বহু ধারাবাহিকের সাথে অনুমান করা কঠিন এমন একটি ক্রমাগত ফাংশনের উদাহরণ

Question

শিক্ষার প্রয়োজনে আমার একক ভেরিয়েবলের অবিচ্ছিন্ন ক্রিয়াকলাপ প্রয়োজন যা বহুবচনগুলির সাথে অনুমান করা "কঠিন", অর্থাত্ এই ফাংশনটি ভালভাবে "ফিট" করার জন্য একটি পাওয়ার সিরিজে খুব উচ্চ শক্তির প্রয়োজন হবে। বিদ্যুত সিরিজ দিয়ে কী অর্জন করা যায় তার "সীমাবদ্ধতা" আমি আমার শিক্ষার্থীদের দেখানোর ইচ্ছা করি nd

আমি কিছু "গোলমাল" করার কথা চিন্তা করেছিলাম, তবে আমি নিজেই নিজেকে ঘূর্ণায়মান করার পরিবর্তে ভাবছিলাম যে এক ধরণের স্ট্যান্ডার্ড "কঠিন ফাংশন" আছে যা লোকেরা পরীক্ষার জন্য প্রায় / ইন্টারপোলেশন অ্যালগরিদমের পরীক্ষার জন্য ব্যবহার করে, কিছুটা একইভাবে সেই অপটিমাইজেশন টেস্ট ফাংশনগুলির সাথেও অনেকগুলি রয়েছে স্থানীয় মিনিমা যেখানে নিষ্পাপ আলগোরিদিমগুলি সহজে আটকে যায়।

এই প্রশ্নটি যদি সঠিকভাবে গঠন না করা হয় তবে ক্ষমাপ্রার্থী; অনুগ্রহ করে অ-গণিতজ্ঞের প্রতি দয়া করুন।

Answer 1

কেন কেবল পরম মান ফাংশনটি দেখায় না?

উদাহরণস্বরূপ সাথে লেজেন্ড্রে-বহুপদী সম্প্রসারণ কাজ করে তবে বেশ খারাপভাবে :

টেলর সম্প্রসারণ অবশ্যই এখানে সম্পূর্ণরূপে অকেজো, সর্বদা কেবল একটি লিনিয়ার ফাংশন দেয়, হয় সর্বদা হ্রাস বা সর্বদা বাড়তে থাকে (আপনি যে বিন্দুটির চারপাশে প্রসারিত করবেন তা নেতিবাচক বা ইতিবাচক কিনা তার উপর নির্ভর করে)।

Comments

আপনি এক্সপোলেট করতে পারেন | x | চেবিশেভ অন্তরঙ্গকরণ ব্যবহার করে, দেখুন এনবিভিউর.জুপটার.আর / গিথুব /cpraveen/na/blob/master/… যা বেশ দ্রুত রূপান্তরিত হয়। উদাহরণস্বরূপ, আপনি কোডটিতে N = 2 * i পরিবর্তন করতে পারেন এন = 15 + i এবং বৃহত্তর ডিগ্রি পরীক্ষা করতে। এটি কোনও সম্প্রসারণ পদ্ধতি নয় তবে এখনও বহুভিত্তিকের উপর ভিত্তি করে।

— সিএফডিলেট 2

@ প্রবীণচন্দ্রেশেকর চেবিশেভ "আরও ভাল" কাজ করেছেন কারণ এটি বিরতিটির বাইরের অংশগুলিতে আরও বেশি ওজন রাখে যেখানে ফাংশনটি মসৃণ হয়। সুতরাং অত্যধিক দোলন এড়ানো হয়, তবে এটি ফাংশনটি আরও ভালভাবে সন্দেহজনক বলে মনে করে - এটি বিশেষত অভিন্ন-বিচ্ছিন্ন-পয়েন্ট বা এল 2- মিনিমিশনের চেয়েও খারাপ ধারন করে capture যদি আপনার লক্ষ্য উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি উপাদানগুলি এড়িয়ে চলেছে তবে আরও ভালভাবে একটি অবিচ্ছেদ্য রূপান্তর ব্যবহার করুন যা এই উপাদানগুলিকে সঠিকভাবে স্যাঁতসেঁতে দেয়। $x=0$$L^2$

