সংখ্যাসম্য সংহতকারীদের প্রসঙ্গে "সিম্প্লেটিক" এর অর্থ কী এবং সায়পির ওডিন্ট সেগুলি ব্যবহার করে?

Question

এই মন্তব্যে আমি লিখেছি:

... ডিফল্ট SciPy ইন্টিগ্রেটার, যা আমি ধরে নিচ্ছি যে কেবলমাত্র লক্ষণীয় পদ্ধতি ব্যবহার করে।

যার মধ্যে আমি সায়পাইসকে উল্লেখ করছি odeint, যা "নন-স্টিফ (অ্যাডামস) পদ্ধতি" বা "স্টিফ (বিডিএফ) পদ্ধতি" ব্যবহার করে। উত্স অনুসারে :

def odeint(func, y0, t, args=(), Dfun=None, col_deriv=0, full_output=0,
           ml=None, mu=None, rtol=None, atol=None, tcrit=None, h0=0.0,
           hmax=0.0, hmin=0.0, ixpr=0, mxstep=0, mxhnil=0, mxordn=12,
           mxords=5, printmessg=0):
    """
    Integrate a system of ordinary differential equations.

    Solve a system of ordinary differential equations using lsoda from the
    FORTRAN library odepack.

    Solves the initial value problem for stiff or non-stiff systems
    of first order ode-s::
        dy/dt = func(y, t0, ...)
    where y can be a vector.
    """

এখানে একটি উদাহরণ যেখানে আমি স্যাটেলাইটের কক্ষপথটি প্রায় তিন মাস ধরে পৃথিবীর চারদিকে প্রচার করি তা দেখানোর জন্য এটি প্রত্যাশার চেয়ে অগ্রাধিকার দেয়।

আমি বিশ্বাস করি যে অ-সিম্পিলটিক ইন্টিগ্রেটারগুলির অবাঞ্ছিত সম্পত্তি রয়েছে যা তারা শক্তি (বা অন্যান্য পরিমাণ) সংরক্ষণ করতে পছন্দ করবে না এবং উদাহরণস্বরূপ অরবিটাল মেকানিকগুলিতে এটি অনাকাঙ্ক্ষিত। তবে আমি ঠিক নিশ্চিত নই এটি হ'ল এটি কী একটি লক্ষণীয় ইন্টিগ্রেটারকে সহীকরণমূলক করে তোলে।

সোজা এবং (মোটামুটি) সহজবোধ্য বোঝা সহজ নয় তবে সম্পত্তিটি কী (যা একটি সিম্প্লেটিক ইন্টিগ্রেটারকে সিম্পিকটিক করে তোলে) তা কী ব্যাখ্যা করা সম্ভব? আমি ইন্টিগ্রেটার কীভাবে এটি পরীক্ষায় কার্য সম্পাদন করে তার চেয়ে অভ্যন্তরীণভাবে কীভাবে কাজ করে তার দৃষ্টিকোণ থেকে জিজ্ঞাসা করছি ।

এবং আমার সন্দেহটি কি সঠিক যা odeintকেবলমাত্র সংক্ষিপ্ত সংহতিকে ব্যবহার করে?

Comments

থাম্বের একটি শক্তিশালী নিয়ম হিসাবে, আপনার যদি কেবল অবস্থান এবং গতির সমীকরণগুলি পৃথক করার প্রয়োজন হয় তবেই কেবল একটি ব্ল্যাক বাক্স ইন্টিগ্রেটারটি সাম্প্রদায়িক হতে পারে।

— অরিগিম্বো

ধন্যবাদ এগুলি করা হয় এবং দেখে মনে হচ্ছে odeintএটি মোটামুটি পুরানো, প্রতিষ্ঠিত, এবং ভাল উত্সযুক্ত উত্স কোডগুলির জন্য একটি পাইথন র‌্যাপ্পোয়ার ( আমার সংযুক্ত উদাহরণটি দেখায় যে 6 ডি রাষ্ট্রীয় ভেক্টর তিনটি অবস্থান এবং তিনটি বেগ নিয়ে গঠিত।

— uhoh

ওডেপ্যাক এবং এলএসওডায় ওডিই ইডিগ্রেটারগুলি পারস্পরিক সংহতকারী নয় ।

— ব্রায়ান বোর্চার্স 14

দুটি অতি সাধারণ সমাধানকারীদের তুলনা করার জন্য এখানে একটি কাজের উদাহরণ রয়েছে: ইউরার এবং সিম্পলেকটিক ইউলার: idontgetoutmuch.wordpress.com/2013/08/06/… ।

