আসল অংশ থেকে বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার সংখ্যাগতভাবে পুনরুদ্ধার

আমার অবস্থা.

আমার একটি জটিল ভেরিয়েবলের একটি ফাংশন রয়েছে একটি জটিল ইন্টিগ্রালের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত। আমি যে বিষয়ে আগ্রহী তা হ'ল কল্পিত অক্ষরে এই ফাংশনের মান। নিম্নলিখিত সংখ্যাগত অ্যাক্সেস রয়েছে: । আনুষ্ঠানিকভাবে অবিচ্ছেদ্য এক্সপ্রেশনটি এই ডোমেনের বাইরে বিবিধ, এবং তাই আমার একটি বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা প্রয়োজন। একটি ছবিতে আমার পরিস্থিতি সংক্ষেপে, $f(z)$ $z=(x,y)\in (-\infty,\infty)\times[-1,1]$

সংখ্যার দিক থেকে এই ফিতাটিতে আমি সম্পর্কে কী জানি know $f(z)$

এটি একইসাথে কাল্পনিক এবং বাস্তব অক্ষগুলি সম্পর্কে প্রতিসম হয়।
এটি শূন্যের সিদ্ধান্ত নেয় । $Re(z)\rightarrow\infty$
এটি near দিকে উড়ে যায় । এটি মেরু বা একটি শাখা পয়েন্ট হতে পারে, আমি জানি না। আমি এই একাকীত্বের প্রকৃতি সন্দেহ করি (এবং সম্ভবত বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতার সমস্ত বিচ্ছিন্ন এককতা) এই ফাংশনের নির্দিষ্ট প্যারামিটারাইজেশন উপর নির্ভর করে (বিশদের জন্য নীচে অবিচ্ছেদ্য দেখুন) $z=\pm i$ $\xi$

বাস্তবে এটি কোনও বা প্লট করার সময় একটি to এর সাথে খুব মিল রয়েছে । এখানে আসল অংশের একটি চক্রান্ত রয়েছে: $\text{sech}^2(z)$ $1/(1+z^2)^{2n}$

আমার প্রশ্নটি হ'ল ফাংশনটি সম্পর্কে আমার কাছে নিখুঁত পরিমাণ তথ্য (সেই ফিতাটিতে এটিতে মোট সংখ্যাগত অ্যাক্সেস) দেওয়া আছে, আমার কাছে কল্পিত অক্ষের সাথে এই ফাংশনের একটি সংখ্যার গণনা করার কোনও উপায় আছে? আমি ম্যাথমেটিকাকে ব্যবহার করছি।

কাল্পনিক অক্ষ বরাবর আমি যে মূল্যবোধগুলিতে আগ্রহী সে কারণ হ'ল এই ফাংশনের নীচের ফুরিয়ার রূপান্তরটি মূল্যায়ন করতে হবে:

\begin{matrix} (1) & \bar{f} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} d x e^{i t x} \frac{1}{x^{2} + x_{0}^{2}} f (x) \end{matrix}

$\bar{f}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{itx}\frac{1}{x^2+x^2_0} f(x) \tag{1}$

জন্য বড় মান , যা আমার ক্ষেত্রে অনুক্রম আসলে । যদিও আমি ইন্টিগ্রান্ডটি ভালভাবে জানি, এই ফুরিয়ার রূপান্তরটি দৃ .়ভাবে দোলক, সুতরাং এটির গণনা করার উপায় আমি জানি না এমন একমাত্র উপায় হল একটি কনট্যুর ইন্টিগ্রেশন। $t$ $10$

