ওরিয়েন্টেড পয়েন্ট সেটগুলিতে অন্তর্ভুক্ত সারফেসগুলি ফিট করা ting

আমার পয়েন্টের সেট এবং আনুষঙ্গিক নরমালগুলির (বা সমতুল্যভাবে, স্পর্শকাতর) কোয়াড্রিক ফিট সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন রয়েছে। পয়েন্ট ডেটাতে কোয়াড্রিক পৃষ্ঠগুলির ফিটিংটি ভালভাবে অন্বেষণ করা হয়েছে। কিছু কাজ নিম্নরূপ:

কোয়াড্রিক সারফেসের টাইপ-সীমাবদ্ধ সরাসরি ফিটিং , জেমস অ্যান্ড্রুজ, কার্লো এইচ সিকুইন কম্পিউটার-এডেড ডিজাইন এবং অ্যাপ্লিকেশনস, 10 (ক), 2013, বিবিবি-সিসি
ডেটাতে কোয়াড্রিক পৃষ্ঠগুলির বীজগণিতীয় ফিটিং , আই। আল-সুবাইহি এবং জিএ ওয়াটসন , ডনডি বিশ্ববিদ্যালয়

প্রজেক্টিভ কনট্যুর্সের সাথে মানানসই কিছু কাজের দ্বারাও আচ্ছাদিত করা হয়, যেমন এটি ।

এই সমস্ত কাজ থেকে আমার মনে হয় কোয়াড্রিক ফিটিংয়ের জন্য তৌবিনের পদ্ধতিটি বেশ জনপ্রিয়:

জি। তৌবিন, "প্লানার কার্ভস, সারফেস এবং ননপ্ল্যানার স্পেস কার্ভগুলির অনুমান যা ইমপ্লিট টু এজ এবং রেঞ্জ ইমেজ সেগমেন্টেশন সহ অ্যাপ্লিকেশন টু এজ " র সাথে সংজ্ঞাযুক্ত ", আইইইই ট্রান্স। পামি, খণ্ড 13, 1991, পিপি 1115-1138।

সংক্ষেপে সংক্ষেপে বলি। একটি কোয়াড্রিক $Q$ বীজগণিত আকারে লেখা যেতে পারে:

f (c, x) = A x^{2} + B y^{2} + C z^{2} + 2 D x y + 2 E x z + 2 F y z + 2 G x + 2 H y + 2 I z + J

$f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = A x^2 + By^2 + Cz^2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Iz + J$ যেখানে

c

$\mathbf{c}$ হল সহগ ভেক্টর এবং

x

$\mathbf{x}$ 3 ডি স্থানাঙ্ক। যে কোনো স্থানে

x

$\mathbf{x}$ quadric উপর মিথ্যা

Q

$Q$ যদি

x^{T} Q x = 0

$\mathbf{x}^TQ\mathbf{x}=0$ , যেখানে:

Q = [\begin{matrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \end{matrix}]

$Q = \begin{bmatrix} A & D & E & G \\ D & B & F & H \\ E & F & C & I \\ G & H & I & J \\ \end{bmatrix}$

$\mathbf{c}$

\sum_{i = 1}^{n} f (c, x^{i})^{2} = c^{T} M c

$\sum\limits_{i=1}^{n} f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i)^2 = \mathbf{c}^T M \mathbf{c}$

