ম্যাট্রিক্স-মূল্যবান অবিরত ভগ্নাংশের জন্য কোনও কার্যকর অ্যালগরিদম আছে কি?

ধরুন আমার কাছে একটি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ পুনরাবৃত্তভাবে হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে

A[n] = inverse([1 - b[n]A[n+1]]) * a[n]

তারপরে এ [১] এর সমীকরণটি একটি অবিরত ভগ্নাংশের মতো দেখায়, যার জন্য কিছু উচ্চ দক্ষ পদ্ধতি রয়েছে যা ক্লান্তিকর পুনঃব্যবস্থা এড়ায় (কিছু উদাহরণের জন্য "সংখ্যার রেসিপি" দেখুন)।

তবে আমি আশ্চর্য হই যে, এমন কি অভিন্ন পদ্ধতি আছে যেগুলি সহগের বি [এন] এবং একটি [এন] কে ম্যাট্রিক করতে দেয়, খ [এন] এ [এন + 1] বর্গ ম্যাট্রিক্স যাতে ম্যাট্রিক্স হয়?

1 - b[n]A[n+1]

আসলে অবিচ্ছিন্ন হয়।

algorithms

— Lagerbaer
সূত্র

এই প্রশ্নটি আপনি গণিতে জিজ্ঞাসা করেছেন SEএসই কয়েক মাস আগে, না? কি

বর্গক্ষেত্র বা আয়তক্ষেত্রাকার?

A

$A$

— জেএম

আমি স্মরণ করি যে গণিতের মন্তব্যে কেউই সুপারিশ করেছিল বিটা অনলাইন হওয়ার পরে আমি এখানে এটি জিজ্ঞাসা করব :) আমার বিশেষ ক্ষেত্রে এটি আয়তক্ষেত্রাকার। পুনরাবৃত্তিমূলক সমীকরণগুলি সমীকরণের একটি শ্রেণিবিন্যাসের সমান, এবং পরিমাণগুলির সংখ্যা

সাথে বৃদ্ধি পায় । আমার ক্ষেত্রে, এ [এন] এর মাত্রাটি হ'ল এনএক্স (এন -1)

n

$n$

— লেগারবেয়ার

শুধু কৌতূহলী, আপনি এটি ব্যবহার করতে চান এমন অ্যাপ্লিকেশনটি কী?

— Hjulle

N

$N$

V_{N}

$V_N$

V_{N} = α_{N} V_{N - 1} + β_{N} V_{N + 1}

$V_N = \alpha_N V_{N-1} + \beta_N V_{N+1}$

V_{N} = 0

$V_N = 0$

n \geq N

$n \ge N$

A_{n}

$A_n$

V_{n} = A_{n} V_{n - 1}

$V_n = A_n V_{n-1}$

এটি আমার ক্ষেত্র নয়, তবে আমি কিছুক্ষণ আগে একটি সেমিনারে এসেছি যেখানে এই সমস্যা সম্পর্কিত কিছু উপস্থাপন করা হয়েছিল। [এখানে] [1] হ'ল একমাত্র ট্রেস আমি অনলাইনে খুঁজে পেয়েছি। আমি সত্যিই জানি না এটি সাহায্য করে কিনা। [1]: mh2009.ulb.ac.be/ResActiv.pdf

— ব্যবহারকারী 189035

উত্তর:

ম্যাট্রিকেসের ফাংশনগুলিতে নিম্নলিখিত দুটি পদ্ধতি দেওয়া হয়েছে : নিকোলাস হিহামের তত্ত্ব ও গণনা , পৃষ্ঠা ৮১ এ। এই সূত্রগুলি মূল্যায়ন করে

r (X) = b_{0} + \frac{a_{1} X}{b_{1} + \frac{a_{2} X}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X}{b_{2 m}}}}}

$r(X) = b_0 + \frac{a_1 X}{b_1+\frac{a_2 X}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X}{b_{2m}}}}}$