আমি যা চেষ্টা করেছি

আমি আসলে চূড়ান্ত অত্যন্ত দোলক অবিচ্ছেদ্য, eq গণনা করার চেষ্টা করেছি। (1)। মূল্য নির্ধারণ। (1) 't' এর একক মানের জন্য গণনা করতে কয়েক ঘন্টা সময় লাগে। আমি ইতিমধ্যে এর কয়েকটি অবিচ্ছেদ্য করেছি এবং ফলাফলগুলি বাস্তবে বোঝায়, তবে আমি একটি বিকল্প পদ্ধতি চাই।
আমি প্যাড আনুমানিকদের সাথে বিশ্লেষণাত্মকভাবে চালিয়ে যাওয়ার চেষ্টা করেছি, তবে এটি গণনাগতভাবেও ব্যয়বহুল, তবে সরাসরি মূল্যায়নের মতো নয়। আরও গুরুত্বপূর্ণ বিষয়, আমি আনুমানিকদের ক্রমবর্ধমান ক্রমের সাথে সংযোগ স্থাপন করতে পারি না (না তাদের আংশিক অঙ্কের গড়ও!) যা মতো সরল ফাংশনগুলির সাথে আমার পরীক্ষাগুলি (আই গিয়েছিল তার বিপরীতে is সহজেই সাধারণ পরীক্ষার ফাংশন সহ জটিল প্লেনের বিস্তৃত পরিসরে খুব দ্রুত একত্রিত হতে পারে )। $\text{sech}^2(z)$ $z$
আমি লাভজনক প্রতীকী ইন্টিগ্রেশন চেষ্টা করেছি। আমি গাণিতিকের জন্য আরও হজম আকারে ইন্টিগ্রান্ডটি মালিশ করার চেষ্টা করেছি, তবে আমার প্রচেষ্টা সফল হয়নি।

আপত্তিকর ইন্টিগ্রাল।

আমরা যে আগ্রহী জটিল সংখ্যায় আগ্রহী ( পূর্বের আলোচনায় এর ভূমিকা পালন করি) এমন কি , , এবং ইতিবাচক আসল সংখ্যা হয়ে । নির্ধারণ: $k_4$ $k_{\perp}$ $\xi$ $\alpha$ $E$ $z$

\begin{aligned} p_{1}^{2} & = {(k_{4} + \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + α^{2} \\ p_{2}^{2} & = {(k_{4} - \frac{1}{2} E)}^{2} + k_{⊥}^{2} + (1 - α)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} p_1^2&=\left(k_4+\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+\alpha^2\\ p_2^2&=\left(k_4-\frac{1}{2}E\right)^2+k_{\perp}^2+(1-\alpha)^2 \end{align}$

আমি যে অবিচ্ছেদ্য আগ্রহী সেগুলি হ'ল:

\begin{aligned} f (E; α, ξ) & = \int_{- \infty}^{\infty} d k_{4} \int_{0}^{\infty} d (k_{⊥}^{2}) [\frac{α (1 + p_{1}^{2})^{3 ξ / 2} (1 + p_{2}^{2})^{ξ / 2}}{(1 + p_{1}^{2} (1 + p_{1}^{2})^{2 ξ}) (1 + p_{2}^{2} (1 + p_{2}^{2})^{2 ξ})} + + (p_{1} \leftrightarrow p_{2})] \end{aligned}

$\begin{align} f(E;\,\alpha,\xi)&=\int_{-\infty}^{\infty} dk_4 \int_{0}^{\infty} d(k_{\perp}^2)\left[\frac{\alpha (1+p_1^2)^{3\xi/2}(1+p_2^2)^{\xi/2}}{(1+p_1^2(1+p_1^2)^{2\xi})(1+p_2^2(1+p_2^2)^{2\xi})}+\\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,+(p_1\leftrightarrow p_2)\right] \end{align}$

যেখানে আমি সংক্ষিপ্ততার জন্য ইন্টিগ্রেন্ডে ক্রিয়ামূলক নির্ভরশীলতার স্বরলিপিটি দমন করেছি। আমি বিশেষত মান , , এবং (উপরে বর্ণিত হিসাবে) জন্য ফুরিয়ার রূপান্তর (1) এর মানগুলিতে আগ্রহী । $\xi=1,2,3$ $0<\alpha<1$ $t~10$