— বাম দিকের বাইরে

চেবিশেভ অন্তরঙ্গকরণের মতো অ-ইউনিফর্ম পয়েন্টগুলি রাখা পুরোপুরি ঠিক। 20 ডিগ্রি সহ, এটি আপনার পোস্টে আপনি যে লেজেন্ড্রে দেখান তার চেয়ে অনেক বেশি নির্ভুল আনুমানিকতা দেয়। ত্রুটিগুলি আরও পরিমাণগত হতে পরিমাপ করুন। আপনি চেবিশেভ সিরিজ | x | এর সমীকরণও করতে পারেন যা লেজেন্ড্রে সম্প্রসারণের চেয়ে আরও সঠিক।

— সিএফডল্যাব

@PraveenChandrashekar বিন্দু যে polynomials হয় নীতিগতভাবে মত একটি ফাংশন আনুমানিক করতে পারবেন সঠিকভাবে। এর বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে যার মধ্যে কিছুটা আরও কম বা দর্শনীয়ভাবে ব্যর্থ হয় তবে এগুলির কোনওটিই "কেবলমাত্র কয়েকটি পদ এমন কিছু দেয় যা মূল ফাংশনের জন্য ভুল হতে পারে" অর্থে ভালভাবে কাজ করে না । যদি আপনার অবশ্যই বহুবচন ব্যবহার করা হয় তবে আপনাকে বিবেচনা করতে হবে যে কোন ধরণের ত্রুটি আরও সমস্যাযুক্ত, লেজেন্ড্রে এবং চেবিশেভ উভয়ের ক্ষেত্রেই তাদের ব্যবহারের ঘটনা রয়েছে তবে রূপালী বুলেট নেই। শেষ পর্যন্ত, উদাহরণস্বরূপ স্প্লিংসের সাথে একটি পদ্ধতির সাধারণত আরও কার্যকর। $x \mapsto |x|$

— বাম দিকের বাইরে

আমরা জানি কোন সঠিক পদ্ধতি নেই। বহুবিবাহের পক্ষে আনুমানিকভাবে কার্যকরী হওয়াগুলি কী এমন প্রশ্ন। সুতরাং তাদের কোনও একটি ভাল কাজ না করার সিদ্ধান্ত নেওয়ার জন্য বহুভিত্তিক জড়িত সমস্ত সম্ভাব্য পদ্ধতি দেখতে হবে। লেজেন্ড্রেটি আনুমানিক | x | এর সেরা উপায় নয় এবং তাই এটি একটি বরং মিথ্যা ধারণা দেয় যে বহুভুজ | x | এর জন্য খুব খারাপ। লেগ্রেডের চেয়ে চেবিশেভের সাথে আপনার একত্রীকরণ এবং অনেক ভাল অনুমান রয়েছে, তারা লেজেন্ড্রির মতো এত খারাপভাবে দোলা দেয় না, যদিও ক্রমটি যথেষ্ট পরিমাণে মসৃণ নয়, যেখানে ধীরে ধীরে x = 0 এর কাছাকাছি রূপান্তরিত হয়।

— সিএফডল্যাব

Answer 2

এটি একটি প্যাথলজিকাল কেস, তবে আপনি সর্বদা ওয়েয়ার্সট্রাস দৈত্য ফাংশনটি অবলম্বন করতে পারেন । এটি একটি বিস্তৃত বিন্দুর চিত্রিত করে, যেমন ফাংশনগুলি মসৃণ নয় - যেমন - একটি গিঁট রয়েছে - আনুমানিক করা মুশকিল কারণ বিরতিযুক্ত ত্রুটি অনুমানের ফলে ফাংশনটিকে বহুবার পৃথক করা যায়। অন্য কথায়, আপনি ওয়েয়ারসট্রাস ফাংশনটি খুব বেশি পছন্দ না করলে আপনি সর্বদা কেবল চয়ন করতে পারেন ।$|x|$

