উচ্চতর অর্ডারের সংখ্যাগত স্থায়িত্ব জার্নিক বহুভুক্ত

আমি কিছু চিত্রের জন্য উচ্চতর অর্ডার (যেমন m=0,, n=46) জার্নাইক মুহুর্তগুলি গণনা করার চেষ্টা করছি । যাইহোক, আমি রেডিয়াল বহুপদী সম্পর্কিত উইকিপিডিয়া সংক্রান্ত একটি সমস্যায় পড়ছি । এটি অন্তর্ভুক্ত [0 1] এ সংজ্ঞায়িত বহুপদী। নীচে ম্যাটল্যাব কোডটি দেখুন

function R = radial_polynomial(m,n,RHO)
    R = 0;
    for k = 0:((n-m)/2)        
        R = R + (-1).^k.*factorial(n-k) ...
            ./ ( factorial(k).*factorial((n+m)./2-k) .* factorial((n-m)./2-k) ) ...
            .*RHO.^(n-2.*k);
    end
end

যাইহোক, এটি সম্ভবত নিকটবর্তী সংখ্যা সংক্রান্ত সমস্যাগুলিতে চলে RHO > 0.9।

আমি এটিকে polyvalভাবতে চেষ্টা করেছিলাম যে এটিতে দৃশ্যের অ্যালগরিদমের পিছনে আরও কিছু ভাল থাকতে পারে তবে এটি কোনও সমাধান করেনি। এটিকে একটি প্রতীকী গণনায় রূপান্তর করা পছন্দসই গ্রাফ তৈরি করেছে তবে সাধারণ গ্রাফ যেমন যেমন দেখানো হয়েছে তেমন মনস্থির মন্থর ছিল না।

এই জাতীয় উচ্চ-অর্ডার বহুপদী মূল্যায়নের একটি সংখ্যাগত স্থিতিশীল উপায় আছে?

matlab polynomials numerical-limitations

— Sanchises
সূত্র

প্রায়শই অরথোগোনাল বহুবচন ব্যবহার করা ভাল, এখানে জ্যাকব বহুবচন রয়েছে । আপনি কি mathworks.com/help/symbolic/jacobip.html এবং

{আর}_{এন}^{মি} (R) = (- 1)^{(এন - মি) / 2} R^{মি} {পি}_{(এন - মি) / 2}^{(মি, 0)} (1 - 2 R^{2}) ?

$R_n^{\,m}(r) = (-1)^{(n-m)/2}\,r^m\,P_{(n-m)/2}^{\,(m,0)}(1-2r^2)?$

— গ্যামমেস্টার

@ গ্যামেস্টার যে কাজ করে! কেন সম্ভবত এমনটি হবে তার উত্তরে আপনি উত্তর দিতে পারেন?

— Sanchises

শুনে ভাল লাগল যে এটি কাজ করে। দুর্ভাগ্যক্রমে আমি দুটি কারণে একটি নির্ধারিত উত্তর দিতে পারি না। প্রথম: যদিও এটি সাধারণত জানা যায় যে অরথোগোনাল বহুবর্ষে স্ট্যান্ডার্ড ফর্মের চেয়ে ভাল স্থায়িত্ব বৈশিষ্ট্য রয়েছে, তবে আমি একটি আনুষ্ঠানিক প্রমাণ জানি না (বিশেষত এই ক্ষেত্রে)। দ্বিতীয় আমি মতলব ব্যবহার করি না এবং প্রয়োগকৃত জ্যাকোবি বহুবচনগুলির জন্য ডেটা দিতে পারি না।

— গ্যামমেস্টার

@ স্যাঞ্চাইজস এখানে নিখরচায় দুপুরের খাবার নেই: কারণ কোনও কিছু বহুপদী বলে বোঝায় না যে ক্ষমতার দিক থেকে সরাসরি সূত্র এটি গণনা করার সঠিক উপায়, এবং জ্যাকবির বহুভুজকে নির্ভুলভাবে গণনা করা একেবারেই তুচ্ছ বিষয় নয় - আপনি করবেন না এটি সহগের মাধ্যমে, সুতরাং এটি এত সস্তা নয়।

