ভাসমান পয়েন্ট গাণিতিকগুলিতে, সংখ্যাসূচক দৃষ্টিকোণ কেন একটি ছোট শব্দকে বৃহত পদগুলির একটি পার্থক্যে যুক্ত করা থেকে ফল দেয়?

Question

আমি অ্যালেন এবং টিলডসিলির কম্পিউটার সিমুলেশন অফ লিকুইডস বইটি পড়ছি। পৃষ্ঠা 71 থেকে শুরু করে, লেখকরা বিভিন্ন অ্যালগরিদমগুলি নিয়ে আলোচনা করেন যা নিউটনের গতি সমীকরণগুলিকে আণবিক গতিবিদ্যা (এমডি) সিমুলেশনে সংহত করতে ব্যবহৃত হয়। পৃষ্ঠা 78 থেকে শুরু করে লেখকরা ভারলেট অ্যালগরিদম নিয়ে আলোচনা করেন যা সম্ভবত এমডিতে ক্যানোনিকাল ইন্টিগ্রেশন অ্যালগরিদম। তারা বলে:

গতির সমীকরণকে সংহত করার জন্য সম্ভবত বহুল ব্যবহৃত পদ্ধতি হ'ল প্রথম দিকে ভারলেট (১৯6767) গৃহীত হয়েছিল এবং স্টর্মার (গিয়ার 1971) এর জন্য দায়ী ছিল। এই পদ্ধতি দ্বিতীয়-অর্ডার সমীকরণের একটি সরাসরি সমাধান পাওয়া যাবে $m_i \ddot{\textbf{r}}_i = \textbf{f}_i$ । পদ্ধতিটি পোস্টগুলি $\textbf{r}(t)$ , ত্বরণ $\textbf{a}(t)$ , এবং পূর্ববর্তী পদক্ষেপ থেকে অবস্থানের উপর ভিত্তি করে $\textbf{r}(t - \delta t)$। পদগুলিতে অগ্রগতির সমীকরণটি নিম্নরূপ:

$$\tag{3.14}\textbf{r}(t + \delta t) = 2\textbf{r}(t) - \textbf{r}(t - \delta t) + \delta t^2 \textbf{a}(t).$$

একন (৩.১৪) সম্পর্কে নোট করার জন্য কয়েকটি পয়েন্ট রয়েছে। দেখা যাবে বেগ মোটেও দেখা দেয় না। টেলর সম্প্রসারণ দ্বারা সম্পর্কে প্রাপ্ত সমীকরণগুলি যোগ করে এগুলি মুছে ফেলা হয়েছে $\textbf{r}(t)$:

$$\textbf{r}(t + \delta t) = \textbf{r}(t) + \delta t \textbf{v}(t) + (1/2) \delta t^2 \textbf{a}(t) + ...$$

$$\tag{3.15}\textbf{r}(t - \delta t) = \textbf{r}(t) - \delta t \textbf{v}(t) + (1/2) \delta t^2 \textbf{a}(t) - ... .$$

তারপরে, পরে (80 পৃষ্ঠায়), লেখকরা বলেছেন:

ভারলেট অ্যালগরিদমের বিপরীতে, ... অ্যালগরিদমের ফর্ম অযথা কিছু সংখ্যাসূচক ত্রুটির পরিচয় দিতে পারে। এই দেখা দেয় দুটো কারণে কারণ, eqn (3.14) এ একটি ছোট শব্দ ( ) বৃহৎ পদ একটি পার্থক্য যোগ করা হয় ( হে ( δ টি 0 ) ), অনুক্রমে গ্রহনক্ষত্রের নির্দিষ্ট আবক্র পথ তৈরি করতে। $\mathcal{O}(\delta t^2)$$\mathcal{O}(\delta t^0)$

আমি যে "ছোট শব্দ" হয় , এবং "বড় পদ পার্থক্য" হয় 2 দ ( T ) - দ ( T - δ টি ) ।$\delta t^2 \textbf{a}(t)$$2\textbf{r}(t) - \textbf{r}(t - \delta t)$

আমার প্রশ্ন হ'ল সংখ্যাসূচক দোষের কারণ কেন ছোট পদকে বড় পদগুলির পার্থক্যে যুক্ত করা থেকে আসে?

