স্টোকস সমীকরণে মিশ্র সসীম উপাদানগুলির পদ্ধতির জন্য সামঞ্জস্যতার শর্ত আরোপ করুন

13

$\newcommand{\v}[1]{\boldsymbol{#1}}$ ধরুন আমাদের স্টোকস প্রবাহ মডেল সমীকরণটি রয়েছে:

{\begin{aligned} - d i v (ν \nabla u) + \nabla p & = f \\ d i v u & = 0 \end{aligned}

$\tag{1} \left\{ \begin{aligned} -\mathrm{div}(\nu \nabla \v{u}) + \nabla p &= \v{f} \\ \mathrm{div} \v{u} &= 0 \end{aligned} \right.$ যেখানে স্ট্যান্ডার্ড মিশ্রিত সসীম উপাদানটির জন্য সান্দ্রতা

ν (x)

$\nu(x)$ একটি ফাংশন, বলুন আমরা স্থিতিশীল জোড়টি ব্যবহার করি: গতিবেগ

এবং উপাদান-ভিত্তিক ধ্রুবক স্থানের জন্য ক্রাউজিক্স-রাইয়ার্ট স্পেস

চাপ জন্য

, আমরা নিম্নলিখিত ভেরিয়েশনাল ফর্ম আছে:

V_{h}

$\v{V}_h$

u

$\v{u}$

S_{h}

$S_h$

p

$p$

L ([u, p], [v, q]) = \int_{Ω} ν \nabla u : \nabla v - \int_{Ω} q d i v u - \int_{Ω} p d i v v = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) = \int_{\Omega} \nu \nabla\v{u}:\nabla \v{v} -\int_{\Omega} q\mathrm{div} \v{u} -\int_{\Omega} p\mathrm{div} \v{v} =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

এবং আমরা জানি যেহেতু ল্যাঞ্জরেঞ্জ গুণক $p$ একটি ধ্রুবক পর্যন্ত নির্ধারিত হতে পারে, অবশেষে একত্রিত ম্যাট্রিক্সের নালস্পেস $1$ হওয়া উচিত , এটির পরিপ্রেক্ষিতে আমরা কিছু নির্দিষ্ট উপাদানের উপর চাপ প্রয়োগ $p$ করতে পারি শূন্য, যাতে আমাদের দরকার হয় না একটি একক সিস্টেম সমাধান করুন।

সুতরাং এখানে আমার প্রশ্ন 1:

(প্র 1) স্ট্যান্ডার্ড মিশ্রিত সসীম উপাদানগুলির জন্য কার্নেলটি মুছে ফেলার জন্য কোনও উপাদানের উপর প্রয়োগ করা ছাড়াও কি অন্য উপায় আছে $p=0$ ? বা বলুন, এর বাইরে যে কোনও solver যে সামঞ্জস্যপূর্ণ সমাধানের জন্য একক ব্যবস্থা সমাধান করতে সক্ষম হবে? (বা কিছু উল্লেখ স্বাগত)

এবং সামঞ্জস্য জন্য (1) সম্পর্কে এটি হওয়া উচিত এবং চমৎকার সামান্য কৌতুক হয় কম্পিউট হতে আমরা সমাধান থেকে পেয়েছিলাম রৈখিক সিস্টেমটি তার ওজনযুক্ত গড় দ্বারা বিয়োগ:

\int_{Ω} ν^{- 1} p = 0

$\int_{\Omega} \nu^{-1} p = 0$

\tilde{p}

$\tilde{p}$

p

$p$

\begin{matrix} (2) & \tilde{p} = p - \frac{ν}{| Ω |} \int_{Ω} ν^{- 1} p \end{matrix}