— idontgetoutmuch

হায়ার, নুরসেট এবং ওয়ানার বইটি সাম্প্রদায়িক পদ্ধতির একটি ভাল ব্যাখ্যা দেয়। বিশেষ করে চিত্র 16.1 তাকান, এবং পরিসংখ্যান এখানে ।

— জেএম

Answer 1

আমাকে সংশোধন দিয়ে শুরু করা যাক। না, odeintকোনও সহজাত ইন্টিগ্রেটার নেই। না, সিম্পিকালিক ইন্টিগ্রেশন মানে শক্তি সংরক্ষণ নয়।

লক্ষণীয় অর্থ কী এবং কখন আপনার এটি ব্যবহার করা উচিত?

প্রথমত, সিম্পলটিক বলতে কী বোঝায়? Symplectic এর অর্থ সমাধানটি বহুগুণে থাকা বহুগুণে বিদ্যমান। একটি লক্ষণীয় বহুগুণ হল একটি সমাধান সেট যা 2-ফর্ম দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়। সিম্পিকটিক ম্যানিফোল্ডগুলির বিবরণ সম্ভবত গাণিতিক বাজে কথা বলে মনে হয়, সুতরাং এর সংক্ষিপ্তসারটির পরিবর্তে এই জাতীয় বহুগুণে দুটি সেট ভেরিয়েবলের মধ্যে সরাসরি সম্পর্ক রয়েছে। পদার্থবিদ্যার জন্য এটি গুরুত্বপূর্ণ হওয়ার কারণ হ্যামিলটোনীয় সমীকরণগুলিতে স্বাভাবিকভাবেই সমাধানগুলি পর্যায়স্থলে বহুগুণিত বহুগুণে থাকে এবং প্রাকৃতিক বিভাজন অবস্থান এবং গতির উপাদান হিসাবে রয়েছে being সত্য হ্যামিলটোনীয় সমাধানের জন্য, সেই পর্যায়টির স্থানটি ধ্রুব শক্তি।

$\mathcal{O}(\Delta t^n)$$n$

এর অর্থ যা বোঝায় তা হ'ল লক্ষণীয় সংহতকারীরা দীর্ঘমেয়াদী প্যাটার্নগুলিকে স্বাভাবিক সংশ্লেষকদের তুলনায় আরও ভালভাবে ধরে রাখেন কারণ এই বামনের অভাব এবং এটি প্রায় সময়কালের গ্যারান্টি। এই নোটবুকটি কেপলার সমস্যায় সেই বৈশিষ্ট্যগুলি ভালভাবে প্রদর্শন করে । প্রথম চিত্রটি আমি সমাধানের পর্যায়ক্রমিক প্রকৃতির সাথে কী সম্পর্কে কথা বলছি তা দেখায়।

কাহান এবং লি থেকে ডিফারেন্টিয়ালএকুয়েশনস.জিল থেকে 6th ষ্ঠ অর্ডার সিম্পিলিক ইন্টিগ্রেটার ব্যবহার করে এটি সমাধান করা হয়েছিল । আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে শক্তিটি ঠিক সংরক্ষণ করা হয়নি, তবে তার প্রকরণটি নির্ভর করে যে বিবিধ সমাধানটি বহুগুণ থেকে বহুগুণ দূরে রয়েছে। তবে যেহেতু সংখ্যাসূচক সমাধানটি নিজেই একটি সিম্পিকটিক বহুগুণে থাকে, তাই এটি প্রায় ঠিক পর্যায়ক্রমিক হতে থাকে (কিছু লিনিয়ার সংখ্যাসূচক প্রবাহ যা আপনি দেখতে পাচ্ছেন) এর সাথে দীর্ঘমেয়াদী সংহতকরণের জন্য খুব সুন্দরভাবে এটি তৈরি করে। আপনি আরকে 4 দিয়েও যদি এটি করেন তবে আপনি বিপর্যয় পেতে পারেন:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে সমস্যাটি হ'ল সংখ্যাসূচক সমাধানে সত্যিকারের পর্যায়ক্রমিকতা নেই এবং অতএব অতিরিক্ত সময় এটি প্রবাহিত হতে থাকে।