integration mathematica complex-analysis

— আর্টুরো ডন জুয়ান
সূত্র

সংখ্যার বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা এখানে অবশ্যই সহায়ক? আপনি যদি এর পরিবর্তে এটি বরাবর মূল্যায়ন গেল , যেখানে এর integrand হবে ব্যাখ্যা মূলকভাবে ক্ষয়িষ্ণু কিন্তু সরাসরি পাওয়া যায়? এটি কিছুটা অবাক করেও যে দোলক অবিচ্ছেদ্য মূল্যায়ন করা যায় নি, কারণ সাধারণত দোলক সংহতগুলির জন্য বিশেষায়িত পদ্ধতিগুলি মতো দ্রুত বহুত্ব-ক্ষয়কারী কার্য পরিচালনা করতে সক্ষম হয় । আমি এটি বলছি কারণ গাণিতিকায় অবিচ্ছেদ্যতার সাথে খেলার পরে আমি উদ্বিগ্ন যে সংখ্যার বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতা একটি অন্ধ পথ হতে পারে।

R + 0.99 i

$\mathbb{R}+0.99\mathrm{i}$

\bar{f}

$\bar f$

f

$f$

f

$f$

— কিরিল

আমি সরাসরি গাণিতিকায় অবিচ্ছেদ্য বাস্তবায়ন করার চেষ্টা করেছি এবং আমার ল্যাপটপে 20 এর দশকে মূল্যায়ন করার জন্য এটি পেয়েছি : দুর্দান্ত নয়, কয়েক ঘন্টাও নয়। আমি কীভাবে সরাসরি মূল্যায়ন করতে পারি তার জন্য কোনও উত্তর লিখে রাখলে এটি আপনাকে সহায়তা করবে?

\bar{f}

$\bar f$

— কিরিল

@ কিরিল সংখ্যা বিশ্লেষণাত্মক ধারাবাহিকতায় বহু ব্যর্থ প্রচেষ্টার পরে আমি আন্তরিকভাবে আপনার প্রথম মন্তব্যে একমত হতে আগ্রহী। দয়া করে আপনি যদি 20 এর দশকে evalu মূল্যায়ন করতে সক্ষম হন তবে আমি লেখার জন্য খুব কৃতজ্ঞ হব। যাইহোক, এটি যুক্ত করতে সাহায্য করতে পারে যে এটি কেবলমাত্র of এর একক মূল্যায়ন যা ঘন্টা সময় নিচ্ছিল তা নয়, প্রায় 30 টি মূল্যায়ন ( আকারের সাথে for এর জন্য মূল্যায়ন )। একটি একক মূল্যায়ন যদিও আমাকে প্রায় 14 মিনিট সময় নিচ্ছে।

\bar{f}

$\bar{f}$

\bar{f}

$\bar{f}$

α \in [- 1, 2]

$\alpha\in [-1,2]$

0.1

$0.1$

— আর্তুরো ডন জুয়ান

আমি এটি লিখে রেখেছি, তবে আমি আমার কোড সহ একটি সমস্যা আবিষ্কার করেছি, তাই আমি যেটি গণনা করেছি তা আদৌ কার্যকর কিনা তা আমি নিশ্চিত নই। আপনার কি কোনও জ্ঞাত-বৈধ রেফারেন্স মান আছে?

— কিরিল

দ্রষ্টব্য: আমি এই মুহুর্তে কিছুটা চিন্তিত যে গাণিতিক আমাকে যে অবিচ্ছেদ্য মান দেয় তা বগু। আমি ভেবেছিলাম এটি কার্যকর ছিল কারণ এটি অল্প সময়ের মধ্যে একটি বুদ্ধিমান-চেহারার ফলাফল দিয়েছে, তবে এটির ক্ষেত্রে এটি যে পদ্ধতিটি ব্যবহারের চেষ্টা করে তা বগি বা আমি কিছু ভুল করেছি। সুতরাং এটি হতে পারে যে নীচের কোডটি কিছু কাজ করছে না, আমি জানি না, দুঃখিত।

দ্রষ্টব্য 2: এটি আমাকে বিরক্ত করেছিল, তাই আমি জুলিয়া এবং জিএসএল ব্যবহার করে আরেকটি সংস্করণ ( কোড কোডের কোডের জন্য এখানে দুঃখিত) লিখেছিলাম এবং এটি gম্যাথমেটিকা নীচে যে উত্তর দেয় তার 2 সেকেন্ডে মূল্যায়ন করে। সুতরাং আমি মনে করি কোডটি সম্ভবত ঠিক আছে।