M = \sum_{i = 1}^{n} l (x^{i}) l (x^{i})^{T}

$M = \sum\limits_{i=1}^{n} l(\mathbf{x}^i)l(\mathbf{x}^i)^T$

{x^{i}}

$\{\mathbf{x}^i\}$

l = [x^{2}, y^{2}, z^{2}, x y, x z, y z, x, y, z, 1]^{T}

$l = [x^2, y^2, z^2, xy, xz, yz, x,y,z, 1]^T$

$\mathbf{c}$

‖ \nabla_{x} f (c, x^{i}) ‖^{2} = 1

$\| \nabla_x f(\mathbf{c},\mathbf{x}^i) \|^2 = 1$

এটি নিম্নলিখিত হিসাবে সমাধান করা যেতে পারে: আসুন: যেখানে সাবস্ক্রিপ্টগুলি ডেরিভেটিভগুলি বোঝায়। সমাধানটি সাধারণীকৃত ইগেন পচন, । সবচেয়ে উপযুক্ত ফিট প্যারামিটার ভেক্টর সবচেয়ে ছোট ইগেনভ্যালুর সাথে সম্পর্কিত ইগেনভেেক্টরের সমান।

N = \sum_{i = 1}^{n} l_{x} (x^{i}) l_{x} (x^{i})^{T} + l_{y} (x^{i}) l_{y} (x^{i})^{T} + l_{z} (x^{i}) l_{z} (x^{i})^{T}

$N = \sum\limits_{i=1}^n l_x(\mathbf{x}^i)l_x(\mathbf{x}^i)^T+ l_y(\mathbf{x}^i)l_y(\mathbf{x}^i)^T + l_z(\mathbf{x}^i)l_z(\mathbf{x}^i)^T$

(M - λ N) c = 0

$(M −\lambda N) \mathbf{c} = 0$

প্রধান প্রশ্ন অনেক অ্যাপ্লিকেশনগুলিতে, পয়েন্ট মেঘের স্বাভাবিকতা উপলব্ধ (বা গণনা করা)। কোয়াড্রিক এর নরমালগুলিও অন্তর্নিহিত পৃষ্ঠের পার্থক্য ও স্বাভাবিককরণের মাধ্যমে গণনা করা যেতে পারে: $\mathbf{N}(x)$

N (x) = \frac{\nabla f (c, x)}{‖ \nabla f (c, x) ‖}

$\mathbf{N}(x) = \frac{\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})}{\|\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x})\|}$ যেখানে

\nabla f (c, x) = 2 [\begin{matrix} A x + D y + F z + G \\ B y + D x + E z + H \\ C z + E y + F x + I \end{matrix}]

$\nabla f(\mathbf{c},\mathbf{x}) = 2 \begin{bmatrix} Ax + Dy + Fz + G \\ By + Dx + Ez + H \\ Cz + Ey + Fx + I \\ \end{bmatrix}$

তবে, তৌবিনের পদ্ধতিটি কেবলমাত্র জয়েন্টের জ্যামিতিটি ব্যবহার করে, স্পর্শকাতর স্থানটি নয়। এবং আমি অনেকগুলি পদ্ধতি সম্পর্কে অবগত নই, যা চতুর্ভুজগুলির জন্য উপযুক্ত যেগুলি কোয়াড্রিকের স্পর্শকগুলি অন্তর্নিহিত পয়েন্ট মেঘের স্পর্শগুলির সাথে মেলে। আমি উপরের পদ্ধতির সম্ভাব্য এক্সটেনশানগুলি অনুসন্ধান করছি, বা এই প্রথম অর্ডার ডেরাইভেটিভগুলি কভার করার জন্য অন্য কোনও।

আমি যেটি অর্জন করতে চাই তা সম্ভবত নিম্ন মাত্রিক জায়গাগুলিতে আরও আদিম পৃষ্ঠ (বক্ররেখা) প্রকারের সাথে সম্বোধন করা হবে। উদাহরণস্বরূপ, চিত্র প্রান্তগুলিতে ফিটিং লাইনগুলি, গ্রেডিয়েন্ট তথ্য বিবেচনা করে এখানে আচ্ছাদিত করা হয়েছে । 3 ডি মেঘের কাছে ফিটিং প্লেনগুলি (একটি সাধারণ ধরণের চতুষ্কোণ) খুব সাধারণ ( লিঙ্ক 1 ) বা ফিটিং গোলক বা সিলিন্ডারগুলি ওরিয়েন্টেড পয়েন্ট সেটগুলিতে ( লিঙ্ক 2 ) ফিট করতে পারে । সুতরাং আমি যা ভাবছি তা হ'ল অনুরূপ তবে ফিটেড আদিমটি একটি কোয়াড্রিক।

