সংখ্যার সমীকরণের একটি কঠিন সিস্টেমটি সমাধান করা

Question

আমার কাছে -লিনিয়ার সমীকরণের একটি সিস্টেম রয়েছে যা আমি সংখ্যাগতভাবে সমাধান করতে চাই:$n$

f = ( f 1 , … , f n

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{a}$$ $$\mathbf{f}=(f_1,\dots,f_n)\quad\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$$

এই সিস্টেমে বেশ কয়েকটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এটি পরিচালনা করা বিশেষত কঠিন করে তোলে। আমি আরও কার্যকরভাবে সিস্টেমের সাথে কীভাবে মোকাবিলা করতে পারি সে সম্পর্কে আমি ধারণা খুঁজছি।

কেন সিস্টেমটি কঠিন?

• ফাংশনগুলি এইগুলির মতো (তবে অবশ্যই একাধিক মাত্রায়):

  

  তাদের মসৃণ পরিবর্তনের অঞ্চল দ্বারা পৃথক সমতল মালভূমি রয়েছে। 2D, আপনি এক জন্য ভালো কিছু কল্পনা করতে পারেন :$f_i$

  

  সাধারণত, প্রতিটি দুই মালভুমি একটি প্রায় মসৃণ পরিবর্তন দ্বারা পৃথক হয়েছে এন - 1 মাত্রিক hyperplane।$f_i$$n-1$

  $f_i$$n=1$

• ফাংশনগুলি গণনা করতে খুব ধীর হয়। আমি এমন একটি পদ্ধতির সন্ধান করছি যা যথাসম্ভব কয়েকটি পুনরাবৃত্তিতে মূলের যুক্তিসঙ্গত আনুমানিকতা পেতে পারে।

• ফাংশনগুলি মন্টি কার্লো পদ্ধতিতে গণনা করা হয়। এর অর্থ হ'ল প্রতিটি সময় যখন তারা গণনা করা হয় তখন আমি কিছুটা আলাদা এলোমেলো মান পাই। ডেরাইভেটিভগুলি অনুমান করা কঠিন। একবার আমরা মূলের নিকটবর্তী হয়ে গেলে, শব্দটি আধিপত্য শুরু করবে এবং যথাযথতা বাড়ানোর জন্য গড় ব্যবহার করা প্রয়োজন necessary আদর্শভাবে পদ্ধতিটিকে সমমানের স্টোকাস্টিক আনুমানিক সংস্করণে (যেমন, নিউটন → রবিনস-মনরো) সাধারণকরণ করা সম্ভব ।

• $n$$n=2$$f_1(x_1,x_2) = 0$$f_2(x_1,x_2)=0$

আমি সিস্টেম সম্পর্কে আর কি জানি?

• অবিকল একটি মূল রয়েছে (তাত্ত্বিক ফলাফল থেকে)।

• $f_i$$i$

• $f_i$$x_i$$f_i(\dots, x_i, \dots)$$x_i$$-\infty$$\infty$$x_{j\ne i}$

Comments

আপনি কি সমস্ত ভেরিয়েবলের নিম্ন এবং উচ্চতর সীমাগুলি জানেন, যার মধ্যে সমাধানটি অবশ্যই থাকা উচিত? এই সীমানা আরও কঠোর, আরও ভাল। আপনি কি একটি নির্জনবাদী উদাহরণ দিতে পারেন, যতটা উচ্চ মাত্রায় আপনি চান, যা আপনার প্লেটাস এবং অসুবিধার চিত্রিত করে, তবে মন্টি কার্লো সিমুলেশন প্রয়োজন হয় না এবং ফাংশনগুলিতে এলোমেলো ত্রুটি নেই (ডেরিভেটিভগুলি গণনা করা যেতে পারে যদি বোনাস পয়েন্ট)? এই জাতীয় সংজ্ঞাবিরোধী উদাহরণটির উদ্দেশ্য হ'ল সমস্যার অসুবিধা বোঝা, মন্টে কার্লো মূল্যায়ন আপনার আসল সমস্যার চূড়ান্ত সমাধানে ব্যবহৃত হবে না তা বলাই নয়।

— মার্ক এল স্টোন

$f$

আমি এটি দেখার অপেক্ষায়

— মার্ক এল স্টোন

Answer 1

যেহেতু একটি একক মূল রয়েছে এবং কোনও বাধা নেই, তাই আপনার ভাগ্য এটিকে একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যা হিসাবে চিহ্নিত করতে পারে: আপনার মূল ফাংশনের স্কোয়ারগুলির যোগফল (প্রতিটি মাত্রা সহ) হ্রাস করুন।

ক্লাসিকাল অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতিগুলি সম্ভবত ব্যর্থ হবে, তবে জেনেটিক অ্যালগরিদম বা সিএমই-ইএস (কোভেরিয়েন্ট ইত্যাদি ম্যাট্রিক্স অভিযোজন - বিবর্তনীয় কৌশল) এর মতো হিউরিস্টিক পদ্ধতিগুলি কার্যকর হতে পারে।

Comments

এটি অবশ্যই যেতে পন্থা। আমি বিশেষত এসপিএসএ অ্যালগরিদমটি লক্ষ্য করব যা আপনার উদ্দেশ্যে বিশেষত বিকাশ করা হয়েছিল এবং বেশ শক্তিশালী।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

ওপি উল্লেখ করেছে যে ফাংশনটি মূল্যায়নের জন্য অত্যন্ত ব্যয়বহুল (কোনও ফাংশন মূল্যায়নের জন্য মন্টি কার্লো সিমুলেশন প্রয়োগ করা)। জেনেটিক অ্যালগরিদম এবং অন্যান্য বিবর্তনীয় অ্যালগরিদমের পক্ষে কি এটি খুব বড় সমস্যা হয়ে ওঠে না? এগুলি "তুচ্ছ সমান্তরাল" (এবং সাধারণত এমসিরও খুব) এত বড় সমান্তরাল কম্পিউটিং সম্ভব হতে পারে তবে তারা কি এখানে যাওয়ার সর্বোত্তম উপায়?

— GertVdE

@ ওল্ফগ্যাংবাংগার্থ আপনাকে ধন্যবাদ, কারণ আপনি বলেছেন যে এটি সঠিক সমাধানের মতো বলে মনে হচ্ছে। আমি এসপিএসএর দিকে নজর দেব।

— Szabolcs

ব্যয়বহুল ফাংশন মূল্যায়নের বিষয়ে: এটি সত্য যে জেনেটিক অ্যালগরিদম এবং সম্পর্কিত হিউরিস্টিক পদ্ধতিতে প্রচলিত পদ্ধতির চেয়ে বেশি সংখ্যক ফাংশন মূল্যায়ন প্রয়োজন require সুবিধাটি হ'ল হিউরিস্টিক পদ্ধতিগুলি প্রায়শই সমস্যাগুলি সমাধান করতে পারে যে 1) অন্যথায় কোনও সমস্যা-নির্দিষ্ট পদ্ধতি প্রয়োজন হবে বা 2) সংখ্যাগত সমস্যার কারণে ব্যর্থ হবে would এই উদাহরণস্বরূপ, সম্ভবত যে উদ্দেশ্যগত কার্যের স্টোকাস্টিক প্রকৃতি এবং কিছু মাত্রা সহ ছোট গ্রেডিয়েন্টগুলির কারণে traditionalতিহ্যগত পদ্ধতিগুলির সমস্যা হবে trouble এই সমস্যাটির জন্য এসপিএসএ দুর্দান্ত প্রার্থী পদ্ধতির মতো দেখাচ্ছে।

— ম্যাটকেলি