গাণিতিকভাবে, কেন ভর ম্যাট্রিক্স / লোড ভেক্টর লম্পিং কাজ করে?

Question

আমি জানি যে লোকেরা প্রায়শই লম্পড ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ গণ ম্যাট্রিকগুলি প্রতিস্থাপন করে। অতীতে, আমি এমন একটি কোডও প্রয়োগ করেছি যেখানে লোড ভেক্টরটি এফএম-সামঞ্জস্যপূর্ণ ফ্যাশনের পরিবর্তে লম্পড ফ্যাশনে একত্রিত হয়। তবে কেন আমরা প্রথমে এটি করার অনুমতি পাচ্ছি তা আমি কখনই দেখিনি।

লম্পিংয়ের পিছনে অন্তর্নিহিত কী কী এটি একজনকে এটি ভর এবং ভেক্টরগুলিতে প্রয়োগ করতে দেয়? এর গাণিতিক যৌক্তিকতা কী? কোন পরিস্থিতিতে গণ্ডগোলের অনুমতি নেই / ভর এবং লোড ভেক্টরগুলির জন্য একটি ভাল অনুমানের নয়?

Answer 1

সসীম উপাদান পদ্ধতিতে ম্যাট্রিক্স এন্ট্রি এবং ডান হাতের প্রবেশদ্বারগুলি ইন্টিগ্রাল হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। আমরা সাধারণভাবে এগুলি সঠিকভাবে গণনা করতে ও চতুর্ভুজ প্রয়োগ করতে পারি না। তবে এমন অনেকগুলি চৌম্বক সূত্র রয়েছে যেগুলি বেছে নিতে পারে এবং একটি সেগুলি প্রায়শই এমনভাবে বেছে নেয় যাতে (i) চতুর্ভুজ দ্বারা প্রবর্তিত ত্রুটি বিচক্ষণতার কারণে বা কমপক্ষে যথেষ্ট খারাপ না হয়ে একই ক্রমের হয় এবং (ii) ম্যাট্রিক্সের কিছু নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা সুবিধাজনক হতে পারে।

ভর লম্পিং এই কাজের একটি উদাহরণ: যদি কেউ একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ সূত্র বেছে নেয় (যথা, সীমাবদ্ধ উপাদানের অন্তরঙ্গ পয়েন্টে অবস্থিত চতুর্ভুজ পয়েন্টগুলির সাথে একটি), তবে ফলস্বরূপ গণ ম্যাট্রিক্সটি তির্যক হিসাবে দেখা যায়। এটি গণনামূলক বাস্তবায়নের জন্য এবং লোকেরা এই চতুর্ভুজ সূত্রগুলি কেন ব্যবহার করার জন্য যথেষ্ট সুবিধাজনক। এটি "কার্যকারী" হওয়ার কারণও এটি: চতুর্ভুজ সূত্রের এই বিশেষ পছন্দটি এখনও যথাযথভাবে উচ্চতর ক্রমযুক্ত।

Comments

বরাবরের মতো দুর্দান্ত উত্তর। আমি প্রশ্নের দ্বিতীয় অংশে আপনার মতামত সম্পর্কে খুব আগ্রহী হব, যখন লম্পিংয়ের / খারাপ আনুমানিক অনুমোদন নেই, যদি কিছু মনে আসে।

— আন্তন মেনশভ

@ অ্যান্টেনমেনভভ: মনে হবে উচ্চতর অর্ডার উপাদানগুলির জন্য লম্পিংয়ের মাধ্যমে একটি ভাল অনুমান করা কঠিন (সম্ভবত অসম্ভব?), যেহেতু (যেমন, তির্যক) লাম্পিং উচ্চতর অর্ডারে প্রয়োগ করা নিম্নতর অর্ডার চৌম্বকের সমতুল্য হবে polynomials।

— পল

@ ওল্ফগ্যাংবাংয়ের্থ: আমার মনে হয় আমি এখন বুঝতে পেরেছি। সুতরাং, এটি গাউসিয়ান চতুর্ভুজ পরিবর্তে সংহতকরণের জন্য নিউটন-কোটস বিধি ব্যবহার করার মতো। যেহেতু প্রতিটি ল্যাগরেঞ্জ ইন্টারপোলেশন ফাংশনগুলির একটি নির্দিষ্ট নোডে ইউনিট মান থাকে, তাই নোডগুলিতে চতুর্ভুজ পয়েন্টগুলি স্থানান্তরিত করার ফলে কেবল তির্যক পদগুলি ননজারো হয়ে যায় (কমপক্ষে লিনিয়ার উপাদানগুলির জন্য)।