এটি সিম্পিকটিক ইন্টিগ্রেটারগুলি বেছে নেওয়ার সত্য কারণটি তুলে ধরে: লক্ষণীয় সম্পত্তি (হ্যামিল্টোনীয় সিস্টেম) রয়েছে এমন সমস্যাগুলির ক্ষেত্রে দীর্ঘকালীন সংহতকরণে লক্ষণীয় সংহতকারী ভাল । সুতরাং আসুন কয়েকটি জিনিস দিয়ে চলুন। মনে রাখবেন যে এমনকি সর্বাত্মক সমস্যার ক্ষেত্রেও আপনার সর্বদা সংক্ষেপমূলক ইন্টিগ্রেটারের প্রয়োজন হয় না। এই ক্ষেত্রে, একটি অভিযোজিত 5 ম অর্ডার রঞ্জ-কত্তা পদ্ধতিটি সূক্ষ্ম করতে পারে। এখানে Tsit5:

দুটি বিষয় লক্ষ্য করুন। এক, এটি যথেষ্ট পরিমাণে নির্ভুলতা পেয়েছে যা আপনি পর্বের স্থানের প্লটে আসল প্রবাহ দেখতে পাচ্ছেন না। যাইহোক, ডানদিকে আপনি দেখতে পাচ্ছেন যে এনার্জি ড্রিফ্ট রয়েছে, এবং তাই আপনি যদি দীর্ঘ পর্যায়ে একীকরণ করতে থাকেন তবে এই পদ্ধতিটি পর্যায়ক্রমিক বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে সমাধানের পদ্ধতিটিও করবে না। তবে এটি প্রশ্ন উত্থাপন করে, কীভাবে দক্ষতার ভিত্তিতে ভাড়াটিয়া কেবলমাত্র নির্ভুলভাবে সংহত করা যায়? ঠিক আছে, এটি কিছুটা কম নিশ্চিত। ইন DiffEqBenchmarks.jl আপনি কিছু এই প্রশ্নের তদন্ত benchmarks খুঁজে পেতে পারেন। উদাহরণস্বরূপ, এই নোটবুকচতুর্ভুজ বোসন মডেল থেকে হ্যামিল্টোনীয় সমীকরণ সিস্টেমে রানটাইম বনাম রানটাইমের দিকে তাকান এবং দেখায় যে আপনি যদি উচ্চতর যথার্থতা চান তবে এমনকি দীর্ঘ দীর্ঘ সংহতকরণের জন্যও এটি একটি উচ্চ ক্রম আরকে বা রঞ্জ-কুট্টা নাইট্রোম ব্যবহার করা আরও দক্ষ ( আরকেএন) পদ্ধতি। এটি বোধগম্য হয় কারণ সমানুপাতিক সম্পত্তি সন্তুষ্ট করতে ইন্টিগ্রেটাররা কিছু দক্ষতা ছেড়ে দেয় এবং বেশিরভাগ সময় নির্ধারিত সময় ধাপে নির্ধারণ করতে হয় (কিছু গবেষণার উত্তরোত্তর অগ্রগতি হয় তবে এটি খুব বেশি দূরে নয়)।

তদতিরিক্ত, এই দুটি নোটবই থেকে বিজ্ঞপ্তি যে আপনি কেবল একটি স্ট্যান্ডার্ড পদ্ধতি গ্রহণ করতে পারেন এবং এটিকে প্রতিটি পদক্ষেপে (বা প্রতি কয়েকটি পদক্ষেপ) বহুগুণে সমাধানে প্রজেক্ট করতে পারেন। ডিফারেন্টিয়ালএকোয়াশনস.জিল ম্যানিফোল্ডপ্রজেক্ট কলব্যাক ব্যবহার করে উদাহরণগুলি এটি করছে। আপনি দেখতে পান যে গ্যারান্টি সংরক্ষণ সংরক্ষণ আইনগুলি সমুন্নত রয়েছে তবে প্রতিটি পদক্ষেপে একটি অন্তর্নিহিত সিস্টেমটি সমাধান করার জন্য অতিরিক্ত খরচ সহ। সংরক্ষণ সমীকরণগুলিকে যুক্ত করতে আপনি একটি সম্পূর্ণ-সংক্রামিত ওডিই সলভার বা একক একক গণ ম্যাট্রিকগুলিও ব্যবহার করতে পারেন, তবে শেষ ফলাফলটি হ'ল এই পদ্ধতিগুলি ট্রেড অফ হিসাবে আরও গণ্য-ব্যয়বহুল।

সুতরাং সংক্ষেপে বলা যায় যে আপনি যে শ্রেণীর সমস্যার সমাধান করতে চান যেখানে একটি সহানুভূতি সম্পন্ন ইন্টিগ্রেটরের কাছে পৌঁছাতে চান সেগুলি হ'ল একটি সিম্পিলিক ম্যানিফোল্ডের (হ্যামিল্টোনীয় সিস্টেমগুলি) সমাধান যেখানে আপনি সংমিতি সংস্থান বিনিয়োগ করতে চান না খুব সঠিক (সহনশীলতা <1e-12) রয়েছে সমাধান এবং সঠিক শক্তি / ইত্যাদি প্রয়োজন নেই। সংরক্ষণ। এটি হাইলাইট করে যে এগুলি সমস্ত দীর্ঘমেয়াদী ইন্টিগ্রেশন বৈশিষ্ট্যগুলি সম্পর্কে, তাই কিছু সাহিত্যের পরামর্শ অনুসারে আপনার কাছে সমস্ত উইল-নিলি করা উচিত নয়। তবে এস্ট্রোফিজিক্সের মতো অনেক ক্ষেত্রে এটি এখনও একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সরঞ্জাম যেখানে আপনার দীর্ঘমেয়াদী একীকরণ রয়েছে যা আপনাকে অযৌক্তিক নির্ভুলতা ছাড়াই পর্যাপ্ত দ্রুত সমাধান করতে হবে।

আমি কোথায় সিম্পিলটিক ইন্টিগ্রেটারগুলি পাই? কোন ধরণের সংকেত সংহতকারী বিদ্যমান?

সিম্পিলিক ইন্টিগ্রেটারগুলির সাধারণত দুটি শ্রেণি রয়েছে। সেখানে সিম্পিলটিক রঞ্জ-কত্ত ইন্টিগ্রেটার রয়েছে (যা উপরের উদাহরণগুলিতে দেখানো হয়েছে) এবং সেখানে অন্তর্নিহিত রান্জ-কত্তা পদ্ধতি রয়েছে যার মধ্যে সহানুভূতিশীল সম্পত্তি রয়েছে। @ অরিগিম্বো যেমন উল্লেখ করেছেন, সিম্পিলটিক রঞ্জ-কোট্টা সংহতকারীদের আপনাকে তাদের একটি বিভাজনযুক্ত কাঠামো সরবরাহ করতে হবে যাতে তারা অবস্থান এবং গতির অংশগুলি পৃথকভাবে পরিচালনা করতে পারে। যাইহোক, এই মন্তব্যের বিপরীতে, অন্তর্নিহিত রানেজ-কত্তা পদ্ধতিগুলি প্রয়োজন ছাড়াই সংবেদনশীল, তবে পরিবর্তে একটি ননলাইনার সিস্টেম সমাধান করা প্রয়োজন। এটি খুব খারাপ নয় কারণ যদি সিস্টেমটি কঠোর না হয় তবে এই অফলাইন সিস্টেমটি কার্যকরী পুনরাবৃত্তি বা অ্যান্ডারসন ত্বরণের মাধ্যমে সমাধান করা যেতে পারে, তবে দক্ষতার জন্য সম্ভবত লক্ষণীয় আরকে পদ্ধতিগুলি পছন্দ করা উচিত (এটি '

এটি বলেছিল, ওডিন্টের এই পরিবারগুলির কোনওর থেকেই কোনও পদ্ধতি নেই , তাই আপনি যদি পারস্পরিক সংমিশ্রণকারীদের সন্ধান করেন তবে এটি ভাল পছন্দ নয়। ফোর্টরানে , হায়ারের সাইটের একটি ছোট সেট রয়েছে যা আপনি ব্যবহার করতে পারেন । গণিতের কয়েকটি অন্তর্নির্মিত রয়েছে । জিএসএল ওডিই সমাধানকারীদের অন্তর্নিহিত আর কে গাউসিয়ান পয়েন্ট ইন্টিগ্রেটার রয়েছে যা আইআইআরসি সাম্প্রদায়িক, তবে এটি জিএসএল পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করার একমাত্র কারণ।