সংখ্যা বিশ্লেষণী ধারাবাহিকতা সম্পর্কে আমি সন্দেহজনক হওয়ার প্রধান কারণটি হ'ল আমার সীমিত পরীক্ষায় আপনার অবিচ্ছেদ্য আসলে দেখতে বেশ সুন্দর লাগছিল। বিশেষত, এবং উভয়ই ক্ষয়িষ্ণু এবং বহুগুণে দ্রুত সংহত হয়েছে এবং প্রচলিত চতুর্ভুজ রুটিনগুলি ভালভাবে পরিচালনা করার জন্য এটি ঠিক সাজানো হয়েছে। কোনও কৌশলগত এককত্ব নেই। $f$ $\bar f$

সংখ্যার একীকরণের সাথে আমার অতীত অভিজ্ঞতা আমাকে বিশ্বাস করতে পরিচালিত করে যে ফ্যানসিয়ার গাণিতিক পদ্ধতিগুলি কখনও কখনও দর্শনীয়ভাবে সহায়ক হতে পারে, তবে এটিও যে সংখ্যার ফুরিয়ার রূপান্তরকরণ এবং যৌক্তিক এবং বীজগণিত ফাংশনগুলির সংহতকরণকে সংখ্যার একীকরণের অ্যালগরিদমের রুটি-এবং-মাখন হয়, তাই প্রায়ই সতর্কতার সাথে অ্যালগরিদমগুলি বাছাই করে এবং তাদের পরামিতিগুলির সাথে খেলতে সহজ অগ্রগতি করুন। গাণিতিক কৌশলটি কীভাবে সঠিকভাবে কাজ করা যায় তা দেখার পক্ষে যদি কষ্ট হয় তবে এটি সাধারণত সহজ বিকল্প।

ClearAll[ξ, α, p1, p2, fi, f, g];
ξ = 1;
α = 1/2;
fi[e_, k4_, kp_] := Module[{
   p1 = (k4^2 + e/2)^2 + kp^2 + α^2,
   p2 = (k4^2 - e/2)^2 + kp^2 + (1 - α)^2},
  2 * (* because integrate k4 over (0,∞) *)
   2 kp * (* because d(kp^2) *)
   (α (1 + p1)^(3 ξ/2) (1 + p2)^(ξ/2)) /
     ((1 + p1 (1 + p1)^(2 ξ)) (1 + p2 (1 + p2)^(2 ξ)))
  ]
f[e_?NumericQ] := NIntegrate[
   fi[e, k4, kp], {k4, 0, ∞}, {kp, 0, ∞},
   Method -> {Automatic, "SymbolicProcessing" -> 0}];

(* !!! This gives a bogus result: *)
gBogus[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[
  Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -∞, ∞}, 
  Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
    "SymbolicProcessing" -> 0}]

(* This gives *a* result, different from above despite being equivalent *)
g[t_?NumericQ, e0_?NumericQ] := 
 NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, -\[Infinity], 0}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]] +
  NIntegrate[Exp[I t e]/(e^2 + e0^2) f[e], {e, 0, \[Infinity]}, 
   Method -> {"DoubleExponentialOscillatory", 
     "SymbolicProcessing" -> 0},
   EvaluationMonitor :> Print["e=", e]]

ফলাফল:

In[18]:= Timing@g[10,1]
Out[18]= {78.0828, 0.0000704303 + 9.78009*10^-6 I}

In[338]:= Timing@g[1,1]
Out[338]= {14.3125,0.389542 +0.024758 I}

আমি ম্যাথামেটিকাকে ইন্টিগ্রেন্ডগুলি প্রতীকীভাবে প্রসেসরোস করার জন্য শূন্য সময় ব্যয় করিয়েছি, কারণ এই ক্ষেত্রে এটি কোনওভাবেই এটি সম্পর্কে দরকারী কোনও জিনিস বের করতে সক্ষম হত না। আমি এটিকে দ্বিতীয় ইন্টিগ্রালের জন্য বিশেষ করে একটি দোল চতুর্ভুজ পদ্ধতি ব্যবহার করতে বলেছি।