প্রস্তাবিত পদ্ধতির বিশ্লেষণকেও আমি স্বাগত জানাব যেমন:

প্রয়োজনীয় ওরিয়েন্টেড পয়েন্টগুলির সর্বনিম্ন সংখ্যা কত?
অবক্ষয়জনিত মামলাগুলি কী কী?
দৃ rob়তা সম্পর্কে কিছু বলা যেতে পারে?

আপডেট : আমি অনুসরণ করতে একটি দিক উপস্থাপন করতে চাই। সাধারণত, আমি যা অর্জন করতে চাই:

‖ \nabla f - n ‖ = 0

$\| \nabla f - \mathbf{n} \| = 0$ সময়ে । কোনও অতিরিক্ত বাধা নিয়ে আসতে এবং ল্যাংরেঞ্জ মাল্টিপ্লায়ার ব্যবহারকে হ্রাস করার জন্য তাউবিনের পদ্ধতিতে এটি ফিউজ করা সম্ভব হতে পারে?

x

$\mathbf{x}$

— টোলগা বার্ডাল
সূত্র

কিউ এর বেশিরভাগ উপাদান কিউ-তে ভুলভাবে অবস্থান করে না?

— বিনোদনমূলক

আপনি ঠিক বলেছেন, এবং আমি এখন এটি স্থির করেছি।

— টোলগা বার্ডাল

উত্তর:

উপরের প্রশ্নের সন্তোষজনক উত্তর না পেয়ে আমি অবাক হয়েছি এবং আমার তদন্ত আমাকে দেখিয়েছে যে এটি সত্যই একটি অনাবিষ্কৃত অঞ্চল। সুতরাং, আমি এই সমস্যার সমাধান বিকাশে কিছুটা চেষ্টা করেছি এবং নিম্নলিখিত পান্ডুলিপি প্রকাশ করেছি:

টি। বার্ডাল, বি। বুসম, এন নবাব, এস আইলিক এবং পি স্টর্ম m "পয়েন্ট ক্লাউডসে কোয়াড্রিক্সের টাইপ-অগ্নোস্টিক সনাক্তকরণের জন্য একটি মিনিমালিস্ট অ্যাপ্রোচ"। কম্পিউটার ভিশন এবং প্যাটার্ন স্বীকৃতি সম্পর্কিত আইইইই সম্মেলনের কার্যক্রম। 2018. http://openaccess.thecvf.com/content_cvpr_2018/html/Birdal_A_ Minimist_Approach_CVPR_2018_paper.html

প্যাটার্ন অ্যানালাইসিস এবং মেশিন ইন্টেলিজেন্স সম্পর্কিত আইইইই লেনদেনগুলিতে টি। বার্ডাল, বি বুসম, এন। নবাব, এস আইলিক এবং পি স্টর্ম, "পয়েন্ট ক্লাউডসে জেনেরিক আদিম সনাক্তকরণ" https://arxiv.org/abs/1901.01255

আমি সংক্ষেপে এখানে মূল ধারণাটি স্পর্শ করব:

এই পদ্ধতির গ্রেডিয়েন্ট-ওয়ান ফিটিং ( similar ) এর মতো। আমরা ad এ পয়েন্ট ক্লাউডের with এর স্বাভাবিকের সাথে কোয়াড্রিক গ্রেডিয়েন্ট ভেক্টরটিকে প্রান্তিককরণ করি । তবে, ab নাবলা টির বিপরীতে , আমরা সমাধানটি নিয়মিত করার চেয়ে র‌্যাঙ্ক বাড়াতে লিনিয়ার সীমাবদ্ধতা ব্যবহার করার বিকল্প বেছে নিয়েছি। এটি ভেক্টর-ভেক্টর সারিবদ্ধকরণ যেহেতু ফর্মের একটি অ-রৈখিক বাধা নিয়ে আসে বলে মনে হয় এটি আপাতদৃষ্টিতে অপ্রয়োজনীয়: $\nabla 1$ $\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)$ $\mathbf{n}_i \in \mathbb{R}^3$ $\nabla 1$