আমি একটি বরং মৌলিক, ধারণাগত কারণে আগ্রহী, যেহেতু আমি ভাসমান পয়েন্ট গণিতের বিবরণ দিয়ে মোটেও পরিচিত নই। এছাড়াও, আপনি কি এমন কোনও "ওভারভিউ-টাইপ" রেফারেন্স (বই, নিবন্ধ বা ওয়েবসাইট) সম্পর্কে জানেন যা এই প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত ভাসমান পয়েন্ট গণিতের মৌলিক ধারণার সাথে আমার পরিচয় করিয়ে দেবে? আপনার সময় জন্য ধন্যবাদ।

Answer 1

তাদের পর্যবেক্ষণ '' অ্যালগরিদমের ফর্মটি অযথা কিছু সংখ্যাসূচক ধারণা প্রবর্তন করতে পারে '' সঠিক। তবে তাদের ব্যাখ্যা '' এর উদ্ভব ঘটে কারণ, একন (৩.১৪) , একটি ছোট শব্দ ( ) বড় পদগুলির ( ) পার্থক্য যুক্ত হয় , যাতে ট্র্যাজেক্টরি উত্পন্ন হয়। '' প্রফুল্ল।$O(δt^2)$$O(δt^0)$

ভারলেট এর অ্যালগরিদমের সামান্য সংখ্যাসূচক অস্থিরতার আসল কারণটি হ'ল এটি কেবলমাত্র সামান্য স্থিতিশীল, কারণ পার্থক্য সমীকরণ (মূলত এমন ক্ষেত্রে যেখানে আপনি অবহেলা করেন) রয়েছে একটি পরজীবী সমাধান সমানুপাতিক করতে , যা সুসংগত হত্তয়া চালু ত্রুটি কারণ একটি সম্পূর্ণরূপে স্থিতিশীল multistep পদ্ধতির জন্য যেহেতু একটি dissipative ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ প্রয়োগ, ত্রুটি বৃদ্ধি bounded হয়।$x_{k+1}=2x_k-x_{k-1}$$a$$k$$k$

সম্পাদনা: নোট বই আণবিক গতিবিদ্যা সংখ্যাগত সিমুলেশন করা, এবং ফলে প্রত্যাশা এক প্রয়োজন বিপুল সংখ্যা একটি যুক্তিসঙ্গত সঠিকতা পাবার জন্য সঙ্গে, ধাপ সঠিকতা দাঁড়িপাল্লা যেমন শুধুমাত্র । (অন্তর্নিহিত দোলনা স্কেল অনুসরণ করার জন্য প্রায়শই সময় পদক্ষেপ পিকোসেকেন্ডে থাকে But তবে জৈবিকভাবে প্রাসঙ্গিক সময় স্কেলগুলি মিলিসেকেন্ড বা বৃহত্তর ( ) এ থাকে, যদিও সাধারণত এটি এতদূর গণনা করে না))$N$$O(N^{-1/2})$$N\sim 10^9$

আরও তথ্যের জন্য দেখুন http://en.wikedia.org/wiki/Linear_multistep_method# স্থায়িত্ব_ এবং_আপনার

Answer 2

যদি আপনি কোনও ভাল পরিচিতির সন্ধান করেন তবে আমি ডেভিড গোল্ডবার্গের ফ্লুটিং পয়েন্ট অ্যারাইমেটিক সম্পর্কে প্রত্যেক কম্পিউটার বিজ্ঞানী যা জানা উচিত তা প্রস্তাব করব । এটি কিছুটা বিশদ হতে পারে তবে এটি অনলাইনে বিনামূল্যে পাওয়া যায়।

আপনি যদি একটি ভাল গ্রন্থাগার পেয়ে থাকেন তবে আমি মাইকেল ওভারটনের আইউইইই ফ্লোটিং পয়েন্ট অ্যারিমেটিকের সাথে সংখ্যার কম্পিউটিং বা নিক হিগহমের নির্ভুলতা এবং সংখ্যাগত অ্যালগরিদমের স্থায়িত্বের প্রথম কয়েকটি অধ্যায়গুলির পরামর্শ দেব ।

অ্যালেন এবং টিলডস্লি বিশেষভাবে উল্লেখ করছেন এমনটি হচ্ছে সংখ্যার বাতিল । এর সংক্ষিপ্তটি হ'ল যদি আপনার কাছে কেবল তিনটি অঙ্ক থাকে এবং আপনি এটি 100থেকে বিয়োগ করেন তবে 101আপনি পাবেন 1.00(তিন অঙ্কে)। সংখ্যাটি দেখে মনে হচ্ছে এটি তিনটি সংখ্যার সাথে সঠিক, তবে বাস্তবে কেবল প্রথম সংখ্যাটি সত্য এবং পিছনে .00আবর্জনা। কেন? ঠিক আছে, 100এবং 101কেবলমাত্র বলুন 100.12345এবং বলুন এর নিখুঁত উপস্থাপনা 101.4321তবে আপনি সেগুলি কেবল তিন-অঙ্কের সংখ্যা হিসাবে সঞ্চয় করতে পারেন।

