বিচ্ছিন্ন আরএসডি ওডিএসের জন্য সংখ্যাগত পদ্ধতি

বিচ্ছিন্ন ডান পাশ দিয়ে ওডিএসের সংখ্যাসম্য সমাধানের জন্য শিল্প পদ্ধতিগুলির কী রয়েছে? আমি বেশিরভাগ অংশের মতো মসৃণ ডান পাশের ফাংশনগুলিতে আগ্রহী, যেমন সাইন।

আমি নিম্নলিখিত ধরণের সমীকরণ সমাধান করার চেষ্টা করছি:

\begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\begin{cases} (| F_{external} | - | F_{friction} |) sign (F_{external}) & : | F_{external} | < | F_{friction} | \\ 0 & : otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align*} \dot x &= v\\ \dot v &= \begin{cases} (|F_\text{external}| - |F_\text{friction}|) \mathop{\rm sign} (F_\text{external}) & :|F_\text{external}| < |F_\text{friction}|\\ 0 & : \text{otherwise} \end{cases} \end{align*}$

ode

— আন্দ্রে শেভিলাকভ
সূত্র

হাই @ অ্যান্ড্রে শেভিলাকভ এবং স্কিকম্পে আপনাকে স্বাগতম! ওডিইর কোনও নির্দিষ্ট শ্রেণি রয়েছে যাতে আপনি আগ্রহী?

— পল

ওহে পল! হ্যাঁ, আমি বর্তমানে এক ধরণের স্টিক-স্লিপ ঘর্ষণ মডেলটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করছি।

— আন্দ্রে শেভিলাকভ

আপনি আপনার প্রশ্নের সমাধান করতে চান সমীকরণ অন্তর্ভুক্ত করতে পারেন? এটি আপনার সমস্যার জন্য প্রযোজ্য নির্দিষ্ট পদ্ধতিগুলি সঙ্কীর্ণ করতে সহায়তা করবে।

— পল

আমি পোস্টটিতে উদাহরণ যোগ করেছি

— আন্দ্রে শেভিলাকভ

আমি যখন এসিএসএল-এ কাজ করেছি, তখন এটিতে একটি রুট-ফাইন্ডার অন্তর্ভুক্ত ছিল, যাতে আপনি বেগটি শূন্যের সমান হওয়ার সময়টির জন্য এটি অনুসন্ধান করতে পারেন এবং তারপরে নতুন আরএইচএসের সাহায্যে সেই জায়গাটি থেকে নতুন করে শুরু করতে পারেন।

— মাইক ডুনলাভে

উত্তর:

দেখুন ডেভিড স্টুয়ার্ট এই বিষয়ে, উপর এর নতুন (2011) বই প্রভাব ও কষ্টসাধ্য সীমাবদ্ধতাসমূহ সাথে ডাইনামিক্স অসামঞ্জস্য । বিশ্লেষণ অধ্যায়গুলিতে কুলম্বের ঘর্ষণ সমস্যাগুলি বেশ কয়েকবার উল্লেখ করা হয়েছে।

অধ্যায় 8 অ-মসৃণ ODEs এবং DAEs এর জন্য সংখ্যাগত পদ্ধতিতে উত্সর্গীকৃত। এটি বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই ননস্মোথনেসের বিশেষ চিকিত্সার সাথে পুরোপুরি অন্তর্নিহিত রঞ্জ-কত্তা পদ্ধতির সমর্থন করে। দ্রষ্টব্য ৮.৪.৪ নোটটি উল্লেখ করে যে আপনি যদি অ-মসৃণতার বিন্দুগুলি সঠিকভাবে সনাক্ত না করেন তবে সমস্ত পদ্ধতি প্রথম অর্ডার যথার্থতার দিকে অবনতি করে , সুতরাং অন্তর্নিহিত ইউলারের (অদ্বিতীয়তার জন্য পরিবর্তন সহ) অনুশীলনে জনপ্রিয়। উপরন্তু, অসীম মাত্রিক অসাম্য সঙ্গে সমস্যা সমাধান সাধারণত piecewise মসৃণ করা হয় না, তাই তত্ত্ব শুধুমাত্র উপলব্ধ যদিও বাস্তবে, অভিসৃতি, $\mathcal{O}(h)$ $\mathcal{O}(h^{1/2})$ $\mathcal{O}(h)$ প্রায়শই পালন করা হয়।

— জেড ব্রাউন
সূত্র

দুর্দান্ত, ধন্যবাদ! কোথাও বাস্তবায়ন উপলব্ধ আছে কি জানেন?

— আন্দ্রে শেভিলাকভ

আমি জানি না, তবে আপনার যদি স্ট্যাটিক ভেরিয়েশনাল বৈষম্যের জন্য সমাধানকারী থাকে তবে সাধারণ স্কিমগুলির বাস্তবায়ন খুব বেশি কঠিন হওয়া উচিত নয়।

— জেড ব্রাউন

আমি সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ উল্লেখটি জানতে পারি ডেভিড স্টুয়ার্টের থিসিস, যা 20 বছরেরও বেশি পুরানো:

বিযুক্ত ডান হাতের সাথে সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের জন্য উচ্চ নির্ভুলতার সংখ্যাসূচক পদ্ধতি

বিমূর্তটি উল্লেখযোগ্য কয়েকটি পূর্ববর্তী কাজের উল্লেখ করে। এখানে একটি কীওয়ার্ডটি ডিফারেন্সিয়াল অন্তর্ভুক্তি ।

— ডেভিড কেচসন
সূত্র

$g(t, x(t)) \in \mathbb{R}$ $>0$ $<0$

উদাহরণস্বরূপ, যদি আপনার একটি ব্লকের সাথে চলমান ভর থাকে তবে ভর এবং ব্লকের মধ্যে দূরত্বটি শূন্য-ক্রসিং ফাংশন হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে।

অনেক ওডিই সলভার (উদাহরণস্বরূপ SUNDIALS CVODE) শেষ বারের ধাপে শূন্য-ক্রসিংয়ের কোনও ফাংশন তার চিহ্ন পরিবর্তন করে কিনা তা স্বয়ংক্রিয়ভাবে পরীক্ষা করে। যদি এটি হয় তবে মূলের সঠিক অবস্থান নির্ধারণের জন্য একটি রুট সন্ধান পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। সমাধানকারীটি সেই নির্দিষ্ট অবস্থানে আবার চালু করা যায়। এটি হয় স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমাধানকারী নিজেই বা কলিং কোড দ্বারা ম্যানুয়ালি হয়ে থাকে।

— ফ্লোরিয়ান ব্রুকার
সূত্র

অনুসন্ধানের উদ্দেশ্যে: কেউ "ইভেন্টের অবস্থান" সম্পর্কেও কথা বলতে পারে; হায়ার / নরসেট / ওয়ানার এর একটি সুন্দর আলোচনা আছে।

— জেএম