$\tag{2} \tilde{p} = p - \frac{\nu}{|\Omega|}\int_{\Omega} \nu^{-1} p$

তবে, সম্প্রতি আমি বোচেভ , দোহরম্যান এবং গুনজারবার্গার দ্বারা স্টোকস সমীকরণের জন্য একটি স্থিতিশীল মিশ্র সসীম উপাদান কার্যকর করেছি $P_1-P_0$ , যাতে তারা পরিবর্তনশীল গঠনের (1) স্থিতিশীল পদ যুক্ত করেছে: প্রশস্ততাযুক্ত th th ম্যাথ্যাকাল যেখানে piecewise ধ্রুবক স্থান থেকে অভিক্ষেপ হয় একটানা piecewise করার এবং মূল মিশ্র সসীম উপাদান ধ্রুবক কার্নেল চলে গেছে, কিন্তু, অদ্ভুত জিনিষ, ঘটেছে (2) ফেলে না এখন আর কাজ করব না, আমি পরীক্ষার সমস্যাটি থেকেই তৈরি করেছিলাম

\tilde{L} ([u, p], [v, q]) = L ([u, p], [v, q]) - \int_{Ω} (p - Π_{1} p) (q - Π_{1} q) = \int_{Ω} f \cdot v \forall v \times q \in V_{h} \times S_{h}

$\widetilde{\mathcal{L}}([\v{u},p],[\v{v},q]) =\mathcal{L}([\v{u},p],[\v{v},q]) -\int_{\Omega} (p - \Pi_1 p)(q -\Pi_1 q) =\int_{\Omega} \v{f}\cdot \v{v} \quad \forall \v{v}\times q\in \v{V}_h\times S_h$

Π_{1}

$\Pi_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$ ছড়িয়ে পড়া সমীকরণের জন্য একটি ইন্টারফেস সমস্যা , এটি আমি চাপ জন্য পেয়েছিলাম, ডানটি হ'ল আসল সমাধান এবং বামটি হ'ল সংখ্যাসমূহের অনুমান:

p

$p$

স্টোকস পরীক্ষা 1

তবে যদি ধ্রুবক হয় তবে পরীক্ষার সমস্যাটি ঠিকঠাক সম্পাদন করে: $\nu$ স্টোকস টেস্ট 2

আমি এটি অনুমান করছি কারণ আমি যেভাবে সামঞ্জস্যের শর্ত চাপিয়ে দিচ্ছি, যেহেতু এটি পুরো সিস্টেমের ইনফ-সাপ স্থিরতার সাথে যুক্ত, তাই এখানে আমার দ্বিতীয় প্রশ্নটি রয়েছে:

(Q2): চাপ জন্য সামঞ্জস্যতা আরোপ করার জন্য (2) ছাড়া অন্য কোনও উপায় আছে ? বা পরীক্ষার সমস্যাটি বদ্ধ করার সময়, আমার কী ধরণের ব্যবহার করা উচিত? $p$ $p$

finite-element

— শুহাও কও
সূত্র

ম্যাথএমএল কাজ করছে না?

— শুহাও কাও

আমরা স্ট্যাকএক্সচেঞ্জে ম্যাথজ্যাক্স ব্যবহার করি, আপনার পোস্ট করা সমস্ত কিছু সুন্দরভাবে প্রদর্শিত হচ্ছে, বিস্তারিত প্রশ্নের জন্য ধন্যবাদ।

— আরন আহমদিয়া

8

সামঞ্জস্যতা শর্তটি গতিবেগকে চাপ দেয়, চাপ নয় not এতে বলা হয়েছে যে আপনার যদি কেবল বেগের জন্য ডিরিচলেট সীমানা শর্ত থাকে তবে এগুলি বিচ্যুতি-সীমাবদ্ধতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ হওয়া উচিত, যেমন সাথে সীমানার সীমানা রয়েছে with গণনামূলক ডোমেন (সেল নয়)। $\int_{\partial \Omega} u \cdot n = 0$ $\partial \Omega$

