গোলমাল বা সূক্ষ্ম-কাঠামোগত তথ্যের জন্য, মিডপয়েন্ট রুলের চেয়ে আরও ভাল চতুর্ভুজ আছে?

এই দীর্ঘ প্রশ্নের প্রথম দুটি বিভাগই প্রয়োজনীয়। অন্যগুলি কেবল উদাহরণের জন্য।

পটভূমি

উচ্চতর ডিগ্রি সমন্বিত নিউটন – কোটস, গাউজ লেজেন্ড্রে এবং রোমবার্গের মতো উন্নত চতুর্ভুজগুলি মূলত এমন কেসগুলির জন্য লক্ষ্যযুক্ত বলে মনে হচ্ছে যেখানে কেউ ফাংশনটি সূক্ষ্মভাবে নমুনা করতে পারে তবে বিশ্লেষণাত্মকভাবে সংহত করতে পারে না। তবে স্যাম্পলিং ব্যবধানের চেয়ে কাঠামোর সাথে সূক্ষ্ম ফাংশনগুলির জন্য (উদাহরণস্বরূপ পরিশিষ্ট এ দেখুন) বা পরিমাপের শব্দ, তারা মিডপয়েন্ট বা ট্র্যাপিজয়েড নিয়মের মতো সহজ পদ্ধতির সাথে প্রতিযোগিতা করতে পারে না (একটি বিক্ষোভের জন্য পরিশিষ্ট বি দেখুন)।

এটি কিছুটা স্বজ্ঞাত হিসাবে যেমন, যৌগিক সিম্পসন নিয়মটি কম ওজন নির্ধারণের মাধ্যমে প্রয়োজনীয় তথ্যের এক চতুর্থাংশ "বাতিল" করে। পর্যাপ্ত উদাস ফাংশনগুলির জন্য এই জাতীয় চতুর্ভুজগুলি আরও ভাল হওয়ার একমাত্র কারণ হ'ল সঠিকভাবে সীমান্তের প্রভাবগুলি পরিচালনা করা বাতিল করা তথ্যের প্রভাবের চেয়ে বেশি। অন্য দৃষ্টিকোণ থেকে, এটি স্বজ্ঞাতভাবে আমার কাছে পরিষ্কার যে একটি সূক্ষ্ম কাঠামো বা শব্দ নিয়ে ফাংশনগুলির জন্য, ইন্টিগ্রেশন ডোমেনের সীমানা থেকে দূরে থাকা নমুনাগুলি প্রায় সমতুল্য হতে হবে এবং প্রায় একই ওজন থাকতে হবে (উচ্চ সংখ্যার নমুনার জন্য) )। অন্যদিকে, এই জাতীয় কার্যগুলির চৌম্বকগুলি সীমান্তের প্রভাবগুলি (মিডপয়েন্ট পদ্ধতির চেয়ে) উন্নত হ্যান্ডলিংয়ের দ্বারা উপকৃত হতে পারে।

প্রশ্ন

ধরে নিন যে আমি শব্দের বা সূক্ষ্ম-কাঠামোগত এক-মাত্রিক ডেটা সংখ্যার সাথে সংহত করতে চাই।

স্যাম্পলিং পয়েন্টগুলির সংখ্যা নির্ধারিত (ফাংশন মূল্যায়ন ব্যয়বহুল হওয়ার কারণে), তবে আমি এগুলি নির্দ্বিধায় রাখতে পারি। তবে আমি (বা পদ্ধতি) স্যাম্পলিং পয়েন্টগুলি ইন্টারেক্টিভভাবে স্থাপন করতে পারি না, অর্থাত্ অন্যান্য নমুনা পয়েন্টগুলির ফলাফলের ভিত্তিতে। আমি সম্ভাব্য সমস্যা অঞ্চলগুলি আগেও জানি না। সুতরাং, গাউস – লেজেন্ড্রে (অ-সামঞ্জস্যপূর্ণ নমুনা পয়েন্ট) এর মতো কিছু ঠিক আছে; অভিযোজিত চতুর্ভুজটি যেহেতু এটি ইন্টারেক্টিভভাবে স্থাপন করা নমুনা পয়েন্টগুলির প্রয়োজন।

মিডপয়েন্ট পদ্ধতি ছাড়িয়ে যাওয়ার কোনও পদ্ধতি কি এই জাতীয় ক্ষেত্রে প্রস্তাবিত হয়েছে?
বা: মিডপয়েন্ট পদ্ধতিটি এমন পরিস্থিতিতে সর্বোত্তম যে কোনও প্রমাণ আছে?
আরও সাধারণভাবে: এই সমস্যা নিয়ে কোনও বিদ্যমান কাজ আছে?