— কিরিল

এটি জ্যাকুবি বহুবর্ষগুলি ব্যবহার করার জন্য কাজ করার কারণটি হ'ল আপনি আপনার সূত্রটিতে বিপর্যয়কর বাতিল থেকে মুক্তি পেয়েছেন (খুব বড় সহগের সাথে সেই সমস্ত দোলনীয় কারণগুলি দেখুন!) এবং ডিফল্ট জ্যাকোবি বহুপদী মূল্যায়ন পদ্ধতিটি একটি লাইব্রেরিতে সতর্কতার সাথে প্রয়োগ করা হয়েছে যাতে গ্যারান্টিযুক্ত সঠিক হতে। এখানে বেশিরভাগ কাজটি জেকোবি বহুবচনগুলি সঠিকভাবে মূল্যায়ন করা হয়েছে তা নিশ্চিত করার জন্য করা হয়।

— কিরিল

উত্তর:

ইন এই কাগজ , Honarvar এবং Paramesran একটি খুব সুন্দর রিকার্সিভ ভাবে রশ্মীয় Zernike polynomials গনা একটি আকর্ষণীয় পদ্ধতি আহরণ করা। পুনরাবৃত্তির সূত্রটি আশ্চর্যজনকভাবে সোজা, বড় সংখ্যার দ্বারা বিভাজন বা গুণফল ছাড়াই: ho আমি হনারওয়ার এবং পরমেশরনে চিত্র 1 এ একবার দেখার পরামর্শ দিই কাগজ, যা স্পষ্টভাবে বিভিন্ন জের্নাইক বহুপদীগুলির মধ্যে নির্ভরতা চিত্রিত করে।

{আর}_{এন}^{মি} (ρ) = ρ ({আর}_{এন - 1}^{| মি - 1 |} (ρ) + + {আর}_{এন - 1}^{মি + + 1} (ρ)) - {আর}_{এন - 2}^{মি} (ρ)

$R^m_n(\rho) = \rho \left(R^{|m-1|}_{n-1}(\rho)+R^{m+1}_{n-1}(\rho)\right) - R^{m}_{n-2}(\rho)$

এটি নিম্নলিখিত অক্টাভে স্ক্রিপ্টে প্রয়োগ করা হয়েছে:

clear                                     % Tested with Octave instead of Matlab
N = 120;
n_r = 1000;
R = cell(N+1,N+1);
rho = [0:n_r]/n_r;
rho_x_2 = 2*[0:n_r]/n_r;

R{0+1,0+1} = ones(1,n_r+1);               % R^0_0  Unfortunately zero based cell indexing is not possible
R{1+1,1+1} = R{0+1,0+1}.*rho;             % R^1_1  ==>  R{...+1,...+1} etc.
for n = 2:N,
    if bitget(n,1) == 0,                  % n is even
        R{0+1,n+1} = -R{0+1,n-2+1}+rho_x_2.*R{1+1,n-1+1};                % R^0_n
        m_lo = 2;
        m_hi = n-2;
    else
        m_lo = 1;
        m_hi = n-1;
    end
    for m = m_lo:2:m_hi,
        R{m+1,n+1} = rho.*(R{m-1+1,n-1+1}+R{m+1+1,n-1+1})-R{m+1,n-2+1};  % R^m_n
    end
    R{n+1,n+1} = rho.*R{n-1+1,n-1+1};                                    % R^n_n
end;


Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);
m = 22;
n = 112;
figure
plot(rho,Z(m,n,rho))
hold on
plot(rho,R{m+1,n+1},'r');
xlabel("rho")
ylabel("R^{22}_{112}(rho)")
legend("via Jacobi","recursive");
%print -djpg plt.jpg

m = 0;
n = 46;
max_diff_m_0_n_46 = norm(Z(m,n,rho)-R{m+1,n+1},inf)

উদাহরণস্বরূপ, এই কোড দ্বারা উত্পাদিত চিত্রটি দেখায় যে , এবং , জার্নাইক রেডিয়াল বহুবর্ষগুলি জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালের মাধ্যমে গণনা করা হলে cat কাছে বিপর্যয়কর বাতিল ঘটে cancel অতএব, নিম্ন-ডিগ্রি জার্নাইক বহুপদীগুলির যথার্থতা সম্পর্কেও আমাদের চিন্তিত হতে হবে। $m = 22$ $n = 112$ $\rho = 0.7$