এই ক্ষেত্রে থেকে আলাদা করা যাবে না সঙ্গে একটি অবাধ ধ্রুবক কারণ আপনার কোন সীমানা শর্ত আছে ধ্রুবক ঠিক করতে। এইভাবে চাপের জন্য অসীম অনেকগুলি সমাধান রয়েছে এবং সমাধানগুলির তুলনা করার জন্য, একটি সম্মেলনের প্রয়োজন। গণিতবিদগণ পছন্দ করে যে that গণিত (কারণ তারা সংহত করতে পারে) এবং পদার্থবিজ্ঞানী পছন্দ করে (কারণ তারা পরিমাপ করতে পারে পয়েন্ট)। যদি আপনার বিযুক্ত সমতূল্য , এটা যে বোঝা $\nabla p$ $\nabla (p + c)$ $c$ $p$ $c$ $\overline{p}=p_\mathrm{ref}$ $p(x_\mathrm{ref}) = p_\mathrm{ref}$ $Bp$ $\nabla p$ $B$ পরিচয় ভেক্টর সমন্বয়ে একটি শূন্য স্থান রয়েছে।

ক্রিলোভ সাবস্পেস পদ্ধতিগুলি ক্রিলোভ সাবস্পেস থেকে নুল স্পেসটি সরাতে যেখানে তারা সমাধানটির সন্ধান করে একক পদ্ধতিতে সমাধান করতে পারে। যাইহোক, যে মানে এই নয় আপনি সমাধান পাবেন যে একটি প্রদত্ত কনভেনশন সাথে মিলে যায়, আপনি সবসময় একটি postprocessing ধাপে ধ্রুবক নিজেকে নির্ধারণ করতে হবে, কোন সমাধানকারী আপনার জন্য এটা করতে পারেন। $p$

আপনার সমস্যা সমাধানের জন্য এখানে কিছু পরামর্শ দেওয়া হয়েছে:

সমীকরণ (2) অদ্ভুত বলে মনে হচ্ছে। যদি of ফাংশন হয় তবে এটি কীভাবে অবিচ্ছেদ্যের বাইরে থাকতে পারে? $\nu$ $x$
আপনার বেগের ক্ষেত্রটি কি সামঞ্জস্যতার সীমাবদ্ধতা পূরণ করে?
চাপ জন্য কিছু করতে না চেষ্টা করুন, মাত্র দিন সমাধানকারী একটি সঙ্গে আসা পর্যন্ত বিনা , তারপর তাকান । এটা কি ধ্রুবক? $p$ $p-p_\mathrm{exact}$
যদি তা না হয় তবে আপনি কি নিশ্চিত যে এর নাল স্থানটি আসলেই পরিচয় ভেক্টর এবং আরও কিছু নয়? কাগজ এবং কোড উভয়? সমস্যাটি শূন্য স্থানটি গণনা করার জন্য যথেষ্ট ছোট বলে মনে হচ্ছে। $B$

— ক্রিস
সূত্র

2

(কিউ 1) হিসাবে, আপনি স্যাডল পয়েন্ট সমস্যার সমাধান করতে পারেন যা আপনার সিস্টেমের জন্য কমপক্ষে স্কোয়ার সমাধান গণনা করে। তারপরে গুণকের উপর একটি অতিরিক্ত শর্ত আরোপ করা যেতে পারে, যেমন একটি নির্দিষ্ট ডিগ্রি স্বাধীনতা নির্ধারণের জন্য, একটি নির্দিষ্ট গড় চাপিয়ে দেওয়া হয়।

সাধারণভাবে এবং আমি মনে করি এই উত্তরগুলি (কিউ 1), আপনি একটি রৈখিক সীমাবদ্ধতা ব্যবহার করতে পারেন যা বিভিন্ন ধ্রুবককে আলাদা করতে পারে।

এই সীমাবদ্ধতা পোস্ট-প্রসেসিং পদক্ষেপে প্রয়োগ করা যেতে পারে, বা ট্রায়াল স্পেসের (যেমন, যদি আপনি এক ডিগ্রি স্বাধীনতা ছেড়ে দেন) পছন্দ করে থাকেন।

— shuhalo
সূত্র