কোয়ার্টিক সমীকরণের সমাধান

Question

কোয়ার্টিক সমীকরণগুলির সমাধানের জন্য কি একটি উন্মুক্ত সি-বাস্তবায়ন রয়েছে:

$$ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0$$

আমি ফেরারির সমাধানটি কার্যকর করার কথা ভাবছি। উইকিপিডিয়ায় আমি পড়েছি যে সমাধানটি কেবল সহগের কয়েকটি সম্ভাব্য চিহ্নের সংমিশ্রণের জন্য গণনামূলক স্থিতিশীল। তবে আমি ভাগ্যবান ... একটি কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেম ব্যবহার করে এবং সিটিতে রফতানি করে বিশ্লেষণাত্মকভাবে সমাধান করে আমি একটি ব্যবহারিক সমাধান পেয়েছি তবে যদি পরীক্ষিত বাস্তবায়ন হয় তবে আমি এটি ব্যবহার করতে পছন্দ করব। আমি একটি দ্রুত পদ্ধতি অনুসন্ধান করি এবং সাধারণ রুট ফাইন্ডার ব্যবহার না করা পছন্দ করি।

আমার কেবল বাস্তব সমাধান দরকার।

Comments

আপনার একসাথে সমস্ত (বাস্তব) সমাধান দরকার? গার্টভিডিই নীচে যেমন বলেছে, আপনার যদি বদ্ধ ফর্ম সমাধানের সাথে স্থিতিশীলতার সমস্যা থাকে তবে কিছু মূল-সন্ধানকারী অ্যালগরিদম ব্যবহার না করার উপযুক্ত কারণ নেই।

— গর্ড্রিক সের

আমার মজার বিষয় এই যে এটি ননলাইনার-বীজগণিত হিসাবে ট্যাগ করা ছিল, যেহেতু আপনি কেবলমাত্র সহকর্মী ম্যাট্রিক্সের ইউজনালগুলি গণনা করতে পারেন, যা ইতিমধ্যে হেসেনবার্গ ফর্মে রয়েছে এবং কিউআর সুইপ প্রয়োগ করা খুব সহজ হবে।

— ভিক্টর লিউ

ACM TOMS (অ্যালগোরিদম 954) এ প্রকাশিত কিউবিক / কোয়ার্টিক সমাধানকারীদের একবার দেখুন । যে কোডটি এটিকে জার্নালে পরিণত করে তা সাধারণত খুব উচ্চ মানের হয়। পেপার নিজেই পে-ওলের পেছনে রয়েছে তবে কোডটি এই লিঙ্ক থেকে ডাউনলোড করা যায় ।

— GoHokies

... (পরে সম্পাদনা করুন) এসিএম কোডটি ফরট্রেন 90-এ লেখা আছে তবে আমার প্রথম ধারণাটি হ'ল যে কেউ প্রচুর প্রচেষ্টা না করেই সি থেকে কল করতে পারে ।

— GoHokies

@ গোহোকিজ আমি মনে করি আপনার মন্তব্যকে উত্তরে রূপান্তর করা উচিত কারণ আমি মনে করি এটি এই প্রশ্নের উত্তম উত্তর। বিশেষত যেহেতু লিঙ্কযুক্ত কাগজটি স্বাভাবিক সংখ্যার অস্থিরতা এড়াতে পরিচালিত করে এবং এটি একেবারে তুচ্ছ কাজ নয়।

— কিরিল

Answer 1

আমি বদ্ধ ফর্ম সমাধানগুলি ব্যবহার করার বিরুদ্ধে দৃ strongly়ভাবে পরামর্শ দেব কারণ তারা সংখ্যাগতভাবে খুব অস্থির হতে থাকে। আপনার বৈষম্যমূলক এবং অন্যান্য পরামিতিগুলির মূল্যায়নের উপায় এবং ক্রমে আপনার চরম যত্ন নেওয়া দরকার।

ক্লাসিক্যাল উদাহরণটি হল চতুর্ভুজ সমীকরণের । as হিসাবে শিকড়গুলি গণনা করা আপনাকে বহুপদী জন্য সমস্যায় ফেলবে যেখানে তখন থেকেই আপনি বাতিল হয়ে যান লব। আপনাকে গণনা করতে হবে ।x 1 , 2 = - বি ± $ax^2+bx+c=0$ বি≫4এসিx1=-(বি+এসআইজিএন(বি) √ )

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $b\gg 4ac$ $$x_1 = \frac{-(b+sign(b)\sqrt{b^2-4ac})}{2a}; x_2 = \frac{c}{a}\frac{1}{x_1}$$