পুনরাবৃত্তিমূলক পদ্ধতিটি স্থিতিশীল উপায়ে এই উচ্চ-অর্ডার জার্নাইক বহুপদী গণনার জন্য অনেক বেশি উপযুক্ত বলে মনে হচ্ছে। তবুও, এবং জন্য জ্যাকোবি এবং পুনরাবৃত্ত পদ্ধতির মধ্যে সর্বাধিক পার্থক্য (কেবল?) , যা আপনার আবেদনের পক্ষে যথেষ্ট সঠিক হতে পারে। $m = 0$ $n = 46$ 1.4e-10

— Wim
সূত্র

আপনার প্লট মতলব-তে কোনও বাগের মতো দেখায় jacobiPD, কোনও জেনেরিক বিপর্যয়কর বাতিলের মতো নয়।

— কিরিল

@ কিরিল: আমি তার উত্তরJacobiPD থেকে সানচাইসেস ব্যবহার করেছি । এটি নিম্ন-অর্ডার বহুপদী জন্য ভাল কাজ করে for উদাহরণস্বরূপ, , স্বেচ্ছাচারী , এবং স্বেচ্ছাচারী দুটি পদ্ধতির মধ্যে পার্থক্য কম । যদিও যোগফলের স্বতন্ত্র পদগুলি ছোট, তবে এটি গুণফলের পরে বড় হতে পারে । তদুপরি তাদের বিকল্প চিহ্ন রয়েছে, যা বিপর্যয়কর বাতিলের জন্য নিখুঁত রেসিপি।

n = 30

$n=30$

m

$m$

ρ

$\rho$ 6.9e-13JacobiPDfactorial(n+a) * factorial(n+b)

— wim

(অবিরত) উদাহরণস্বরূপ এবং এর সাথে অভিব্যক্তিটি বৃহত্তর হয়ে উঠতে পারে , যখন যোগফলটি শেষ পর্যন্ত হয় is আপনি এটিকে বাগ বলতে পারেন, তবে অসীম নির্ভুলতার সাথে উত্তরটি সঠিক হত। "কোন জেনেরিক বিপর্যয় বাতিল নয়" বলতে কী বোঝাতে চেয়েছেন আপনি কি তা ব্যাখ্যা করতে পারেন?

m = 22

$m=22$

n = 112

$n=112$

1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) *              ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s * factorial(n+a) * factorial(n+b)

1.4e18-2.1

— wim

@ উইম আমি খেয়াল করিনি এটি মতলব নয়। যদি কারও জ্যাকবাকি বহুপদী বাস্তবায়ন তাদের উদ্দেশ্যে যথেষ্ট ভাল হয়, তবে এটি কোনও সমস্যা নয়। আমি কেবল এটি একটি বাগ বলেছিলাম কারণ আমি ভুল বুঝেছিলাম এবং ভেবেছিলাম এটি একটি অন্তর্নির্মিত ফাংশন (আমি প্রত্যাশা করি লাইব্রেরির ফাংশনগুলি খুব শক্ত হবে)। "জেনেরিক" দ্বারা আমি বোঝাচ্ছিলাম যে ফাংশনটি কীভাবে প্রয়োগ করা হয় তা আপনি যদি না জানেন তবে আপনি ভুল আউটপুটগুলিকে সমস্ত ধরণের ত্রুটির জন্য ক্যাচ-অল টার্মের মতো বলতে পারবেন না, তবে এটি ছিল আমার ভুল বোঝাবুঝি কোডটি করছিল।

— কিরিল 21

পরিষ্কার হতে হবে: আমার কোডটি পুনরাবৃত্ত হয় না। এটি পুনরাবৃত্ত স্ট্যান্ডার্ড তিনটি মেয়াদী পুনরাবৃত্ত সম্পর্ক (চেবিশেভ বহুবর্ষগুলির সাথে সমতুল্য) যা সাধারণত বহুবর্ষগুলির জন্য হর্নার ফর্মের চেয়ে সাধারণত স্থিতিশীল বলে মনে করা হয়।