পরিশিষ্ট এ: একটি সূক্ষ্ম-কাঠামোযুক্ত কার্যের নির্দিষ্ট উদাহরণ

আমি অনুমান করতে চাই জন্য: সঙ্গেএবং। একটি সাধারণ ফাংশন এর মতো দেখাচ্ছে: $\int_0^1f(t)\, \mathrm{d}t$

f (t) = \sum_{i = 1}^{k} \frac{\sin (ω_{i} t - φ_{i})}{ω_{i}},

$f(t) = \sum_{i=1}^{k} \frac{\sin(ω_i t-φ_i)}{ω_i},$

φ_{i} \in [0, 2 π]

$φ_i∈ [0,2π]$

\log ω_{i} \in [1, 1000]

$\log{ω_i} ∈ [1,1000]$

নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যগুলির জন্য আমি এই ফাংশনটি বেছে নিয়েছি:

এটি একটি নিয়ন্ত্রণ ফলাফলের জন্য বিশ্লেষণাত্মকভাবে সংহত করা যেতে পারে।
এর একটি স্তরের সূক্ষ্ম কাঠামো রয়েছে যা আমি ব্যবহার করছি এমন নমুনার সংখ্যার সাথে এটি সমস্ত ক্যাপচার করা অসম্ভব করে তোলে ( )। $<10^2$
এটি এর সূক্ষ্ম কাঠামো দ্বারা প্রভাবিত হয় না।

পরিশিষ্ট খ: বেঞ্চমার্ক

সম্পূর্ণতার জন্য, পাইথনে এখানে একটি মানদণ্ড রয়েছে:

import numpy as np
from numpy.random import uniform
from scipy.integrate import simps, trapz, romb, fixed_quad

begin = 0
end   = 1

def generate_f(k,low_freq,high_freq):
    ω = 2**uniform(np.log2(low_freq),np.log2(high_freq),k)
    φ = uniform(0,2*np.pi,k)
    g = lambda t,ω,φ: np.sin(ω*t-φ)/ω
    G = lambda t,ω,φ: np.cos(ω*t-φ)/ω**2
    f = lambda t: sum( g(t,ω[i],φ[i]) for i in range(k) )
    control = sum( G(begin,ω[i],φ[i])-G(end,ω[i],φ[i]) for i in range(k) )
    return control,f

def midpoint(f,n):
    midpoints = np.linspace(begin,end,2*n+1)[1::2]
    assert len(midpoints)==n
    return np.mean(f(midpoints))*(n-1)

def evaluate(n,control,f):
    """
    returns the relative errors when integrating f with n evaluations
    for several numerical integration methods.
    """
    times = np.linspace(begin,end,n)
    values = f(times)
    results = [
            midpoint(f,n),
            trapz(values),
            simps(values),
            romb (values),
            fixed_quad(f,begin,end,n=n)[0]*(n-1),
        ]

    return [
            abs((result/(n-1)-control)/control)
            for result in results
        ]

method_names = ["midpoint","trapezoid","Simpson","Romberg","Gauß–Legendre"]

def med(data):
    medians = np.median(np.vstack(data),axis=0)
    for median,name in zip(medians,method_names):
        print(f"{median:.3e}   {name}")

print("superimposed sines")
med(evaluate(33,*generate_f(10,1,1000)) for _ in range(100000))

print("superimposed low-frequency sines (control)")
med(evaluate(33,*generate_f(10,0.5,1.5)) for _ in range(100000))

(কেবলমাত্র উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি সামগ্রী রয়েছে এমন ফাংশনগুলির কারণে আমি আউটলিয়ারের প্রভাব কমাতে মিডিয়ান ব্যবহার করি the মূলত, ফলাফলগুলি একই রকম))