হিগাম তাঁর মাস্টারপিস "সংখ্যার অ্যালগোরিদমের যথাযথতা এবং স্থায়িত্ব" (২ য় সংস্করণ, সিয়াম) -এর ক্ষেত্রে একটি ঘনক বহুবর্ষের সহগ খুঁজে পেতে সরাসরি অনুসন্ধানের পদ্ধতি ব্যবহার করেন যার জন্য শাস্ত্রীয় বিশ্লেষণাত্মক ঘন সমাধান খুব অসম্পূর্ণ ফলাফল দেয়। তিনি যে উদাহরণটি দিয়েছেন তা হ'ল । এই বহুবর্ষের জন্য শিকড়গুলি ভালভাবে পৃথক হয় এবং সুতরাং সমস্যাটি শর্তযুক্ত নয়। তবে, যদি তিনি বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতির সাহায্যে শিকড়গুলি গণনা করেন এবং এই শিকড়গুলির বহুপদী মূল্যায়ন করেন তবে তিনি স্থিতিশীল মানক পদ্ধতিটি ব্যবহারের সময় (সহচর ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি) ব্যবহার করার সময় একটি অবশিষ্টাংশ পান he , অবশিষ্টাংশ হ'লও ( 10 - 2 ) ও ( 10 - 15 ) ও ( 10 - 11$[a,b,c] = [1.732, 1, 1.2704]$$\mathcal{O}(10^{-2})$$\mathcal{O}(10^{-15})$। তিনি অ্যালগরিদমে কিছুটা সংশোধন করার প্রস্তাব দিয়েছিলেন, কিন্তু তারপরেও তিনি অবশিষ্টাংশের দিকে নিয়ে যাওয়ার সহগের একটি সেট খুঁজে পেতে পারেন যা অবশ্যই ভাল নয়। উল্লিখিত বইয়ের p480-481 দেখুন।$\mathcal{O}(10^{-11})$

আপনার ক্ষেত্রে, আমি বেয়ারস্টোর পদ্ধতি প্রয়োগ করব । এটি চতুর্ভুজীয় ফর্মগুলিতে নিউটনের পুনরাবৃত্তির একটি পুনরাবৃত্ত সংমিশ্রণ ব্যবহার করে (এবং তারপরে চতুষ্কোণের শিকড়গুলি সমাধান করা হয়) এবং বিচ্ছিন্নকরণ। এটি সহজেই প্রয়োগ করা হয় এবং ওয়েবে কিছু বাস্তবায়নও পাওয়া যায়।

Comments

আপনি দয়া করে বোঝাতে পারেন আপনি কী বোঝাতে চেয়েছেন "বন্ধ ফর্ম সমাধানগুলি ব্যবহার করার বিরুদ্ধে আমি দৃ strongly়ভাবে পরামর্শ দেব কারণ তারা সংখ্যাগতভাবে খুব অস্থির হয়ে থাকে"। এটি কি চতুর্থ ডিগ্রি বহুবর্ষের জন্য প্রযোজ্য বা এটি সাধারণ নিয়ম?

— NoChance

@ এমদাদ কারিম আমি আমার উত্তর উপরে আপডেট করেছি।

— GertVdE

Answer 2

এগুলি দেখুন:

• গ্রাফিক্সের জন্য কোয়ার্টিক্স এবং কিউবিকগুলি সমাধান করা , যা গ্রাফিক্স রত্নের ভিতে মূলত প্রকাশিত হয়েছিল । মূল কোডটি এখানে । আরও দেখুন এই এবং এই ।

• কোয়ার্টিক সমীকরণ সমাধানের একটি সার্বজনীন পদ্ধতি ।

Comments

আমার উত্তরে প্রদত্ত সহগের সাথে বহুবর্ষে এই কোডটি ব্যবহার করে, আমি নিম্নলিখিতগুলি খুঁজে পেয়েছি: , যা আসল মূলের তুলনায় আপেক্ষিক ত্রুটি রয়েছে (অক্টাভের রুট কমান্ড ব্যবহার করে গণনা করা যা সাথী ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি ব্যবহার করে)। এটির অবশিষ্টাংশ রয়েছে যখন সহযাত্রী ম্যাট্রিক্স পদ্ধতির অবশিষ্টাংশ রয়েছে । এটি যথেষ্ট ভাল কিনা আপনার উপর হে ( 10 - 8 ) হে ( 10 - 7 ) হে ( 10 - 15$x_1 = -1.602644912244132e+00$$\mathcal{O}(10^{-8})$$\mathcal{O}(10^{-7})$$\mathcal{O}(10^{-15})$

— নির্ভর করে

Answer 3

গ এর সংখ্যাসূচক রেসিপিগুলি চতুর্ভুজ এবং ঘনক্ষেত্রের আসল শিকড়গুলির জন্য বদ্ধ ফর্ম অভিব্যক্তি সরবরাহ করে যা সম্ভবত যথাযথ নির্ভুলতা রয়েছে। যেহেতু কোয়ার্টিকের বীজগণিত সমাধানটিতে একটি ঘনককে সমাধান করা এবং তারপরে দুটি চতুর্ভুজ সমাধান করা জড়িত সম্ভবত একটি বদ্ধ ফর্ম কোয়ার্টিক ডব্লু ভাল নির্ভুলতা প্রশ্নটির বাইরে নয়।

Comments

আমি কেবল ঘনক উদাহরণের মূলটি 2e-16 এর মধ্যে উদ্ধৃত করেছি (আমার ভাসমানের নির্ভুলতার উপর একটি টিড) সি (সংযুক্ত চাপুন) কিউবিক সূত্রে সংখ্যাসূচক রেসিপিগুলি ব্যবহার করে। তাই আশা করার কারণ আছে।

— Nemocopperfield