কেন এলোমেলোভাবে ইন্টিগ্রেশন কৌশল (দেখুন পরিবর্তন ঘটানোর জন্য আমার অনুমান NIntegrateIntegrationStrategies ) কাজ করে এ সব হল যে কখনও কখনও ম্যাথামেটিকাল ঘটনাক্রমে স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি খারাপ কৌশল বাছাই পারে, কর্মক্ষমতা হত্যা, যেহেতু কিছু আমি এটা জিজ্ঞাসা করতে হয় কমপক্ষে একটি সামান্য বিট যদি দরুণ পর্যাপ্ত অর্থপূর্ণ এমনকি। আপনি https://mathematica.stackexchange.com এ সহায়তা পাওয়ার বিষয়েও বিবেচনা করতে পারেন , তারা সেখানে ম্যাথমেটিকার ইন্টার্নালগুলি সম্পর্কে আরও জানতে পারে।

— কিরিল
সূত্র

ধন্যবাদ, আমি প্রকৃতপক্ষে নিখরচায় বিকল্পগুলি / কৌশলগুলি নিয়ে ফিডিং সম্পর্কে ভাবিনি। ওহ, এবং BTW উপর অবিচ্ছেদ্য থেকে যায় থেকে থেকে না থেকে । ফলাফলটি একটি প্রতিসম / এমনকি ফাংশন হওয়া উচিত, এবং তাই ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মে কোনও কল্পিত অংশ থাকা উচিত নয়। এছাড়াও, আপনি কেন (আপনার কোডের শেষে) আপনি যেভাবে সংজ্ঞা দিয়েছেন তা আমি সত্যিই বুঝতে পারি না । প্রথম "মূল্যায়নমনিটর" দিয়ে শুরু করা সমস্ত জিনিস কীসের জন্য?

k_{4}

$k_4$

- \infty

$-\infty$

\infty

$\infty$

0

$0$

\infty

$\infty$ g[t,e0]

— আর্তুরো ডন হুয়ান

@ArturodonJuan আপনি কি নিশ্চিত মধ্যে প্রতিসম হয় ? সংখ্যার ক্ষমতাগুলি পৃথক এবং এবং এর অধীনে বিনিময়যোগ্য নয় । আপনার ফাংশনটি আমার কাছে প্রতিসম লাগে না, যদি না আমি কিছু ভুল করি। জন্য আমি ই-ইন্টিগ্রালটি কে চেয়ে ওভার । মূল্যায়নমিটার এটি ডিবাগ করা থেকে বাকি আছে।

f

$f$

E

$E$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

E \leftrightarrow - E

$E\leftrightarrow -E$

k_{4}

$k_4$

2 \times

$2\times$

(0, \infty)

$(0,\infty)$

— কিরিল

(1) ওহ হ্যাঁ, দুঃখিত আপনি ঠিক বলেছেন। আমার প্রকৃত অভিব্যক্তি / আগ্রহের অবিচ্ছেদ্য হ'ল আমি প্লাস যা এটি প্রতিসাম্য করে তোলে । আমি আমার মূল পোস্টে এটি স্পষ্ট করা উচিত ছিল। (2) আমি আমার সংজ্ঞা একটি ভুল । নয়, প্যারেন্টিজেসে কে একটি শক্তি থাকতে হবে। আমি সবে যে পরিবর্তন করেছি।

p_{1} \leftrightarrow p_{2}

$p_1\leftrightarrow p_2$

E

$E$

p_{1, 2}

$p_{1,2}$

k_{4}

$k_4$

— আর্টুরো ডন জুয়ান

@ আর্টুরোডজান জুয়ান আমার ধারণা উত্তরটি কীভাবে কার্যকর হয় তাতে কোনও পার্থক্য নেই, কেবল সংখ্যা পরিবর্তন হবে।

— কিরিল