\begin{aligned} \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} - n_{i} = 0 or \frac{\nabla Q (x_{i})}{‖ \nabla Q (x_{i}) ‖} \cdot n_{i} = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} - \mathbf{n}_i\, = \,0\,\quad\text{or}\,\quad \frac{\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)}{\|\nabla \mathbf{Q}(\mathbf{x}_i)\|} \,\cdot\, \mathbf{n}_i\, = \,1. \end{align}$ অ-লিনিয়ারিটি স্বাভাবিককরণের কারণে ঘটে কারণ এর প্রস্থতা এবং এইভাবে আগে থেকেই সমজাতীয় স্কেলটি জানা শক্ত is আমরা মধ্যে প্রতি সাধারণ স্কেল প্রবর্তন করে এই সমস্যাটি সমাধান করি এবং লিখি: যেখানে সমস্ত পয়েন্টের জন্য এটি স্ট্যাকিং এবং নরমাল ফর্মের একটি সিস্টেমের দিকে নিয়ে যায় :

α_{i}

$\alpha_i$

\begin{aligned} \nabla Q (x_{i}) = \nabla v_{i}^{T} q = α_{i} n_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \nabla \mathbf{Q}( \mathbf{x}_i) = \nabla \mathbf{v}^T_i \mathbf{q} = \alpha_i \mathbf{n}_i \end{align}$

v = {[\begin{matrix} x^{2} & y^{2} & z^{2} & 2 x y & 2 x z & 2 y z & 2 x & 2 y & 2 z & 1 \end{matrix}]}^{T}

$\mathbf{v} = \begin{bmatrix} x^2 & y^2 & z^2 & 2xy & 2xz & 2yz & 2x & 2y & 2z & 1 \end{bmatrix}^T$

N

$N$

x_{i}

$\mathbf{x}_i$

n_{i}

$\mathbf{n}_i$

A^{'} q = 0

$\mathbf{A}^{\prime}\mathbf{q}=\mathbf{0}$

[\begin{matrix} v_{1}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ v_{2}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ v_{n}^{T} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \nabla v_{1}^{T} & - n_{1} & 0_{3} & \dots & 0_{3} \\ \nabla v_{2}^{T} & 0_{3} & - n_{2} & \dots & 0_{3} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ \nabla v_{n}^{T} & 0_{3} & 0_{3} & \dots & - n_{n} \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ ⋮ \\ I \\ J \\ α_{1} \\ α_{2} \\ ⋮ \\ α_{n} \end{matrix}] = 0

$\begin{equation} \begin{bmatrix} \mathbf{v}^T_1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \mathbf{v}^T_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{v}^T_n & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ {\nabla \mathbf{v}_1^T} & -\mathbf{n}_1 & \mathbf{0}_3 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ {\nabla \mathbf{v}_2^T} & \mathbf{0}_3 & -\mathbf{n}_2 & \cdots & \mathbf{0}_3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {\nabla \mathbf{v}_n^T} & \mathbf{0}_3 & \mathbf{0}_3 & \cdots & -\mathbf{n}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ \vdots \\ I \\ J \\ \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{bmatrix} = \mathbf{0} \end{equation}$ - \ mathbf {n} _n \ end {bmatrix \ \ start {bmatrix} A \\ B \\ \ vdots \\ I \\ J \\ \ alpha_1 \\ \ alpha_2 \\ d vdots \\ pha alpha_n \ end { bmatrix} = \ mathbf {0} \ end {समीकरण} যেখানে , একটি