Comments

-1: আপনি ভারলেট সূত্রকে যে বাতিল বলে উল্লেখ করেছেন? সাধারণত ছোট, যা , যার ফলে কোনও বাতিলকরণ হয় না। ব্যবহার করে দেখুন ! $\delta t$$r(\t-\delta t)\approx r(t)$$r(t)=1$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

@ আর্নল্ডনিউইয়ার: হ্যাঁ, অ্যালেন এবং টিলডসির উদাহরণটি তেমন কোনও অর্থবহ বলে মনে হচ্ছে না, আমি তখনই "সমস্যার সাথে একটি ছোট শব্দ [..] যুক্ত হলে বড় শর্তের পার্থক্য" যুক্ত সমস্যাগুলির জন্য কিছু রেফারেন্স দিতে চেয়েছিলাম, যা আসলে ওপি জিজ্ঞাসা করেছিল, প্রদত্ত ক্ষেত্রে এটি সমস্যা কিনা কিনা whether

— পেড্রো

তবে একটি বড় পদে একটি ছোট শব্দ যুক্ত করা কেবল একটি গোলাকার ত্রুটি, বিপজ্জনক কিছু নয়। বাতিল হয় যখন দুটি প্রায় সমান বৃহত্তর পদ একটি ছোট মেয়াদ পাওয়ার জন্য বিয়োগ করা হয়। এটি তখনই সমস্যা হয়ে দাঁড়ায় যখন হয় বিয়োগ মধ্যস্থতাকারীরা কোনও গণনার চূড়ান্ত ফলাফলের চেয়ে অনেক বেশি বড় হয়, বা যখন বাতিল দ্বারা প্রভাবিত ছোট মধ্যবর্তী ফলাফল যখন অন্য কোনও ছোট উপাদান দ্বারা বিভক্ত হয়।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

@ আর্নল্ডনিউমায়ার: আমার ধারণা থেকে যেমনটি আমার কাছে বেশ স্পষ্ট মনে হয়েছে, আমি পার্থক্যটি গণনা করার সমস্যাটিকে বোঝছিলাম, যোগফলের যোগফল নয়।

— পেড্রো

@ আর্নল্ডনিউইয়ার: পয়েন্ট তোলা হয়েছে, তবে আমি আশা করি আপনি বুঝতে পেরেছেন যে আমি "-১" এর জন্য যথেষ্ট ক্ষুদ্র বলে বিবেচনা করি।

— পেড্রো

Answer 3

পেড্রোর উদাহরণটি সমীকরণটিতে প্রয়োগ করতে , ধরে নিন যে আপনার ভেরিয়েবলগুলি নিম্নলিখিত মানগুলির সাথে সঞ্চিত রয়েছে:$(3.14)$

r ( t - δ t ) = 100 δ t 2 a ( t ) =

$$\mathbf{r}(t) = 101$$ $$\mathbf{r}(t - \delta t) = 100$$ $$\delta t^2 \mathbf{a}(t) = 1.49$$

থেকে এটা যে অনুসরণ করা উচিত$(3.14)$

$$\mathbf{r}(t + \delta t) = 103.49$$

তবে, যেহেতু আমরা কেবল তিনটি অঙ্ক ব্যবহার করতে পারি, ফলাফলটি কেটে যায়

$$\mathbf{r}(t + \delta t) = 103$$

এই ত্রুটিটি প্রচার করবে, যাতে 20 টি পদক্ষেপের পরে, ধরে নেওয়া হচ্ছে যে অপরিবর্তিত রয়েছে, আপনি পরিবর্তে ,r ( t + 20 δ t ) = $\mathbf{a}(t)$$\mathbf{r}(t + 20\delta t) = 331$$433.90$