X

$X$

টপ-ডাউন পদ্ধতি:

$P_{−1}=I, Q_{−1}=0,P_0 =b_0 I,Q_0 =I$

জে = 1: 2 মি

$P_j =b_j P_{j−1}+a_jXP_{j−2}$

$Q_j =b_j Q_{j−1}+a_j X Q_{j−2}$

শেষ

$r_m =P_{2m} Q_{2m}^{-1}$

নীচে আপ পদ্ধতি:

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X$

j = 2 মি − 1: −1: 1 এর জন্য

$(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_jX$ $Y_j$

শেষ

$r_m=b_0I+Y_1$

প্রশ্ন আরও সাধারণ ফর্ম মূল্যায়নের জন্য জিজ্ঞাসা করে

b_{0} + \frac{a_{1} X_{1}}{b_{1} + \frac{a_{2} X_{2}}{b_{2} + \dots + \frac{a_{2 m - 1} X_{2 m - 1}}{b_{2 m - 1} + \frac{a_{2 m} X_{2 m}}{b_{2 m}}}}}

$b_0 + \frac{a_1 X_1}{b_1+\frac{a_2 X_2}{b_2+\cdots + \frac{a_{2m-1} X_{2m-1}}{b_{2m-1} + \frac{a_{2m}X_{2m}}{b_{2m}}}}}$

উপরের সূত্রগুলির একটি সাধারণ সাধারণীকরণ দ্বারা এটি মূল্যায়ন করা যেতে পারে; উদাহরণস্বরূপ নীচের অংশটি হয়ে যায়

$Y_{2m} = (a_{2m}/b_{2m})X_{2m}$

j = 2 মি − 1: −1: 1 এর জন্য

$(b_jI+Y_{j+1})Y_j =a_j X_j$ $Y_j$

শেষ

$r_m=b_0I+Y_1$

— ডেভিড কেচসন
সূত্র

এটি খুব আকর্ষণীয় দেখায়। আমি এটি আমার নির্দিষ্ট সমস্যার সাথে প্রয়োগ করতে পারি কিনা তা আমি দেখতে পাব তবে এটি প্রশ্নের উত্তর দেয় যেহেতু আমার খ [এন] * এ [এন + 1] একটি বর্গক্ষেত্র

— ল্যাজারবেয়ার

X

$X$

ঠিক আছে, আমি এটিকে সাধারণীকরণ করেছি

— ডেভিড কেচসন

আমি জানি যে এই উত্তরটি অনেক অনুমান করে তবে এটি কমপক্ষে আপনার অ্যালগরিদমকে সাধারণীকরণ করে:

$\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $V_N$ $\{A_n\}$ $\{B_n\}$ $U' V_N U = \Lambda_N$ $U' A_n U = \Omega_n$ $U' B_n U = \Delta_n$ $U$ $\Lambda_N$ $\{\Omega_n\}$ $\{\Delta_n\}$

একবার আমরা পচন দ্বারা, পচন বলার পরে,

V_{n} = (I - B_{n} V_{n + 1})^{- 1} A_{n} = (I - U Δ_{n} U^{'} U Λ_{n + 1} U^{'})^{- 1} U Ω_{n} U^{'},

$V_n = (I - B_n V_{n+1})^{-1} A_n = (I - U \Delta_n U' U\Lambda_{n+1} U')^{-1} U \Omega_n U',$

যা ফর্মে পুনরায় সাজানো যায়

V_{n} = U (I - Δ_{n} Λ_{n + 1})^{- 1} Ω_{n} U^{'} \equiv U Λ_{n} U^{'},

$V_n = U (I - \Delta_n \Lambda_{n+1})^{-1} \Omega_n U' \equiv U \Lambda_n U',$

$\Lambda_n$ $\{V_n\}$ $\Lambda_n$ $V_N$

$A_n \equiv \alpha_n I$ $B_n \equiv \beta_n I$ $V_N$

— জ্যাক পলসন
সূত্র