তবে সিম্পিলিক ইন্টিগ্রেটারগুলির সর্বাধিক বিস্তৃত সেট জুলিয়ার ডিফারেনটিয়ালএকুয়েশনস.জেএল-তে পাওয়া যাবে (মনে রাখবেন এটি উপরে নোটবুকগুলির জন্য ব্যবহৃত হয়েছিল)। এই পৃষ্ঠায় উপলব্ধ সিম্পলটিক রঞ্জ-কত্তা পদ্ধতির তালিকা পাওয়া যায় এবং আপনি লক্ষ্য করবেন যে অন্তর্নিহিত মিডপয়েন্ট পদ্ধতিটিও সহানুভূতিশীল (অন্তর্নিহিত রান্জে-কত্ত ট্র্যাপিজয়েড পদ্ধতিটিকে "বিপরীতমুখী কারণ এটি" প্রায় সিম্প্লেটিক "হিসাবে বিবেচনা করা হয়)। এটির পদ্ধতির সর্বাধিক সেট রয়েছে তা নয়, এটি ওপেন-সোর্সও রয়েছে (আপনি কোডটি এবং এর পরীক্ষাগুলি একটি উচ্চ-স্তরের ভাষায় দেখতে পারেন) এবং এতে প্রচুর মানদণ্ড রয়েছে । এটি শারীরিক সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহারের জন্য একটি ভাল প্রাথমিক নোটবুক এই টিউটোরিয়াল নোটবুক। তবে অবশ্যই এটি আপনাকে প্রথম ওডিই টিউটোরিয়ালের মাধ্যমে প্যাকেজটি দিয়ে শুরু করার পরামর্শ দিচ্ছে ।

সাধারণভাবে আপনি এই ব্লগ পোস্টে সংখ্যাগত ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ স্যুটগুলির বিশদ বিশ্লেষণ পেতে পারেন । এটি বেশ বিস্তৃত তবে যেহেতু এটির তুলনায় অনেকগুলি বিষয় এটিকে কম বিশদে বিস্তৃত করতে হবে, তাই এটি কোনওভাবেই প্রসারিত করার জন্য নির্দ্বিধায় জিজ্ঞাসা করুন।

Comments

এই উত্তরটি দিয়ে আমি স্ট্যাক এক্সচেঞ্জ জ্যাকপটে আঘাত পেয়েছি বলে মনে হচ্ছে! এটি আমার জন্য নিখুঁত উত্তর, কারণ আমি তাৎক্ষণিকভাবে এর কয়েকটি বুঝতে পারি এবং যে অংশগুলি আমি আমাকে আরও পড়তে উদ্বিগ্ন রাখি না। এই উত্তরটি পুঙ্খানুপুঙ্খভাবে উত্স করার পাশাপাশি অন্যান্য সহায়ক এবং শিক্ষামূলক লিঙ্কগুলি অন্তর্ভুক্ত করার জন্য আমি যে সময়টি গ্রহণ করেছি তা সত্যই আমি প্রশংসা করি।

— uhoh ২18

গাণিতিক বিবরণে যাওয়ার আগে আমরা মোটামুটি বলতে পারি যে লক্ষণিক অর্থ আয়তন সংরক্ষণ, আমরা কি পারি না?

— মিগুয়েল

এফটিআর, যে কারণে অভিযোজিত 5 তম অর্ডার রৌজে-কত্তা এখানে আরকে 4 এর চেয়ে অনেক বেশি ভাল অভিনয় করে তা নয় যে এটির উচ্চতর অর্ডার রয়েছে তবে এটি আরও উপযুক্ত ধাপের মাপ বেছে নেয়। আরকে 4 এত খারাপভাবে সঞ্চালনের কারণটি মূলত: ধাপের আকারটি পেরিজিতে অনুপযুক্তভাবে বেশি; অর্ধেক ধাপের আকারের সাথে একই সমাধানকারী আরও একটি ভাল সমাধান দিতে পারে। (ঠিক, এটি

— অপ্পিজির

চমৎকার প্রদর্শন একটি পার্শ্ব প্রশ্ন হিসাবে: ওপিটি পাইথনের একটি রেফারেন্স দিয়ে শুরু হয় - লিঙ্কযুক্ত জুলিয়া উদাহরণগুলির লাইনের পাশাপাশি পাইথনের টিউটোরিয়াল / প্যাকেজগুলির প্রস্তাবিত রয়েছে?