— গ্যামমেস্টার

একটি সম্ভাব্য সমাধান (@ গ্যামেটেস্টার দ্বারা প্রস্তাবিত) হ'ল জ্যাকোবি পলিনোমিয়ালগুলি ব্যবহার করা। এটি 'নিষ্পাপ' বহুবর্ষীয় মূল্যায়নের মাধ্যমে বৃহত বহুবচনীয় সহগ যোগ করার ক্ষেত্রে বিপর্যয়কর বাতিলকরণের সমস্যার সমাধান করে।

র‌্যাডিয়াল জার্নাইক বহুপদীটি নিম্নরূপে জ্যাকি বহুপদী দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে ( সমীকরণ দেখুন (6) )

{আর}_{এন}^{মি} (ρ) = (- 1)^{(এন - মি) / 2} ρ^{মি} \cdot {পি}_{(এন - মি) / 2}^{(মি, 0)} (1 - 2 ρ^{2})

$R^m_n(\rho) = (-1)^{(n-m)/2}\rho^m \cdot P^{(m,0)}_{(n-m)/2} \Big(1-2\rho^2 \Big)$

ম্যাটল্যাব-তে, jacobiP(n,a,b,x)বৃহত্তর ভেক্টর / ম্যাট্রিকের জন্য অগ্রহণযোগ্যভাবে ব্যবহার ধীর হয় x=rho। jacobiPফাংশন আসলে প্রতীকী টুলবক্স এর অংশ হওয়ায়, এবং বহুপদী মূল্যায়ন সিম্বলিক ইঞ্জিন, যা অবাধ স্পষ্টতা গতি ব্যবসা করার ডেফার্ড করা হয়। জেকোবি পলিনোমিয়ালগুলির একটি ম্যানুয়াল বাস্তবায়ন এইভাবে প্রয়োজনীয়।

যেহেতু জ্যাকোবি ফাংশনের প্যারামিটারগুলি সমস্ত ননজেটিভ ( , , ), তাই আমরা নীচের এক্সপ্রেশনটি ব্যবহার করতে পারি ( উইকিপিডিয়া দেখুন , নোট করুন যে আমি মানগুলি পূরণ করেছি ) $\alpha=m$ $\beta=0$ $n^*=(n-m/2)$ $s$

\begin{matrix} {পি}_{এন}^{(α, β)} (ρ) = (এন + + α)! (এন + + β)! \cdot \\ Σ_{গুলি = 0}^{এন} [\frac{1}{গুলি! (এন + + α - গুলি)! (β + + গুলি)! (এন - গুলি)!} {(\frac{এক্স - 1}{2})}^{এন - গুলি} {(\frac{এক্স + + 1}{2})}^{গুলি}] \end{matrix}

$\begin{multline} P_n^{(\alpha,\beta)}(\rho) = (n+\alpha)!(n+\beta)! \quad \cdot\\ \sum_{s={0}}^n \left[\frac{1}{s!(n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s}\left(\frac{x+1}{2}\right)^{s} \right]\end{multline}$

~~ম্যাট্ল্যাব-এ~~ এটি অনুবাদ করে ( ~~জ্যাকোবি~~ ~~পি অলিস ডি অ্যাপার্টমেন্ট~~ পি পি অলোনমিয়াল, ' ডি আউবল' বাস্তবায়ন)

function P = jacobiPD(n,a,b,x)
    P = 0;
    for  s  0:n
        P = P + ...
            1/(factorial(s)*factorial(n+a-s)*factorial(b+s)*factorial(n-s)) * ...
            ((x-1)/2).^(n-s).*((x+1)/2).^s;
    end
    P = P*factorial(n+a) * factorial(n+b);
end

প্রকৃত র‌্যাডিয়াল জার্নাইক বহুপদী এইভাবে (জন্য m=abs(m))

Z = @(m,n,rho) (-1)^((n-m)/2) * rho.^m .* jacobiPD((n-m)/2,m,0,1-2*rho.^2);

দ্রষ্টব্য: এই স্ব-উত্তরটি কেবল একটি ব্যবহারিক সমাধান; এই কেন কাজ করে তা ব্যাখ্যা করে যে অন্য একটি উত্তরে বিনা দ্বিধা বোধ করুন ।

— Sanchises
সূত্র