Comments

ধন্যবাদ, "আমি 'কোলাহলপূর্ণ কিছু' নিয়ে ভাবলাম" এর অর্থ হ'ল এটিই। খুব ভাল উদাহরণ আইএমও।

— ল্যারিক্স ডিসিদুয়া

Answer 3

আনুষঙ্গিকতা কেবল ফাংশন দ্বারা আনুমানিক হওয়ার জন্যই কঠোর হয় না তবে অন্তর দিয়েও যেটি অনুমান করা উচিত "ভাল ফিট"। এবং আপনার একটি "ভাল ফিট" এর জন্য পরিমাপটি সংজ্ঞায়িত করা উচিত, অর্থাৎ আপনি সহ্য করতে চান এমন সর্বোচ্চ (পরম বা আপেক্ষিক) ত্রুটিটি কী?

$\exp(x)$$[0,10]$$\sin(x)$$[0,2\pi]$

Comments

টেলর সম্প্রসারণ আনুমানিক ফাংশনগুলির জন্য একটি ভাল পদ্ধতি নয় এই বিষয়টিটি বলার জন্য আমি আমার কোর্সে এ জাতীয় উদাহরণগুলি দেখাই।

— সিএফডল্যাব

Answer 4

বহুবচনগুলি ফাংশনের আনুমানিক [1] এ আশ্চর্যজনকভাবে কার্যকর। আপনার যদি কমপক্ষে লিপসিৎজ ধারাবাহিকতা থাকে তবে চেবিশেভ আনুমানিক রূপান্তরিত হবে। অবশ্যই, রূপান্তরটি ধীর হতে পারে এবং এটি অ-মসৃণ ফাংশনটি মোকাবেলার জন্য আমরা মূল্য দিচ্ছি pay

বর্তমানে কম্পিউটারগুলি যে দিনগুলিতে অনেকগুলি সংখ্যার বিশ্লেষণের বই রচিত হয়েছিল তার চেয়ে অনেক দ্রুত গতিময় এবং চৌকস অ্যালগরিদমগুলি গতি আরও বাড়িয়েছে যাতে আরও পদ ব্যবহার করা আগের মতো খারাপ নাও হতে পারে।

ওয়েয়ারসট্রাস দানব ফাংশনের মতো প্যাথলজিকাল উদাহরণগুলি তাত্ত্বিক দৃষ্টিকোণ থেকে আকর্ষণীয়, তবে তারা বেশিরভাগ বাস্তব প্রয়োগ প্রসঙ্গে প্রতিনিধিত্ব করে না।

$|x|$$x=0$

বহুবর্ষের সাথে সান্নিধ্যে অসুবিধা শেখানো গুরুত্বপূর্ণ, তবে শিক্ষার্থীদের এও বলা গুরুত্বপূর্ণ যে আমরা ত্রুটি অনুমান এবং এই সমস্যাগুলি মোকাবেলা করতে পারে এমন অভিযোজনমূলক অ্যালগরিদম তৈরি করতে পারি।

[1] https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/mythspaper.pdf

[2] http://www.chebfun.org

Comments

আইএমও বিষয়টির একটি খুব ভাল জরিপ লয়েড ট্রেফথেনের "পৌরাণিক কাগজ" সংযুক্ত করার জন্য +1, ধন্যবাদ।

— ল্যারিক্স ডিসিডুয়া

Answer 5

$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$

$\frac{1}{x^2+1} = 1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+x^{12} - \ldots$

$-1<x<1$$x=0$$x=2$

Answer 6

$y = sin(x)$

Comments

$y=\sin(\frac{1}{x})$

— sfmiller940