\nabla v_{i}^{T} = \nabla v (x_{i})^{T} \in R^{3 \times 10}

${\nabla \mathbf{v}_i^T}= {\nabla \mathbf{v}(\mathbf{x}_i)^T \in \mathbb{R}^{3\times 10}}$

0_{3}

$\mathbf{0}_3$

3 \times 1

$3\times 1$ শূন্য কলাম ভেক্টর, হয় এবং অজানা সজাতি দাঁড়িপাল্লা আছে।

A^{'}

$\mathbf{A}^\prime$

4 N \times (N + 10)

$4N\times(N+10)$

α = {α_{i}}

$\boldsymbol{\alpha}=\{\alpha_i\}$

Form of এর নাল স্পেসে থাকা এই সূত্রটির সমাধানটি গ্রহণযোগ্য ফলাফল আনার ক্ষেত্রে, সিস্টেমটি এটি কী করতে পারে তা সম্পর্কে যথেষ্ট নিয়ন্ত্রণহীন (স্কেল কারণগুলি খুব মুক্ত) free এটি কার্যকর করার জন্য খুব জটিল নয় এমন একটি উপযুক্ত নিয়ামক খুঁজে পাওয়া আরও ভাল। অনুশীলনে, আবার গ্রেডিয়েন্ট-ওয়ান , আমরা ইউনিট-আদর্শ বহুবর্ষীয় গ্রেডিয়েন্টগুলিকে পছন্দ করতে পারি এবং এভাবে লিখতে পারি বা সমানভাবে , একটি সাধারণ স্কেল ফ্যাক্টর। এই নরম সীমাবদ্ধতা $\mathbf{A}^{\prime}$ $\alpha_i=1$ $\alpha_i \gets \bar{\alpha}$ বহিরাগতের শূন্য সেটটি ডেটার স্থানীয় ধারাবাহিকতার প্রতি শ্রদ্ধা জানাতে চেষ্টা করবে। এই জাতীয় নিয়ন্ত্রণ আমাদের সংবেদনশীল সমজাতীয় সিস্টেম সমাধান থেকে বাঁচায় এবং আমাদের আরও কমপ্যাক্ট আকারে re এ সিস্টেমটি আবার লিখতে দেয় : $\mathbf{A}\mathbf{q}=\mathbf{n}$

[\begin{matrix} x_{1}^{2} & y_{1}^{2} & z_{1}^{2} & 2 x_{1} y_{1} & 2 x_{1} z_{1} & 2 y_{1} z_{1} & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 1 \\ x_{2}^{2} & y_{2}^{2} & z_{2}^{2} & 2 x_{2} y_{2} & 2 x_{2} z_{2} & 2 y_{2} z_{2} & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 1 \\ ⋮ \\ 2 x_{1} & 0 & 0 & 2 y_{1} & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{1} & 0 & 2 x_{1} & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{1} & 0 & 2 x_{1} & 2 y_{1} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 x_{2} & 0 & 0 & 2 y_{2} & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 y_{2} & 0 & 2 x_{2} & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 z_{2} & 0 & 2 x_{2} & 2 y_{2} & 0 & 0 & 2 & 0 \\ ⋮ \end{matrix}] [\begin{matrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ n_{x}^{1} \\ n_{y}^{1} \\ n_{z}^{1} \\ n_{x}^{2} \\ n_{y}^{2} \\ n_{z}^{2} \\ \dots \end{matrix}]

