3 ডি 4-নোড এলিমেন্টের মাধ্যমে বহুবচনীয় ভাবটি কীভাবে সংহত করা যায়?

Question

আমি 3 ডি-তে 4-নোড এলিমেন্টের মাধ্যমে বহুবচনীয় ভাবটি সংহত করতে চাই। এফআইএর বেশ কয়েকটি বইয়ের ক্ষেত্রে এমন একটি মামলা রয়েছে যেখানে একটি স্বেচ্ছাসেবী সমতল 4-নন উপাদানকে সংহত করা হয়। এই ক্ষেত্রে স্বাভাবিক প্রক্রিয়াটি হ'ল জ্যাকোব্যাটিক ম্যাট্রিক্স সন্ধান করা এবং এটি নির্ধারণকারীকে ইন্টিগ্রেশন ভিত্তিকে সাধারণীকরণের পরিবর্তনে ব্যবহার করতে হয় যার মধ্যে আমার সহজ সংহতকরণ সীমা থাকে [-1; 1] এবং গাউস-লেজেন্ড্রে চতুর্ভুজ কৌশলটি সহজেই ব্যবহৃত হয়।

অন্য কথায় $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$$\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

তবে 2 ডি ক্ষেত্রে আমি ফ্ল্যাটটি স্বেচ্ছাসেবক উপাদানটি ফ্ল্যাট একের সাথে ভাল আকারের স্কোয়ার 2 দ্বারা 2 এ পরিবর্তন করি।

3 ডি 4-নোড উপাদান সাধারণভাবে সমতল নয় তবে আমি মনে করি এটি এখনও 2 ডি সমন্বিত সিস্টেমের সাথে ম্যাপ করা যায় যা কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার সাথে সম্পর্কিত। আমি কীভাবে {x, y, z express কে {e, n of এর সাথে প্রকাশ করব এবং এই ক্ষেত্রে জ্যাকুবি ম্যাট্রিক্সের আকার কী হবে (এটি বর্গক্ষেত্র বলে মনে হয়)।

Answer 1

আপনি এম্বেড থাকা 2-মাত্রিক ম্যানিফোল্ডে একটি ফাংশন সংহত করছেন $\mathbb{R}^{3}$ ; ম্যানিফোল্ডগুলি বিশ্লেষণের বইগুলি (যেমন মুনক্রেসের অ্যাক্সেসযোগ্য বই, বা ম্যানিফোল্ডগুলিতে লি এর বইগুলি) এই ধরণের ইন্টিগ্রালটি সংজ্ঞায়িত তত্ত্বটি আলোচনায় সহায়ক।

ধরা যাক যে$f$ হ'ল ম্যানিফোল্ড on , যা আপনার 4-নোড 3-ডি উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত একটি বাস্তব-মূল্যবান ফাংশন ।$\mathcal{M}$

আপনি গণনা করতে চান:

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$$

মনে করুন যে এমন একটি ফাংশন যা থেকে[ - 1 , 1 ] 2$\varphi$$[-1,1]^{2}$$\mathcal{M}$ । তারপর

$$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$$

(আমি ব্যবহার নোট এই সেট সর্বোপরি, আমার মেমরি রিফ্রেশ করতে।) এর Jacobian ম্যাট্রিক্স হয় , এবংφ ডি φ $\mathrm{D}\varphi$$\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$ তার TRANSPOSE হয়।

একবার আপনি over এর উপর অবিচ্ছেদ্য লিখতে পারেন$[-1,1]^{2}$ , তারপরে আপনি এটির মূল্যায়নের জন্য ব্যবহার করতে পারেন।

কিছু মন্তব্য:

• আমি নিশ্চিত যে আপনার 4-নোড 3-ডি উপাদানটি বহুগুণ। যদি এটি হয় তবে ফাংশন$\varphi$ বিদ্যমান (সংজ্ঞা অনুসারে), টুকরোচকভাবে অবিচ্ছিন্ন (টপোলজিকাল ম্যানিফোল্ডগুলির জন্য), এবং অবিচ্ছিন্ন is এই বৈশিষ্ট্যগুলির সাথে কোনও ফাংশন সন্ধান করা আপনার পক্ষে।
• উপরের যুক্তিটি ধরে নিয়েছে যে a একটি মসৃণ বহুগুণ, যা বোঝায় যে সেখানে একটি রয়েছে যা ধারাবাহিকভাবে পার্থক্যযোগ্য। আপনার ক্ষেত্রে, আপনার বর্ণিত উপাদানটি অবিচ্ছিন্নভাবে পৃথক হতে পারে না। যদি এটি সত্য হয় তবে আপনি সম্ভবত আপনার বহুগুণকে দুটি মসৃণ বহুগুণে বিভক্ত করতে পারেন, এবং তারপরে উপরের যুক্তিটি এখনও ধারণ করে। আবার, আপনাকে অবশ্যই খুঁজে পাবেন ইনভারটিবিলিটি এবং ক্রমাগত পার্থক্যযোগ্যতার বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করে। φ $\mathcal{M}$$\varphi$$\varphi$

Comments

অনেক ধন্যবাদ. আমি যে বইটি পড়ছি তা কেবলমাত্র সেই ক্ষেত্রেই জুড়েছে যেখানে জিনিসগুলি সরল রাখার জন্য একটি বর্গ (2 বাই 2) জ্যাকোবি ম্যাট্রিক্স জড়িত। উপরের মত প্রকাশটি যদি আমি সঠিকভাবে পাই তবে এটি নির্বিচারে আকারের (2 বাই 3) জ্যাকোবি ম্যাট্রিক ব্যবহার করা সম্ভব করে। দুর্ভাগ্যক্রমে আমি এখনও এই মুহুর্তে পেয়েছি তবে এটি অনেক বেশি আমার আগের চেয়ে ভাল আমি ম্যাপিং ফাংশনটির সঠিক পছন্দ সম্পর্কে আরেকটি থ্রেড তৈরি করব। আবার ধন্যবাদ. $\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

আপনার জ্যাকবীয় ম্যাট্রিক্স 3 বাই 2 হওয়া উচিত, সুতরাং 2 বাই 2 ম্যাট্রিক্স হওয়া উচিত। ডি φ টি ডি$\mathrm{D}\varphi$$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

— জেফ অক্সবেরি

জিওফ, এটা ঠিক। আমি এখানে একটি সাধারণ সাধারণ সূত্র প্লাস একটি

— পরিশ্রমের