কোন অ্যাপ্লিকেশন ক্ষেত্রে অ্যাডিটিভ পূর্বশর্তকরণ প্রকল্পগুলি গুণকগুলির চেয়ে উচ্চতর?

12

উভয় ডোমেন পচন (ডিডি) এবং মাল্টিগ্রিড (এমজি) পদ্ধতিতে, কেউ ব্লক আপডেটের প্রয়োগ বা মোটা সংশোধনকে অ্যাডিটিভ বা গুণক হিসাবে রচনা করতে পারে । পয়েন্টওয়াইজ সলভারদের ক্ষেত্রে, এটি জ্যাকোবি এবং গাউস-সিডেল পুনরাবৃত্তির মধ্যে পার্থক্য। হিসাবে হিসাবে অভিনয় করার জন্য গুণক স্মুথ as হিসাবে প্রয়োগ করা হয় $Ax = b$ $S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

এবং অ্যাডিটিভ স্মুথ হিসাবে প্রয়োগ করা হয়

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

কিছু স্যাঁতসেঁতে জন্য । সাধারণ sensক্যমত্য বলে মনে হয় যে গুণক স্মুথারগুলির আরও অনেকগুলি দ্রুত রূপান্তর বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে আমি ভাবছিলাম: কোন পরিস্থিতিতে এই অ্যালগরিদমের সংযোজনীয় রূপগুলির কার্যকারিতা আরও ভাল? $\lambda_i$

আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলা যায়, কারও কি এমন কোনও ব্যবহারের ক্ষেত্রে রয়েছে যেখানে অ্যাডিটিভ ভেরিয়েন্টটি উচিত এবং / অথবা গুণক বৈকল্পিকের চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে আরও ভাল সম্পাদন করে? এর কি তাত্ত্বিক কারণ আছে? মাল্টিগ্রিডের বেশিরভাগ সাহিত্য অ্যাডেটিভ পদ্ধতি সম্পর্কে মোটামুটি হতাশাবাদী , তবে এটি ডিডি প্রসঙ্গে অ্যাডেটিভ শোয়ার্জ হিসাবে এত বেশি ব্যবহৃত হয়। এটি লিনিয়ার এবং ননলাইনার সলভারগুলি রচনা করার আরও সাধারণ সমস্যার ক্ষেত্রেও প্রসারিত এবং কোন ধরণের নির্মাণগুলি সমান্তরালভাবে ভাল সম্পাদন করবে এবং ভাল সম্পাদন করবে।

— পিটার ব্রুনে
সূত্র

6

সংযোজন পদ্ধতি আরও সম্মতি প্রকাশ করে। আপনি যদি এই সম্মতিটি ব্যবহার করতে পারেন তবে এগুলি সাধারণত গুণক পদ্ধতির চেয়ে দ্রুত হয়। উদাহরণস্বরূপ, মাল্টিগ্রিডের মোটা স্তরের সাধারণত বিলম্ব-সীমাবদ্ধ। আপনি যদি মোটা স্তরগুলিকে আরও ছোট সাবকমিনিউসেক্টরগুলিতে সরিয়ে নিয়ে থাকেন তবে তা সূক্ষ্ম স্তর থেকে স্বাধীনভাবে সমাধান করা যেতে পারে। একটি গুণমূলক স্কিমের সাথে, মোটা স্তরগুলি সমাধান করার সময় সমস্ত প্রকোককে অপেক্ষা করতে হবে।

এছাড়াও, যদি অ্যালগরিদমকে প্রতিটি স্তরের হ্রাস প্রয়োজন হয় তবে সংযোজনীয় রূপটি তাদের একত্রিত করতে সক্ষম হতে পারে যেখানে গুণক পদ্ধতিটি ক্রমহীন তাদের সম্পাদন করতে বাধ্য হয় is

— জেড ব্রাউন
সূত্র

এটি আমি পেয়েছিলাম এমন উত্তরটি পেয়েছি, তাই আমি অনুমান করি যে আমি এই প্রশ্নটি নিয়ে আরও এগিয়ে যাব। এমন কি পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে ডিডি এবং এমজি সহ অ্যাডিটিভলি পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়, তবে ফিল্ডস্প্লিটিং (যা ডিডি-এর মতো বিবেচিত হতে পারে তবে অনুশীলনে বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য থাকতে পারে) বা পিডিই বিভাজন কার্যকারিতা, দৃust়তা বা স্থায়িত্বের ক্ষেত্রে গুণক বৈকল্পিকের চেয়ে আরও ভাল?

— পিটার ব্রুন

1

বহু অ্যালগরিদমের গুণিত সংস্করণগুলিতে আরও তথ্য সংরক্ষণ করা দরকার তবে কখনও কখনও মোটামুটি দ্রুত রূপান্তরিত হয়। কখনও কখনও অ্যাডিটিভ ভেরিয়েন্টগুলি প্রতিসম হয়, তবে গুণিতক প্রতিসাম্য তৈরি করতে এটি আরও অনেক বেশি কাজ হতে পারে। ফিল্ডস্প্লিটের সাহায্যে, আপনি যখন এই অতিরিক্ত সলভ যুক্ত করেন তখন পূর্ব শর্তটি আরও আনুমানিক হয়ে উঠতে পারে। আপনি যদি পছন্দ করেন তবে আমরা এটি পিইটিএসসি স্টোকসের উদাহরণ দিয়ে প্রদর্শন করতে পারি। সংযোজকটি সবসময় ভেক্টরাইজ করা / আরও একযোগে সহজ হয় তবে এর থেকে যে কোনও পারফরম্যান্স জয় সমস্যা- এবং আর্কিটেকচার-নির্দিষ্ট।

— জেদ ব্রাউন

5

এসপিডি সমস্যার জন্য অ্যাডিটিভ পদ্ধতি এমজি স্মুথ করার জন্য বেশ কয়েকটি কারণে ইতিমধ্যে উল্লিখিত হিসাবে আরও কয়েকটি কারণ:

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

বহুবৃত্তীয় পদ্ধতিতে এমজি স্মুথারের জন্য বাক্সের সোজা-বাইরে-বাক্সে সঠিক বর্ণালী বৈশিষ্ট্য রয়েছে, অর্থাত, তাদের স্যাঁতসেঁতে লাগবে না। হাইপারবোলিক সমস্যার জন্য এটি একটি বড় জয় হতে পারে যেখানে বহুবর্ষীয় স্মুথিং খুব সুন্দর নয়।

— অ্যাডামস
সূত্র

0

@ জেদ যা বলেছিলেন তা আমি পুনরায় ফিরিয়ে আনব: মাল্টিপ্লিকটিভ পদ্ধতিটি সর্বদা অ্যাডিটিভ পদ্ধতিতে (অ্যাসিপটোটিকিকভাবে) রূপান্তর করে, তাই আপনি কেবল সম্মিলনের ভিত্তিতে জয়ী হন তবে এটি আর্কিটেকচার নির্ভর।

— ম্যাট নিপলি
সূত্র

প্রযুক্তিগতভাবে সঠিক নয়, গৌস-সিডেল বলার জন্য পুনরাবৃত্তির ম্যাট্রিক্সের বর্ণালীটি জেকবীর চেয়ে সমানভাবে উন্নত নয় (যেমন, একটি জেকোবি পুনরাবৃত্তির সাহায্যে একটি আদিবাসী মারা যায়)। চিহ্নিত করুন (আমি জেড হিসাবে কীভাবে লগ আউট করব ...)

— জেড ব্রাউন