কম র‌্যাঙ্কের পরিবর্তনগুলি কীভাবে ক্রিলোভ পদ্ধতির রূপান্তরকে প্রভাবিত করে?

Question

আমি একটি রৈখিক ব্যবস্থা আছে বলুন , যা দ্রুত উপযুক্ত Krylov পদ্ধতি (যেমন সি জি বা GMRES হিসাবে) সবার জন্য ব্যবহার এগোয় খ । তাহলে বি কম পদে থেকে একটি ম্যাট্রিক্স হয় দ , will সিস্টেমে একই Krylov পদ্ধতি ( একটি + + বি ) এক্স = খ এছাড়াও (পুনরাবৃত্তিও একটি অতিরিক্ত সংখ্যা প্রায় শুধুমাত্র উপর নির্ভর করে দিয়ে আদর্শভাবে দ্রুত মিলিত দ )?$A x = b$$b$$B$$r$$(A + B) x = b$$r$

যেমন একটি সিস্টেমের উদাহরণ ভাল শর্তযুক্ত ঝিল্লি স্থিতিস্থাপকতা এবং নমন প্লাস ঘন বাইরের পণ্য কাঠামো সহ শর্তহীন বায়ুচাপ শর্তাবলী হবে।

নোট যে প্রশ্ন সহ বা preconditioning ছাড়া একই যেহেতু একটি র্যাঙ্ক হয় দ পরিবর্তনের পি একটি প্রশ্ন ।$P(A + B)Q = PAQ + PBQ$$r$$PAQ$

Answer 1

যদি আপনার ক্রিলোভ উপ-স্থানটি শক্তির উপর ভিত্তি করে থাকে তবে সংশোধনটি বেশিরভাগ সংখ্যক পুনরাবৃত্তি দ্বারা সংশোধনের বেশিরভাগ স্তরে বিলম্বিত হবে। এটি যদি এ টি এ এর শক্তির উপর ভিত্তি করে থাকে তবে এই সংখ্যার সর্বাধিক দ্বিগুণ।$A$$A^TA$

সাহিত্যে এমন বক্তব্য আমি দেখিনি। কিন্তু প্রথম ক্ষেত্রে বৈধতা দেখতে, এটা দেখাতে হবে যে যথেষ্ট ম ম্যাট্রিক্স Krylov স্থান একটি + + ইউ এস ভি টি যেখানে ইউ , ভি আছে দ কলাম কম র্যাঙ্ক সংশোধন ছাড়া কিন্তু একটি সঙ্গে সংশ্লিষ্ট স্থান উপস্থিত রয়েছে আনুপাতিকভাবে উচ্চতর সূচক কে + আর । এটি যাচাই করা সহজ।$k$$A+USV^T$$U,V$$r$$k+r$

Comments

আপনি "এর ক্ষমতা উপর ভিত্তি করে দ্বারা কি বোঝাতে চেয়েছেন ব্যাখ্যা করতে পারবেন "? Krylov সমাধানকারী সম্পর্কে তথ্য দেওয়া হয় একটি + + বি শুধুমাত্র না একটি সরাসরি। $A$$A+B$$A$

— জেফ্রি ইরভিং

কিছু মনে করবেন না: সম্ভবত আপনি প্রশ্নে ম্যাট্রিক্সের ক্ষমতা বোঝাতে পারেন, সুতরাং ক্ষেত্রে A + $A+B$

— জেফ্রি ইরভিং

হ্যাঁ. পদ্ধতি প্যারামিটার হিসাবে একটি ম্যাট্রিক্স আছে, এবং এই ম্যাট্রিক্স সাধারণত দ্বারা প্রকাশ করা হয় । $A$

— আর্নল্ড নিউমায়ার

হয়তো আরও আগ্রহ দেখানোর জন্য আপনাকে কিছু প্রয়োজনীয়তা সঙ্গে আপনার সমীকরণ (অথবা সলিউশন) পুনর্লিখন পারে থেকে এক্স = ( ই + + Σ ∞ ট = 1 ( একটি - 1 বি ) ট ) একটি - 1 খ যা শক্তি সাহায্যের যদি বি nilpotent বা ক - ছোট আদর্শের 1 বি । সমস্যা সমাধানের উপর নির্ভরতাও স্বীকৃতি দেয় একজন । $\boldsymbol{B}$$\boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{E}+\sum_{k=1}^\infty\left(\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}\right)^k\right) \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{b}$$\boldsymbol{B}$$\boldsymbol{A}^{-1}\boldsymbol{B}$undisturbed

— বাসটিয়ান এবেলিং