আপেক্ষিক ইন্টিগ্রেশন ত্রুটির মধ্যস্থতাগুলি হ'ল:

superimposed sines
6.301e-04   midpoint
8.984e-04   trapezoid
1.158e-03   Simpson
1.537e-03   Romberg
1.862e-03   Gauß–Legendre

superimposed low-frequency sines (control)
2.790e-05   midpoint
5.933e-05   trapezoid
5.107e-09   Simpson
3.573e-16   Romberg
3.659e-16   Gauß–Legendre

দ্রষ্টব্য: ফলাফল ছাড়াই দুই মাস এবং একটি অনুগ্রহ করার পরে, আমি এটি ম্যাথওভারফ্লোতে পোস্ট করেছি ।

reference-request quadrature

— Wrzlprmft
সূত্র

আপনি কি সত্যিই আগ্রহী এই ধরণের সমস্যাটি কি ? 1 ডি তে, আপনি সম্ভবত বেশিরভাগ যে কোনও পদ্ধতিতে খুব ভাল ফলাফল পেতে পারেন।

— ডেভিড কেচসন

"আমার কাছে নির্দিষ্ট সংখ্যক নমুনা পয়েন্ট রয়েছে এবং সেগুলি নির্দ্বিধায় রাখতে পারি However তবে আমি নমুনা পয়েন্টগুলি ইন্টারেক্টিভভাবে স্থাপন করতে পারি না, যেমন, অন্যান্য নমুনা পয়েন্টগুলির ফলাফলের ভিত্তিতে।" এই সীমাবদ্ধতা আমার কাছে পরিষ্কার নয়। আমি কি এমন নোডগুলি রাখার অনুমতি দেব যেখানে একটি অভিযোজিত অ্যালগরিদম এগুলি রাখে, যতক্ষণ না আমি সত্যই স্মার্ট (বাস্তবে অভিযোজিত অ্যালগরিদম ব্যবহারের পরিবর্তে)? যদি আমাকে এ সম্পর্কে "সত্যই স্মার্ট" হওয়ার অনুমতি না দেওয়া হয় তবে আসলে কোন ধরণের নোড প্লেসমেন্টগুলি অনুমোদিত?

— ডেভিড কেচসন

@ ডেভিডকিচসন: আপনি কি সত্যিই আগ্রহী এই ধরণের সমস্যাটি কি ? - হ্যাঁ, আমি সত্যিই 1 ডি তে আগ্রহী। - 1 ডি তে, আপনি সম্ভবত বেশিরভাগ যে কোনও পদ্ধতিতে খুব ভাল ফলাফল পেতে পারেন। - মনে রাখবেন যে ফাংশন মূল্যায়ন ব্যয়বহুল হতে পারে। - তাহলে কোন ধরণের নোড প্লেসমেন্টগুলি আসলে অনুমোদিত? - আমি আমার প্রশ্নটি আরও স্পষ্ট করে আশা করে সম্পাদনা করেছি।

— Wrzlprmft

ধন্যবাদ যে সাহায্য করে। আমার কাছে, প্রশ্নটি এখনও অস্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে। আমি মনে করি একটি সাধারণ এবং আরও সুনির্দিষ্ট প্রশ্ন রয়েছে যা আরও উত্তরযোগ্য হবে। এটির জন্য ফাংশনগুলির একটি সেট নির্ধারণ করা প্রয়োজন (এটি চতুর্ভুজ নোডের অনুমোদিত সংখ্যার উপর নির্ভর করে) এবং একটি মেট্রিক। তারপরে আপনি জিজ্ঞাসা করতে পারেন যে মিডপয়েন্ট পদ্ধতিটি সেই মেট্রিকটিতে সেই ফাংশনের সেটের উপরে সর্বোত্তম কিনা (যেখানে সম্ভবত একই নোডের সেটটি অবশ্যই সমস্ত কার্যকারণের জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে)।

— ডেভিড কেচসন

@ ডেভিডকিচসন: এটির জন্য ফাংশনগুলির একটি সেট (এটি চতুর্ভুজ নোডের অনুমোদিত সংখ্যার উপর নির্ভর করতে পারে) এবং একটি মেট্রিক সংজ্ঞায়িত করতে হবে। - এই বিষয়টিতে আমি এ পর্যন্ত দরকারী কিছু খুঁজে পেতে ব্যর্থ হয়েছি, এই জাতীয় বিধিনিষেধ আরোপের কোনও কারণ আমি দেখতে পাচ্ছি না। বরং এ জাতীয় বিধিনিষেধের সাথে আমি ঝুঁকি নিয়ে বলব যে কিছুটা বিদ্যমান শর্ত বা অনুমানের জন্য আমি কিছু বিদ্যমান কাজ (বা সহজ প্রমাণ) বাদ দেই। যদি সংজ্ঞায়িত চিত্রগুলিতে সংজ্ঞায়িত এবং অনুরূপ কোনও রেফারেন্স কাজ বা একটি সহজ প্রমাণ উপস্থিত থাকে তার জন্য যদি কোনও উপায় থাকে তবে আমি সে সম্পর্কে খুশি।

— Wrzlprmft

উত্তর:

প্রথমত, আমি মনে করি আপনি অভিযোজিত চতুষ্পদ ধারণাটি ভুল বুঝেছেন। অভিযোজিত চৌম্বকটি "ইন্টারেক্টিভভাবে নমুনা পয়েন্ট স্থাপন" বোঝায় না। অভিযোজিত চতুষ্পেশনের পিছনে পুরো ধারণাটি এমন একটি পরিকল্পনা তৈরি করা যা কোনও নির্দিষ্ট ফাংশনকে একটি নির্দিষ্ট (আনুমানিক) নিখুঁত বা আপেক্ষিক ত্রুটির সাথে যতটা সম্ভব সামান্য ফাংশন মূল্যায়নের সাথে সংহত করবে।

দ্বিতীয় মন্তব্য: আপনি লিখেছেন "স্যাম্পলিং পয়েন্টগুলির সংখ্যা নির্ধারিত (ফাংশন মূল্যায়ন ব্যয়বহুল হওয়ার কারণে), তবে আমি সেগুলি নির্দ্বিধায় রাখতে পারি"। আমি মনে করি ধারণাটি হওয়া উচিত যে স্যাম্পলিং পয়েন্টগুলির সংখ্যা (বা চতুর্ভুজ পরিভাষায় ফাংশন মূল্যায়ন) যতটা সম্ভব কম হওয়া উচিত (যেমন স্থির নয়)।

সুতরাং উদাহরণস্বরূপ কোয়াডপ্যাক প্রয়োগ হিসাবে অভিযোজিত চতুর্ভুজ পিছনে ধারণা কি ?

মূল উপাদানটি হ'ল "নেস্টেড" চতুর্ভুজ বিধি: এটি দুটি চতুর্ভুজ নিয়মের সংমিশ্রণ যেখানে অন্যটির মতো উচ্চতর অর্ডার (বা যথার্থতা) রয়েছে। কেন? এই নিয়মের মধ্যে পার্থক্যের ভিত্তিতে, অ্যালগরিদমটি চতুর্ভুজ ত্রুটির অনুমান করতে পারে (অবশ্যই, অ্যালগরিদমটি রেফারেন্স ফলাফল হিসাবে সবচেয়ে নির্ভুল ব্যবহার করবে)। উদাহরণগুলি নোড এবং নোডের সাথে ট্র্যাপিজয়েড নিয়ম হতে পারে । কোয়াডপ্যাকের ক্ষেত্রে, নিয়মগুলি গাউস-ক্রোনরোড বিধি। এগুলি আন্তঃবিবাহমূলক চতুর্ভুজ বিধি যা একটি নির্দিষ্ট আদেশ এর গাউস-লেজেন্ড্রে চতুর্ভুজ নিয়ম ব্যবহার করে $2^{n}$ $2^{n+1}$ $N$ এবং এই নিয়মের একটি অনুকূল বর্ধন। এর অর্থ হ'ল গাউস-লেজেন্ড্রে নোডগুলি (অর্থাত ব্যয়বহুল ফাংশন মূল্যায়ন) বিভিন্ন ওজন সহ এবং আরও অনেকগুলি অতিরিক্ত নোড যুক্ত করে একটি উচ্চতর চতুর্ভুজ অর্ডার পাওয়া যায়। অন্য কথায়, আদেশের মূল গাউস-লেজেন্ড্রে বিধি ডিগ্রি সমস্ত বহুবচনকে ঠিক একীভূত করবে যখন বর্ধিত গাউস-ক্রোনরোড নিয়ম কিছু উচ্চতর অর্ডার বহুবচনকে ঠিক একীভূত করবে। একটি সর্বোত্তম নিয়ম হ'ল জি 7 কে 15 (15 তম অর্ডার গাউস-ক্রোনরোড সহ 7 তম ক্রম গাউস-লেজেন্ড্রে)। যাদুটি হ'ল গাউস-লেজেন্ডেরের 7 টি নোড গাউস-ক্রোনরোডের 15 টি নোডের একটি উপসেট তাই 15 ক্রিয়াকলাপের মূল্যায়নের সাথে আমার ত্রুটি অনুমানের সাথে এক চতুর্ভুজ মূল্যায়ন আছে! $N$ $2N-1$
পরবর্তী উপাদানটি একটি "বিভাজন এবং জয়" কৌশল। ধরুন আপনি এই G7K15 কে আপনার সংহতকরণে ছেড়ে দিয়েছেন এবং আপনি আপনার স্বাদ অনুসারে একটি চতুর্ভুজ ত্রুটি লক্ষ্য করেন। এরপরে কোয়াডপ্যাক দুটি সমান দূরত্বের সাবিন্টারভালগুলিতে মূল বিরতিটি উপ-বিভাগ করবে। এবং তারপরে এটি G7K15 বেসিক নিয়মটি ব্যবহার করে দুটি উপ-শাখাটি পুনরায় মূল্যায়ন করবে। এখন, অ্যালগরিদমের একটি বিশ্বব্যাপী ত্রুটির প্রাক্কলন রয়েছে (যা আশা করি প্রথমটির চেয়ে কম হওয়া উচিত) তবে দুটি স্থানীয় ত্রুটি অনুমানও। এটি সবচেয়ে বড় ত্রুটির সাথে ব্যবধানটি পছন্দ করে এবং এটিকে দুটিতে ভাগ করে দেয়। দুটি নতুন ইন্টিগ্রাল অনুমান করা হয় এবং বৈশ্বিক ত্রুটি আপডেট করা হয়। এবং ততক্ষণ পর্যন্ত যে বিশ্বব্যাপী ত্রুটি আপনার অনুরোধ করা টার্গেটের নীচে না থাকে বা সর্বোচ্চ সংখ্যক মহকুমাকে ছাড়িয়ে যায় না।

সুতরাং আমি আপনাকে চ্যালেঞ্জ জানায় যে scipy.quadপদ্ধতিটি ব্যবহার করে আপনার কোডটি উপরে আপডেট করুন । অনেকগুলি "সূক্ষ্ম কাঠামো" সহ একটি সংহত হওয়ার ক্ষেত্রে আপনার সর্বাধিক সংখ্যক মহকুমা ( limitবিকল্প) বাড়ানোর প্রয়োজন হতে পারে । আপনি epsabsএবং / বা epsrelপরামিতিগুলির সাথে খেলতেও পারেন ।

তবে আপনার যদি কেবল পরীক্ষামূলক ডেটা থাকে তবে আমি দুটি সম্ভাবনা দেখতে পাচ্ছি।

আপনার যদি পরিমাপের পয়েন্টগুলি অর্থাৎ মানগুলি নির্বাচন করার সুযোগ থাকে তবে আমি সেগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণভাবে এবং অগ্রাধিকার হিসাবে শক্তি হিসাবে বেছে নেব যাতে আপনি নেস্টেড ট্র্যাপিজয়েডাল নিয়ম প্রয়োগ করতে পারেন (এবং রোমবার্গ এক্সট্রোপোলেশন থেকে লাভ)। $t$ $2$
আপনার যদি নোডগুলি বেছে নেওয়ার কোনও উপায় না থাকে, যেমন পরিমাপ এলোমেলো সময়ে আসে তবে আমার মতে এখনও সেরা বিকল্পটি ট্র্যাপিজয়েড নিয়ম।

— GertVdE
সূত্র

আমি মনে করি আপনি অভিযোজিত চতুষ্পদ ধারণাটি ভুল বুঝেছেন। - আপনার পোস্টটি অভিযোজিত চতুষ্পদ সম্পর্কে আমার পূর্বের বোঝার সাথে সম্পূর্ণ একমত এবং এটি কীভাবে আমি নমুনা পয়েন্টগুলি ইন্টারেক্টিভভাবে সংজ্ঞায়িত করেছি (এটি একটি উপযুক্ত বাক্যাংশ হোক না কেন)) - আপনি লিখুন […]। আমি মনে করি ধারণাটি হওয়া উচিত যে স্যাম্পলিং পয়েন্টগুলির সংখ্যা […] যতটা সম্ভব কম হওয়া উচিত (যেমন স্থির নয়)। - আপনার যদি সেই বিলাসিতা থাকে তবে নিশ্চিত, তবে পরীক্ষামূলক সীমাবদ্ধতাগুলি এই সৌম্য হতে পারে না। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনাকে নির্ধারিত সংখ্যক ব্যয়বহুল সেন্সর সহ একসাথে কিছু পরিমাপ করতে হবে।

— Wrzlprmft

আমার ক্ষমা। আমি আপনার প্রশ্নে "ইন্টারেক্টিভলি" ভুল ব্যাখ্যা করেছি। আমার বোঝার মধ্যে "ইন্টারেক্টিভলি" অর্থ ব্যবহারকারী দ্বারা আলগোরিদিম দ্বারা নয় হস্তক্ষেপ। পরীক্ষামূলক ডেটাতে আমি আমার উত্তরে একটি অনুচ্ছেদ যুক্ত করেছি। আর একটি পদ্ধতি হ'ল সূক্ষ্ম কাঠামোর তথ্য "ফিল্টার" করা, অর্থাত্ একটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করা এবং ছোট প্রশস্ততা সহ উচ্চ-অর্ডার ফ্রিকোয়েন্সিগুলি সরিয়ে দেওয়া। এটি একটি বিকল্প হবে?

— GertVdE

আপনার যদি পরিমাপের পয়েন্টগুলি নির্বাচন করার সুযোগ থাকে […] - সমপরিমাণ পয়েন্ট হ'ল যাইহোক যাইহোক মিডপয়েন্ট, প্লেইন ট্র্যাপিজয়েড ইত্যাদির জন্য আমার যা প্রয়োজন, তাই এটি আমার বেনমার্কে আমি ঠিক তাই করেছি। এখানে, রোমবার্গ এক্সট্রাপোলেশন কোনও সুবিধা দেয় না।

— Wrzlprmft

আর একটি পদ্ধতি হ'ল সূক্ষ্ম কাঠামোর তথ্য "ফিল্টার" করা […] এটি কি কোনও বিকল্প হবে? - আমার উদাহরণে, আমি ধরে নিয়েছি যে সূক্ষ্ম কাঠামোটি আমি যা পরিমাপ করতে চাই তারই একটি অংশ, এটি পুরোপুরি ক্যাপচার করার জন্য পর্যাপ্ত পরিমাণে নমুনা থাকার মতো আমি ঘটছি না। প্রকৃত আওয়াজ হিসাবে, এমন কোনও প্রযুক্তিগত বাধা নেই যা আমাকে ফিল্টারিং থেকে বিরত রাখে। যাইহোক, পুরো ডোমেনের মধ্যে ইন্টিগ্রালটি ইতিমধ্যে চূড়ান্ত নিম্ন-পাস ফিল্টার, তাই আমি সন্দেহ করি যে নির্দিষ্ট, সৌম্য এবং পরিচিত বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে শব্দ না করে এটিকে উন্নত করা যেতে পারে।

— Wrzlprmft

এটি কি সত্যই স্টোকাস্টিক? কিছু উত্পন্ন হওয়া আবশ্যক যা উচ্চতর অর্ডার স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রাল আনুমানিকতা।

— ক্রিস রাকাকাকাস

আমি নিশ্চিত নই যে আপনার কোড বিভিন্ন চতুষ্কোণ বিধি সম্পর্কে মৌলিক কিছু প্রদর্শন করে এবং শব্দ এবং সূক্ষ্ম কাঠামোর বিরুদ্ধে তারা কতটা ভাল করে, এবং এটি বিশ্বাস করে যে আপনি বিভিন্ন জরিমানার কাঠামো বেছে নিলে আপনি কিছু আলাদা খুঁজে পাবেন। এখানে উপপাদ্য:

কোনও চৌম্বকীয় পদ্ধতি আনবাউন্ডেড মোট প্রকরণের সাথে কোনও ক্রিয়াকলাপের বিরুদ্ধে কম পরম বা আপেক্ষিক ত্রুটি দিতে পারে না। ইউনিট রাউন্ডফ সহ একটি ভাসমান পয়েন্ট সিস্টেমে আমাদের অনুমান $\mu$ যেখানে পাদসংস্থান সমষ্টি সংখ্যাসূচক বাস্তবায়ন অভিনয় হয় এর ।

| \int_{a}^{b} f d x - \hat{Q} [\hat{f}] | \leq | \int_{a}^{b} f d x - Q [f] | + μ [4 \int_{a}^{b} | f | d x + \int_{a}^{b} | x f^{'} | d x]

$\left| \int_{a}^{b} f \, \mathrm{d}x - \hat{Q}[\hat{f}] \right| \le \left| \int_{a}^{b} f \, \mathrm{d}x - Q[f] \right| + \mu\left[ 4\int_{a}^{b} |f| \, \mathrm{d}x + \int_{a}^{b} |xf'| \, \mathrm{d}x \right]$

\hat{Q}

$\hat{Q}$

\hat{f}

$\hat{f}$

f

$f$

প্রমাণ: চতুর্ভুজ নোডগুলি এবং (অ-নেতিবাচক) চতুর্ভুজ ওজন এবং flo এবং দ্বারা তাদের ভাসমান পয়েন্টের আনুমানিক চিত্রগুলি বোঝান । ধরে নিন যে সন্তুষ্ট যেখানে যেখানে হ'ল ইউনিট রাউন্ডঅফ। তারপর $\{x_i\}_{i=0}^{n-1}$ $\{w_i\}_{i=0}^{n-1}$ $\hat{w}_{i}$ $\hat{x}_i$ $\hat{f}$ $\hat{f}(x) = f(x)(1+2\delta)$ $|\delta| \le \mu$ $\mu$

\begin{aligned} \hat{Q} [\hat{f}] & = \sum_{i = 0}^{n - 1} {\hat{w}}_{i} \otimes \hat{f} ({\hat{x}}_{i}) \\ = \sum_{i = 0}^{n - 1} w_{i} (1 + δ_{i}^{w}) f (x_{i} + δ_{i}^{x} x_{i}) (1 + 2 δ_{i}^{f}) (1 + δ_{i}^{*}) \\ \approx \sum_{i = 0}^{n - 1} w_{i} [f (x_{i}) + δ_{i}^{x} x_{i} f^{'} (x_{i})] (1 + δ_{i}^{w} + 2 δ_{i}^{f} + δ_{i}^{*}) \\ \approx \sum_{i = 0}^{n - 1} w_{i} f (x_{i}) + \sum_{i = 0}^{n - 1} δ_{i}^{x} w_{i} x_{i} f^{'} (x_{i}) + w_{i} f (x_{i}) (δ_{i}^{w} + 2 δ_{i}^{f} + δ_{i}^{*}) \end{aligned}

$\begin{align*} \hat{Q}[\hat{f}] &= \sum_{i=0}^{n-1} \hat{w}_i \otimes \hat{f}(\hat{x}_i) \\ &= \sum_{i=0}^{n-1} w_i (1+\delta^w_i)f(x_i + \delta_i^x x_i)(1+2\delta_i^{f})(1+\delta_i^{*}) \\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} w_i \left[f(x_i)+ \delta_i^x x_i f'(x_i) \right] (1+\delta^w_i + 2\delta_i^{f} + \delta_i^*) \\ &\approx \sum_{i=0}^{n-1} w_i f(x_i) + \sum_{i=0}^{n-1}\delta_i^x w_i x_i f'(x_i) + w_i f(x_i) (\delta^w_i + 2\delta_i^{f} + \delta_i^*) \\ \end{align*}$ যাতে এটি ধরে নেয় যে যোগফলটি ত্রুটি ছাড়াই গণনা করা হয়; এই অনুমানটি ছাড়তে দিয়ে গুণ করুন ।

\begin{aligned} | \hat{Q} [\hat{f}] - Q [f] | & \leq μ \sum_{i = 0}^{n - 1} w_{i} (| x_{i} f^{'} (x_{i}) | + 4 | f (x_{i}) |) \\ \approx 4 μ \int | f | d x + μ \int | x f^{'} | d x \end{aligned}