Comments

তবে প্রভাবটি কেবলমাত্র 3-অঙ্কের দশমিক গণিতগুলিতে in

— আর্নল্ড নিউমায়ার

Answer 4

পেড্রো ইতিমধ্যে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য দেয়, নাম বাতিলকরণ। মুল বক্তব্যটি হ'ল আপনি যে সংখ্যার সাথে গণনা করছেন তার প্রতিটি সংযুক্ত নির্ভুলতা রয়েছে; উদাহরণস্বরূপ, একক নির্ভুলতা ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যাটি প্রায় 8 টি সংখ্যক যথার্থতার জন্য কেবল প্রতিনিধিত্ব করতে পারে। আপনার যদি দুটি সংখ্যা থাকে যা প্রায় একই রকম তবে 7th তম অঙ্কের সাথে পৃথক হয়, তবে পার্থক্যটি আবার একটি 8-সংখ্যার একক নির্ভুলতা ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যা হবে এবং এটি 8 টি সংখ্যার মতো দেখতে সঠিক মনে হলেও বাস্তবে কেবল প্রথমটিই 1 বা 2 অঙ্কগুলি সঠিক কারণ আপনি যে পরিমাণ পরিমাণগুলি থেকে এটি গণনা করেছেন তা পার্থক্যের এই প্রথম 1 বা 2 অঙ্কের বাইরে সঠিক নয়।

এখন, আপনি যে বইটি উদ্ধৃত করেছেন তা 1989 সালের। আজ, বেশিরভাগ গণনাগুলি যথাযথতার 16 টি সংখ্যার সাথে ডাবল নির্ভুলতা ব্যবহার করে করা হয় এবং এটি আজকের তুলনায় এটি এখনকার চেয়ে কম সমস্যা। আমি মনে করি আপনি যে অনুচ্ছেদগুলি লবণের দানা দিয়ে উদ্ধৃত করেছেন তা পঠনীয় এবং তাদের সময়ের প্রসঙ্গে সেগুলি গ্রহণ করা সার্থক।

Comments

ডাবল স্পষ্টতা পাটিগণিত বাতিল বাতিল একক নির্ভুলতা হিসাবে বড় সমস্যা হতে পারে। পয়েন্ট হিসাবে গাউসিয়ান নির্মূলকরণ হ'ল কেসটি, যা প্রায়শই বাতিল হওয়ার কারণে খুব খারাপ ফলাফল দেয় এমনকি দ্বিগুণ নির্ভুলতার মধ্যেও।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

-1: ভেরলেট সূত্রটি সাধারণত একক নির্ভুলতায় 8 এর 1 বা 2 নয় যথার্থতার সমস্ত অঙ্ক ধরে রাখে।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

@ আর্নল্ডনিউইয়ার: অবশ্যই, আপনি একই ধরণের সমস্যা দ্বিগুণ নির্ভুলতায় পেতে পারেন। আমি কেবল বলেছি যে কেউ তাদের ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন ঘন মুখোমুখি হয় না।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

যদি আপনি গণনার শৃঙ্খলে তিনবার lose ডিজিট হারিয়ে ফেলেন তবে আপনি ডাবল যথার্থতার মধ্যেও সমস্ত অঙ্ক হারিয়ে ফেলেছেন। বাতিল হওয়াতে অ্যালগরিদমগুলি সাধারণত ডাবল নির্ভুলতার মধ্যেও দরিদ্র হবে। ভারলেট এর অ্যালগরিদম আলাদা কারণ যেহেতু কোনও বাতিল নয় তবে ত্রুটির একটি হালকা রৈখিক বৃদ্ধি রয়েছে। সুতরাং নির্ভুলতার ক্ষতি বহুগুণ হতে পারে না, এটি দীর্ঘতর সংহত সময়ের জন্য উপযুক্ত করে তোলে। এটি অবশ্যই অ্যালেন ও টিল্ডস্লেয়ের কাছে জানা ছিল।

— আর্নল্ড নিউমায়ার

ঠিক। তবে আমি যা বলতে চাইছি তা হল যদি আপনি যদি বাতিল না করেই অ্যালগরিদম করেন তবে একক নির্ভুলতায় 1e-8 এর ক্রমটিতে আপনার এখনও একটি ত্রুটি দেখা দেয় এবং আপনি যদি 1e8 সময় ধাপ করেন তবে সমস্ত কিছু সঠিক থাকলেও আপনার সমস্যা হতে পারে। 1e8 টিম স্টেপগুলি আপনার ওডিই-র জন্য প্রস্থের ক্রম হতে পারে। অন্যদিকে, ডাবল স্পষ্টতা অনুসারে, প্রতিটি পদক্ষেপে আপনার অসম্পূর্ণতা 1e-16 এবং যথাযথতার সম্পূর্ণ ক্ষতি পেতে 1e16 সময় পদক্ষেপের প্রয়োজন হবে। এটি এমন বেশ কয়েকটি পদক্ষেপ যা আপনি বাস্তবে মুখোমুখি হবেন না ।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথ