বিচ্ছিন্ন গ্যালার্কিন স্কিমগুলিতে সিএফএল শর্ত

Question

আমি প্রকারের সংরক্ষণ আইনগুলির লিনিয়ার সিস্টেমগুলির সমাধানের জন্য একটি এডিআর-বিচ্ছিন্ন গ্যালারকিন প্রকল্প বাস্তবায়ন করেছি এবং দেখেছি যে সিএফএল অবস্থা অত্যন্ত সীমাবদ্ধ। তথ্যসূত্রের, একটি উচ্চতর সময় ধাপের জন্য আবদ্ধ , কোথায় পাওয়া যাবে জ সেল আকার, ঘ সংখ্যা মাত্রাগুলি এবং এন হ'ল বহুবর্ষের সর্বাধিক ডিগ্রি।$\partial_t U + A \partial_x U + B \partial_y U=0$$\Delta t \leq \frac{h}{d(2N+1)\lambda_{max}}$$h$$d$$N$

এই সমস্যাটি রোধ করার কোনও উপায় আছে কি? আমি WENO-ADER Finite ভলিউম স্কিমগুলির সাথে কাজ করছিলাম এবং সিএফএল নিষেধাজ্ঞাগুলি অনেক বেশি শিথিল হয়েছিল। উদাহরণস্বরূপ, 5-তম অর্ডার স্কিমের জন্য, ডিজি ব্যবহার করার সময় 0.04 এর চেয়ে কম সিএফএল চাপিয়ে দিতে হবে যখন সিএফএল = 0.4 এখনও একটি WENO-ADER FV স্কিমে ব্যবহার করতে পারে।

উদাহরণস্বরূপ, গণনীয় বায়ুসংস্থান (লিনিয়ারাইজড ইউলার সমীকরণ) বা অনুরূপ অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে (গ্যাসের গতিশীলতা, অগভীর জল, চৌম্বকীয় জৈব পদার্থবিজ্ঞান) ডিজি স্কিমগুলি কেন ব্যবহার করা হচ্ছে? অনেক কম সময় পদক্ষেপ সত্ত্বেও কি প্রকল্পের সামগ্রিক গণনা ব্যয় ADER-FV এর তুলনায় সমান?

এর জন্য চিন্তাভাবনা এবং পরামর্শগুলি স্বাগত।

Answer 1

ডিজি স্কিমগুলির সীমাবদ্ধ সিএফএল সাধারণত উচ্চ আদেশের নির্ভুলতা এবং একটি কমপ্যাক্ট স্টেনসিলের মিশ্রণ থেকে আসে ( উদাহরণস্বরূপ এই রেফারেন্সটি দেখুন )। সিএফএল সমাধানের আদর্শের ভিত্তিতে পরিবর্তনশীল ফর্মকে আবদ্ধ করার উপর নির্ভর করে, যা বহিরাগতের বহিরাগত এবং চিহ্নগুলির উপর নির্ভর করে। এই পরিমাণে (বার্নস্টেন বা মার্কভ ভাইদের অসাম্য এবং বিযুক্ত ট্রেস অসাম্য ব্যবহার করে) প্রত্যেকের জন্য সীমা ধ্রুবক যার উপর বিপরীত নির্ভর দিতে এবং quadratically অর্ডার একটি সামগ্রিক সিএফএল ফলে, ।$L^2$$h$$N$$O(h/N^2)$

এফওয়াইআই - আপনি যে সিএফএল এর আগে উল্লেখ করেছেন তা দেখেছি, তবে এটি প্রমাণিত কোথায় তা আমি মনে করতে পারি না। আমি জানতে চাই তারা কীভাবে তাদের সীমানায় এর উপর চতুর্ভুজ নির্ভরতা এড়ায় ।$N$

সীমাবদ্ধ পার্থক্য এবং WENO স্কিমগুলি (পাশাপাশি পর্যায়ক্রমিক মেসগুলিতে বি-স্প্লাইন ভিত্তিক সীমাবদ্ধ উপাদান পদ্ধতিগুলি) সিএফএল শর্তগুলি হ্রাস করে কারণ এনালগামী সীমানায় স্থিরকারীগুলি ধীরে ধীরে বৃদ্ধি পায় । এটি ঘুরে দাঁড়ায় কারণ স্টেনসিলের আকারটি অর্ডার দিয়ে বৃদ্ধি পেতে থাকে , যা এর কয়েকটি সমস্যা হ্রাস করে।$N$$N$

ডিজি পদ্ধতিগুলি আরও ব্যয়বহুল, তবে এগুলি অনঠনযুক্ত মেসগুলি সহজেই মোকাবেলা করতে পারে এবং দক্ষতার সাথে প্রয়োগ করা যেতে পারে। কাঠামোগত গ্রিডগুলির জন্য WENO (বা অনুরূপ পুনর্গঠন) এর হাই অর্ডার সংস্করণ রয়েছে, যদিও এগুলি অতিরিক্ত গাণিতিক বা বাস্তবায়নের জটিলতার পরিচয় দিতে পারে।

Comments

জেসির আপনার বিস্তারিত উত্তরের জন্য আপনাকে অনেক ধন্যবাদ, এটি আমাকে এই বিষয়ে একটি বিস্তৃত দর্শন সরবরাহ করেছে। ডিজি-এডিআইআর-এর সাথে আমার সংখ্যাসূচক পরীক্ষায় আমি লক্ষ্য করেছি যে কাঠামোগত চতুর্ভুজীয় মেসগুলি ব্যবহার করার সময় (স্বেচ্ছাসেবী চতুর্ভুজ আকারের সাথে উদাহরণস্বরূপ স্কোয়ার, ট্র্যাপিজয়েড বা সমান্তরালিকা ...) ব্যবহার করার সময় সংখ্যাসূচক সমাধানটি অ-দোলক এবং সঠিক সমাধানের সাথে সংহত হয় যাইহোক, কাঠামোগত কাঠামোগত স্থানান্তরিত করার সময়, দোলগুলি উপস্থিত হয়, এমনকি কোয়াড স্ট্রাকচার্ড মেসের জন্যও, এলোমেলোভাবে কাঠামোগত জালটির নোডগুলি একটি ছোট দূরত্বে স্থানান্তরিত করে তৈরি করা হয়েছিল। এটি কি প্রত্যাশিত আচরণ?

— আদর

@ অ্যাড্রিয়ান - আপনি একবার অভিন্ন জাল থেকে দূরে সরে গেলে দোলনা প্রদর্শিত হবে এটি বেশ সাধারণ। আপনি সাধারণ জাল ব্যবহার করার পরে, জাল আকারের দ্বারা আপনি ঠিক কী বোঝাতে চেয়েছিলেন তা মোটেও পরিষ্কার নয় । এটি ঘরের ব্যাস, সংক্ষিপ্ততম প্রান্তের দৈর্ঘ্য, অঞ্চলটির বর্গমূল (2 ডি) বা "জাল আকার" সংজ্ঞায়নের অন্য কোনও উপায় হতে পারে। $h$

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

ওল্ফগ্যাং স্পষ্টির জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। এখনও অবধি, আমি সংক্ষিপ্ততম প্রান্তের দৈর্ঘ্য হিসাবে সেট করেছিলাম । তবে যাইহোক, এমনকি সূত্রের দ্বারা প্রদত্ত সিএফএল থেকে নির্ধারিত সিএফএল থেকে সিএফএল এক নম্বর ক্রমের পরিমাণ বা তার বেশি হ্রাস করা, এটি এখনও দোদুল্য। $h$

— অ্যাড্রে