$\begin{align*} |\hat{Q}[\hat{f}] - Q[f]| &\le \mu \sum_{i=0}^{n-1}w_i(|x_i f'(x_i)| + 4|f(x_i)|) \\ &\approx 4\mu \int |f| \, \mathrm{d}x + \mu \int |xf'| \, \mathrm{d}x \end{align*}$

n

$n$

মুতাতিস মিউট্যান্ডিস আপনি এটিও দেখিয়ে দিতে পারেন যে ফলাফলটি নির্দিষ্ট পয়েন্ট গণিতগুলিতে থাকে।

— user14717
সূত্র

উত্তর দেওয়ার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ। আপনি যে দৃশ্যের বিষয়টি বিবেচনা করছেন এবং এটি কীভাবে আমার প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত তা বুঝতে আমার কিছুটা সমস্যা হচ্ছে। ভাসমান বিন্দুতে সীমাহীন মোট প্রকরণের অর্থ কী ? আমি খুব ভুল না হলে আমার সমস্ত গণনামূলক ফলাফল (রোমবার্গ এবং গাউজ লেজেন্ড্রির সাথে নিয়ন্ত্রণের ক্ষেত্রে বাদে) পাটিগণিত বাস্তবায়নের (ভাসমান পয়েন্ট বা নির্দিষ্ট পয়েন্ট) ভুলত্রুটি দ্বারা প্রভাবিত হওয়া অনেক দূরে। আমি যে গোলমালটি বিবেচনা করছি তা প্রকৃতিতেও সংখ্যাসূচক নয়, তবে পরীক্ষামূলক।

— Wrzlprmft

@Wrzlprmft: ভাসমান পয়েন্টটিই আমি প্রমাণ করতে সক্ষম হয়েছি। আমি স্থির বিন্দুতেও এটি প্রমাণ করতে পারি, যা তখন নির্দেশ করে যে ফলাফলটি পরীক্ষামূলক ডেটা ধারণ করে। আমি বিশ্বাস করি এটি চতুর্ভুজ নোডগুলির কোনও ত্রুটির উত্সের জন্য সত্য। আমি স্পষ্ট করতে সম্পাদনা করেছি।

— ব্যবহারকারী 14717

পরীক্ষামূলক তথ্যগুলির জন্য, ফলাফলটি আরও দৃinc়প্রত্যয়ী কারণ সাধারণ পরীক্ষামূলক তথ্যগুলিতে অ-বিভেদযোগ্য এবং তাই মোট প্রকরণটি অসীম।

— ব্যবহারকারী 14717

আমি দুঃখিত, কিন্তু আমি এখনও আপনাকে অনুসরণ করতে ব্যর্থ। আপনার ফলাফলটি চতুর্ভুজটি সংখ্যাসূচকভাবে প্রয়োগ করার সময় ঘটে যাওয়া ত্রুটি সম্পর্কে বলে মনে হচ্ছে, চতুর্ভুজটির ত্রুটি সম্পর্কে নয়। আমার যে সমস্যাটি হচ্ছে তা হ'ল পরেরটি সম্পর্কে এবং বিশেষত আমি বিশ্বাস করার কোনও কারণ দেখতে পাচ্ছি না যে এটি জন্য প্রকাশিত হবে না ।

μ = 0

$μ=0$

— Wrzlprmft

এখানে মূল ধারণাটি ফাংশন মূল্যায়নের শর্ত সংখ্যা থেকে আসে। আপনার মূল্যায়নগুলি শোরগোল হওয়ার কারণে শর্তযুক্ত।

— ব্যবহারকারী 14717