$\small \begin{bmatrix} x_1^2 & y_1^2 & z_1^2 & 2x_1y_1 & 2x_1z_1 & 2y_1z_1 & 2x_1 & 2y_1 & 2z_1 & 1\\ x_2^2 & y_2^2 & z_2^2 & 2x_2y_2 & 2x_2z_2 & 2y_2z_2 & 2x_2 & 2y_2 & 2z_2 & 1\\ &&&& \vdots &&&&&\\ 2x_1 & 0 & 0 & 2y_1 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_1 & 0 & 2x_1 & 0 & 2z_1 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_1 & 0 & 2x_1 & 2y_1 & 0 & 0 & 2 & 0\\ 2x_2 & 0 & 0 & 2y_2 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2y_2 & 0 & 2x_2 & 0 & 2z_2 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2z_2 & 0 & 2x_2 & 2y_2 & 0 & 0 & 2 & 0\\ &&&& \vdots &&&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A \\ B \\ C \\ D \\ E \\ F \\ G \\ H \\ I \\ J \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \dots \\ {n}^1_x \\ {n}^1_y \\ {n}^1_z \\ {n}^2_x \\ {n}^2_y \\ {n}^2_z \\ \dots \end{bmatrix}$

সর্বোপরি, সমীকরণের এই সিস্টেমটি সমাধান করা একই সাথে কোয়ার্ড্রিককে বিন্দু মেঘের জন্য ঘটনাকে নির্দেশ করবে এবং এর গ্রেডিয়েন্টগুলি স্বাভাবিকের দিকে প্রান্তিককরণের সময় করবে। পয়েন্ট এবং স্বাভাবিকের অবদানগুলি আলাদাভাবে বিবেচনা করাও সম্ভব। কিছু ক্ষেত্রে, কোনও নির্দিষ্ট-নির্দিষ্ট ফিট পেতে, পছন্দসই আদিম অনুসারে of এর একটি ছোটখাটো নতুন নকশা । এই সমস্ত বিবরণের পাশাপাশি কিছু তাত্ত্বিক বিশ্লেষণ এবং ছদ্ম-কোডের জন্য, আমি আপনাকে পূর্বোক্ত প্রকাশনাগুলিতে উল্লেখ করি। $\mathbf{A}$

— টোলগা বার্ডাল
সূত্র

এটা অসাধারণ! পয়েন্ট এবং নরমালগুলির তুলনামূলক অবদানের জন্য ওজন কীভাবে একজন এটিকে পরিবর্তন করতে পারে?

— যাদুঘর

পছন্দসই ওজন সহ প্রথম সারিগুলিকে কেবল পয়েন্ট-সমীকরণগুলি গুন করুন। : বৈকল্পিকভাবে, সারি লম্ব সংশ্লিষ্ট স্কেল করা হয়, এক এছাড়াও সমীকরণের ডান দিকে স্কেল করতে হবে ।

n

$\mathbf{n}$

— টোলগা বার্ডাল

ধন্যবাদ। শেষ সমীকরণে ট্রান্সপোজ চিহ্নটি কিউ এবং এন থেকে সরানো উচিত নয়?

— যাদুঘর

আবার ধন্যবাদ. সেগুলি সরানো হয়েছে।

— টোলগা বার্ডাল

আমি এমন একটি উদাহরণ জানি যা নমনীয়তাগুলি ফিটিং পদ্ধতিতে অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। এটি যদিও সরাসরি কোয়াড্রিকের জন্য উপযুক্ত নয়। স্থানীয়ভাবে প্যারামেট্রাইজযুক্ত প্যাচটি পয়েন্ট এবং নরমালগুলির সাথে লাগানো থাকে। নরমালগুলি ব্যবহার করে উচ্চতর অর্ডার পলিনোমিয়ালগুলি ব্যবহারের অনুমতি দেয়, ফিটিং সমস্যাটিতে আরও সমীকরণ পাওয়া যায়।

মূল নির্দেশিকা ভেক্টরগুলিকে আনুমানিক করার জন্য একটি উপন্যাস কিউবিক-অর্ডার অ্যালগরিদম

— অভিলাষ রেড্ডি এম
সূত্র

এই কাগজটি দেখুন

র‌্যাডিয়াল বেসিস ফাংশন সহ নিখুঁত পৃষ্ঠগুলির হার্মাইট সংক্ষেপণ

এবং এটি এক্সটেনশন

হার্মাইটের র‌্যাডিয়াল বেস ফাংশনগুলির প্রভাব

— lhf
সূত্র