— পল

$2n - 3$

গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হ'ল উচ্চতর অর্ডার উপাদানগুলির জন্য, একটি নির্দিষ্ট চতুর্ভুজ সূত্রের মাধ্যমে "লম্প্পড" ভর ম্যাট্রিক্সের সংজ্ঞা দেওয়া দরকার needs মূল ফর্ম - যা থেকে "লম্পড" শব্দটি উত্পন্ন হয়েছিল - তির্যকটিতে অফ-তির্যক এন্ট্রি যুক্ত করেছে, তবে সেগুলি কেবলমাত্র যদি ইতিবাচক হয় তবে তা কার্যকর হয়। আপনি যদি গাউসিয়ান চতুর্ভুজটি প্রয়োগ করেন তবে এটি সর্বনিম্ন-অর্ডার উপাদানগুলির জন্য সত্য তবে উচ্চতর ক্রমের উপাদানগুলির জন্য নয়।

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

Answer 2

ডায়াগোনাল ম্যাট্রিকসগুলিতে সংখ্যার গণনা দ্রুততর করার সুস্পষ্ট সুবিধা রয়েছে এবং ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গারথের উত্তরটি কীভাবে তির্যক ভর ম্যাট্রিক্স গণনা করা যায় তার একটি ভাল ব্যাখ্যা , তবে এটি "কেন এই কাজটি " এই অর্থে "কেন এই কাজ করে" ওপির প্রশ্নের উত্তর দেয় না why আপনি যে পদার্থবিজ্ঞানের মডেলিং করছেন এটির জন্য এটি একটি ভাল অনুমান "।

ধারণামূলকভাবে, আপনি একটি উপাদানটির প্রতিক্রিয়াটিকে তিনটি ভাগে ভাগ করতে পারেন: একটি অনড় দেহের অনুবাদমূলক গতি, ভরগুলির উপাদান কেন্দ্র সম্পর্কে কঠোর ঘূর্ণন এবং উপাদানটির বিকৃতি।

$\frac 1 2 v^T M v$$v$

$a$$a^3$$a^5$

অতএব, আপনার কেবল গতির অনমনীয় দেহের অংশগুলির, যেমন 6 ডিওএফগুলির জন্য একটি "ভাল" সান্নিধ্যের প্রয়োজন এবং সত্যিকারের কঠোর দেহ অনুবাদ থেকে কেবল কেই-তে 3 ডিওএফ-এর একটি ভাল অনুমানের উপাদানটির আকার হিসাবে রূপান্তরিত হবে হ্রাস পেয়েছে।

উপাদান ম্যাট্রিক্সের তির্যক শর্তগুলিতে পর্যাপ্ত নির্ভুলতার সাথে সেই 3 বা 6 কেই পদগুলির প্রতিনিধিত্ব করতে পর্যাপ্ত স্বতন্ত্র প্যারামিটারের বেশি থাকে। উচ্চতর অর্ডার উপাদানগুলির পক্ষে, আপনি ভর তির্যক ভর ম্যাট্রিক্সগুলি ব্যবহার করতে পারেন যেখানে মাঝখানের নোডগুলির জন্য তির্যক পদটি শূন্য।

নোট করুন যে এটি উপাদান সম্ভাব্য শক্তির থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন পরিস্থিতি, যেখানে কঠোর দেহ অনুবাদ এবং ঘূর্ণন থেকে অবদানগুলি শূন্য এবং একমাত্র বিষয় যা উপাদানটির বিকৃতি অনুসারে স্ট্রেন শক্তি প্রতিনিধিত্ব করে । একটি তির্যক কঠোরতা ম্যাট্রিক্স সুতরাং একটি বাস্তব ধারণা হবে না !

Answer 3

অন্যান্য উত্তরের পাশাপাশি, এমন পরিস্থিতি রয়েছে যাতে ভর ম্যাট্রিক্সের ত্রুটিগুলির পছন্দসই ফলাফলের কোনও প্রভাব নেই।

$K(u) \space u = f(u)$$\hat{u}$$K(u) \space u + C(u) \space \dot{u} + M \space \ddot{u} = f(u)$$M$$C$$\dot{u} = \ddot{u} = 0$$M$

$M$$M^{-1}$

^{1 যদিও "সঠিক" ভর ম্যাট্রিক্স দিয়ে গতিশীল শারীরিক আচরণ সম্পর্কে যুক্তি দেওয়া অবশ্যই সহজ - উদাহরণস্বরূপ কৌণিক গতিবেগটি লম্পড ভর ম্যাট্রিক্স দ্বারা ভুলভাবে সংরক্ষণ করা যেতে পারে।}

Comments

$C\dot u$$C\dot u$$M\ddot u$$C\dot u$$C$

$\ddot u$