— কোয়েটজলকোটল

এই ধরণের সংহতকারীদের জন্য আমি কেবল পাইথন প্যাকেজটিই জানি ডিফেকপিপি , যেখানে এটি README তে নথিভুক্ত করা হয়নি তবে আপনি এই একই পদ্ধতিতে সমস্তটি অ্যাক্সেস করতে পারেন এবং সেই প্যাকেজটি ব্যবহার করে পাইথনে এটি পুনরায় লিখতে পারবেন।

— ক্রিস রাকাকাকাস

Answer 2

$\mathbf{p}$$\mathbf{q}$$\mathcal{H(\mathbf{p},\mathbf{q})}$

$$\frac{d\mathbf{q}}{dt}=+\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial\mathbf{p}}$$ $$\frac{d\mathbf{p}}{dt}=-\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial\mathbf{q}}.$$ $\mathcal{H}$ $$\mathbf{p}(t),\mathbf{q}(t)= \phi_t(\mathbf{p}(t_0),\mathbf{q}(t_0))$$ $d\mathbf{p}\wedge d\mathbf{q}$$p$$q$এটি একটি মাত্রিক যা আপনি এটিরূপে এটি ভাবতে ভাবতে পারেন যে পর্যায়ের স্থানের বদ্ধ বাঁকের ভিতরে থাকা অঞ্চলটি সংরক্ষণ করা হয়। এটি সমস্ত ধরণের চমৎকার স্থিতিশীল বৈশিষ্ট্যগুলি নিশ্চিত করে, যেহেতু ট্রাজেক্ট্রোলজির "বল" একে অপরের সাথে "কাছাকাছি" থাকতে হয়।

সংখ্যার বিচারে, একটি সিম্পিলিক ইন্টিগ্রেটার একইভাবে কাজ করে, এই অঞ্চল / দুটি ফর্মও সংরক্ষণ করে। পরিবর্তে এর অর্থ হ'ল এখানে একটি সংরক্ষিত "সংখ্যাসূচক হ্যামিল্টোনিয়ান" রয়েছে (যা [পড়া 'নাও হতে পারে'] হুবহু একের মতো নয়)। নোট করুন যে স্থায়িত্ব নির্ভুলতার মতো নয়, তাই দীর্ঘকালীন সময়ের জন্য সংহত করার সময় লক্ষণীয় পদ্ধতির বেশিরভাগ সুবিধা আসবে (যেমন আপনার পদ্ধতিটি পৃথিবীর অন্যদিকে দ্রুত কোনও উপগ্রহ স্থাপন করতে পারে, যখন কখনই এটি ক্ষয় হতে দেয় না) এটা)।

Comments

এই জন্য আপনাকে ধন্যবাদ! আমি এখন আমার বেতন-গ্রেডের উপরে শব্দগুলি ব্যবহার করব। 3-বডি সিমুলেশনের মতো দ্বিখণ্ডনের কাছাকাছি হলে ট্র্যাজকোলজির এন-বলগুলি আরও ঝুঁকিতে থাকে। cf. দোডেল এট আল। 2007, ইন্ট। জে বিভাজন এবং বিশৃঙ্খলা, বনাম 17, নং। 8 (2007) 2625–2677 আমি কীভাবে করেছি? এছাড়াও ieec.cat/hosted/web-libPoint/papers/…

— উহো

যদি না পাঠক গাণিতিক বিবরণ সম্পর্কে অবগত না হন, স্থিতিশীলতার উল্লেখটি বিভ্রান্তিকর, যেহেতু ভলিউম সংরক্ষণের অর্থ এই নয় যে পৃথক ট্র্যাজেক্টরিগুলি কাছাকাছি থাকে।

— মিগুয়েল

@ মিগুয়েল আমি মনে করি এটি সেই পরিস্থিতিতে একটি যেখানে গণিত সংক্রান্ত বিবরণ অনুসরণ করে না এমন পাঠক উভয় দিকই বিবেচনা করা হয়, তবে যথার্থতা, স্থায়িত্ব এবং গণনার দক্ষতার স্বাভাবিক সংখ্যাসূচকদের ট্রাইকা অনুসারে আমি যুক্তি দিয়ে বলি যে স্থিতিশীলতার উপর জোর বেনিফিট দরকারী। আপনি যদি এমন আরও ভাল কিছু ভাবতে পারেন যা ইচ্ছাকৃতভাবে ভুল নয় I'm

— অরিজিম্বো

$^2$$^2$

@ মিগুয়েল: তবে কণার অঙ্কুর দুটি বা তার বেশি অংশে বিভক্ত হওয়ার অনুমতি রয়েছে। এর মোট ভলিউমটিতে কেবল ধ্রুবক থাকতে হবে।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