস্থান পদ্ধতি।

— পেড্রো

এর মাত্রা কত ? মাত্রা যত বেশি হবে তত বেশি মূল্যবান একটি ডেরাইভেটিভ হয়। জ্যাকবিয়ান-মুক্ত নিউটন-ক্রিলোভ এমন একটি বিকল্প যা স্পষ্টভাবে ডেরিভেটিভের প্রয়োজন হয় না (যদিও শর্তসাপেক্ষ সিস্টেমগুলির জন্য পূর্বশর্ত জরুরি)।

x

$x$

— জেড ব্রাউন

স্বরলিপিটির জন্য, ধরে নেওয়া যাক যে (অর্থাৎ এটি একটি ভেক্টর-মূল্যবান ফাংশন যা কোনও ভেক্টরকে ইনপুট হিসাবে গ্রহণ করে এবং একই আকারের একটি ভেক্টরকে আউটপুট দেয়)। দুটি উদ্বেগ রয়েছে: গণনা ব্যয় এবং সংখ্যাগত নির্ভুলতা। $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n}$

সীমাবদ্ধ পার্থক্য ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ (জ্যাকবিয়ান ম্যাট্রিক্স, , বা , বা আপনি যা পছন্দ করেন তা গণনা করা হচ্ছে ফাংশন মূল্যায়ন প্রয়োজন to আপনি যদি সংজ্ঞা থেকে সরাসরি ভাসমান পয়েন্ট গাণিতিক ব্যবহার করে ডারাইভেটিভ গণনা করতে পারেন তবে আপনাকে পার্থক্যফলকটি গণনা করতে হবে $\mathrm{D}f(x)$ $J(x)$ $(\nabla f(x))^{T}$ $n$

\begin{aligned} D f (x) e_{i} = lim_{ε \to 0} \frac{f (x + ε e_{i}) - f (x)}{ε} \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{D}f(x)e_{i} = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{f(x + \varepsilon e_{i}) - f(x)}{\varepsilon} \end{align}$

প্রতিটি ধরে ধরে আপনি কোনও ধরণের "স্মার্ট ফাইনাইট ডিফারেন্সিং" (কার্টিস-পাওয়েল-রিডের মতো) করবেন না কারণ আপনি এর স্পারসিটি প্যাটার্নটি জানেন (বা সনাক্ত করতে পারেন) । যদি $i = 1, \ldots, n$ $\mathrm{D}f$ $n$ বড় হয়, তবে এটি অনেক কার্যকারিতা মূল্যায়ন হতে পারে। আপনার যদি জন্য বিশ্লেষণাত্মক অভিব্যক্তি থাকে তবে তা গণনা করা সস্তা be ফাংশন মূল্যায়নের ব্যয়ের জন্য প্রায় 3 থেকে 5 গুণ গুনে নির্ণয়ের জন্য স্বয়ংক্রিয় (অ্যালগোরিদমিক নামেও পরিচিত) পার্থক্য পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে । $\mathrm{D}f$ $\mathrm{D}f$

সংখ্যাগত উদ্বেগও রয়েছে। স্পষ্টতই, একটি কম্পিউটারে, আমরা কোনও স্কেলারের সীমা শূন্যের সাথে তুলতে পারব না, সুতরাং যখন আমরা অনুমান করি , আমরা সত্যিই অবচয় করছি "ছোট" হতে এবং গণক $\mathrm{D}f$ $\varepsilon$

\begin{aligned} D f (x) e_{i} \approx \frac{f (x + ε e_{i}) - f (x)}{ε}, \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{D}f(x)e_{i} \approx \frac{f(x + \varepsilon e_{i}) - f(x)}{\varepsilon}, \end{align}$

যেখানে $\approx$ অর্থ এটি একটি আনুমানিক, এবং আমরা আশা করি এটি একটি খুব ভাল অনুমান। ফ্লোটিং পয়েন্ট গাণিতিক এই পড়তা গণনা করা হচ্ছে শক্ত কারন যদি আপনি বাছাই খুবই বড়, আপনার পড়তা খারাপ হতে পারে, কিন্তু আপনি যদি বাছাই খুবই ছোট, এখানকার উল্লেখযোগ্য রাউন্ডইং ত্রুটি হতে পারে। এই প্রভাবগুলি উইকিপিডিয়া নিবন্ধে অতিমাত্রায় বিশদে সংখ্যার পার্থক্য সম্পর্কে আচ্ছাদিত রয়েছে ; নিবন্ধের মধ্যে আরও বিস্তারিত উল্লেখ পাওয়া যাবে। $\varepsilon$ $\varepsilon$

জ্যাকবীয় ম্যাট্রিক্সে ত্রুটি থাকলে খুব বেশি না হলে নিউটন-রাফসন পুনরাবৃত্তি একত্রিত হবে। বিস্তারিত তাত্ত্বিক বিশ্লেষণের জন্য,নিক হিগহামের সংখ্যার আলগোরিদিমগুলির নির্ভুলতা এবং স্থায়িত্বেরঅধ্যায় 25 দেখুনবাফ্রেঞ্চাইজ তিসিয়রের কাগজটিযার ভিত্তিতে তৈরি হয়েছে তা দেখুন। $\mathrm{D}f$

গ্রন্থাগারগুলি সাধারণত আপনার জন্য এই অ্যালগরিদমিক বিশদগুলি যত্ন করে এবং সাধারণত, নিউটন-রাফসন অ্যালগরিদম (বা এর রূপগুলি) এর গ্রন্থাগার বাস্তবায়নগুলি খুব সুন্দরভাবে রূপান্তরিত হবে তবে প্রায়শই প্রায়শই একটি সমস্যা দেখা দেবে যা ত্রুটিগুলির কারণে কিছুটা সমস্যা সৃষ্টি করে উপরে। স্কেলারের ক্ষেত্রে , আমি দৃnt়তা এবং অনুশীলনে ভাল কনভার্জেনশন হারের কারণে ব্রেন্টের পদ্ধতিটি ব্যবহার করতাম । $(n = 1)$

— জিওফ অক্সবেরি
সূত্র