জ্যোতির্বিদ্যার সিমুলেশনগুলিতে সংহত করার সঠিক উপায় কী?

আমি একটি সাধারণ জ্যোতির্বিজ্ঞান সিমুলেটর তৈরি করছি যা কোনও সিস্টেমে গ্রহগুলির চলন (বা কোনও বস্তুর জন্য) নিউটেনীয় পদার্থবিজ্ঞানের ব্যবহার করা উচিত। সমস্ত দেহই ইউক্লিডিয়ান বিমানের চেনাশোনা, যার অবস্থান, বেগ, ভর, ব্যাসার্ধ এবং ফলশ্রুতি শক্তি হিসাবে বৈশিষ্ট্য রয়েছে।

আমি মহাবিশ্বকে সামান্য সময়ের ধাপগুলিতে আপডেট করতে চাই, সাধারণত কয়েক মিলি সেকেন্ড, তবে আমি কীভাবে অবস্থানের পরিবর্তনগুলি সঠিকভাবে গণনা করব তা নিশ্চিত নই।

বল সহজ: fr = sum(G * body.m * bodyi.m / dist(body, bodyi)^2)।

তবে সেখান থেকে কীভাবে যাব?

আমি এটি করতে পারি:

a = Fr/body.m
v += a*dt
position += v*dt

তবে তা অবশ্যই মিথ্যা হবে। যদি আমি অবস্থানের গণনার একটি উপাদান হিসাবে 0.5 যোগ করি?

time-integration

— jcora
সূত্র

এটি মন্তব্য করা খুব মজার: "গাছপালা" এর চলাচলের অনুকরণ করা সত্যই এটি একটি সাধারণ জ্যোতির্বিজ্ঞানের সমস্যা ;-)

— ওল্ফগ্যাং ব্যাঙ্গার্থ

আপনি মূলত উত্তরটি পেয়েছেন - ০.০ এর গুণকের প্রয়োজন নেই।

মূলত আপনার কাছে প্রথম-অর্ডার ওডিইএসের একটি দ্বি-মাত্রিক সিস্টেম রয়েছে: ot যেখানে সমস্ত কিছু সম্ভবত সময়ের একটি ফাংশন, সম্ভবত । আপনি যদি কোনও সাধারণ, ফরোয়ার্ড-এলার-এস্ক ফার্স্ট-অর্ডার এর মধ্যে পৃথক করে থাকেন, তবে আপনি দেখতে পাবেন বা এখানে আমি টাইমস্টেপকে দিয়ে ইনডেক্স করছি ।

\begin{aligned} \dot{এক্স} & = বনাম \\ \dot{বনাম} & = \frac{এফ}{মি}, \end{aligned}

$\begin{align} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = \frac{F}{m}, \end{align}$

m

$m$

\begin{aligned} \frac{{এক্স}_{এন + + 1} - {এক্স}_{এন}}{Δ টি} & = {বনাম}_{এন} \\ \frac{{বনাম}_{এন + + 1} - {বনাম}_{এন}}{Δ টি} & = \frac{{এফ}_{এন}}{মি}, \end{aligned}

$\begin{align} \frac{x_{n+1}-x_n}{\Delta t} & = v_n \\ \frac{v_{n+1}-v_n}{\Delta t} & = \frac{F_n}{m}, \end{align}$

\begin{aligned} {এক্স}_{এন + + 1} & = {এক্স}_{এন} + + Δ টি \cdot {বনাম}_{এন} \\ {বনাম}_{এন + + 1} & = {বনাম}_{এন} + + Δ টি \frac{{এফ}_{এন}}{মি} । \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_n \\ v_{n+1} & = v_n + \Delta t \frac{F_n}{m}. \end{align}$

n

$n$

তবে, ফরোয়ার্ড-ইউলার সহজাতভাবে অস্থির। ভাগ্যক্রমে, কোণার কাছাকাছি একটি সহজাত পদ্ধতি আছে । (লিঙ্ক নিবন্ধটি অসম্পূর্ণ আরো, কিন্তু এটা কিছু দরকারী লিঙ্ক থাকতে পারে।) কী থেকে আগাম অবস্থানের হয় করার বেগ ব্যবহারে । অর্থাৎ, ধরুন আপনাকে প্রতিটি কণার জন্য এবং given দেওয়া হয়েছিল । তারপরে আপনি forward সময়মতো সামনের দিকে একীভূত করতে। এটি লিপফ্রোগ পদ্ধতি হিসাবে পরিচিত $t_n$ $t_{n+1}$ $t_{n+1/2}$ $x_0$ $v_{1/2}$

\begin{aligned} {এক্স}_{এন + + 1} & = {এক্স}_{এন} + + Δ টি \cdot {বনাম}_{এন + + 1 / 2} \\ {বনাম}_{এন + + 1 / 2} & = {বনাম}_{এন - 1 / 2} + + Δ টি \frac{{এফ}_{এন}}{মি} \end{aligned}

$\begin{align} x_{n+1} & = x_n + \Delta t \cdot v_{n+1/2} \\ v_{n+1/2} & = v_{n-1/2} + \Delta t \frac{F_n}{m} \end{align}$ । এটির সাহায্যে আপনার সিস্টেমটি একটি বাছাইয়ের শক্তি সংরক্ষণ করে এবং কক্ষপথটি অসীম বা এ জাতীয় কিছুতে রাউন্ডঅফ ত্রুটির তাত্পর্যপূর্ণ বৃদ্ধির কারণে কম যায় to

কেবলমাত্র কীভাবে get পাবেন তা কেবলমাত্র ধরা , যেহেতু সম্ভবত আপনি দিয়ে শুরু করেন । সেখানে আপনার লেখার মতোই যথাযথ স্কিম ব্যবহার করা উচিত, চতুর্থ-ক্রম রঞ্জ-কত্তা একটি জনপ্রিয় পছন্দ। এটি দীর্ঘমেয়াদে অস্থির হতে পারে, তবে আপনি কেবলমাত্র অর্ধবারের সময়কালে পরিচয় করিয়ে দেবেন এবং সেই ত্রুটিটি পরে লিফফ্রোগ স্কিম দ্বারা ছোট রাখা হবে। $v_{1/2}$ $v_0$

অবশেষে, এই উত্তরটি কোনও সাধারণ নিউটনীয় মাধ্যাকর্ষণ সিমের জন্য প্রযোজ্য। আপনি যদি প্রশ্নটিতে উত্তীর্ণ হিসাবে যেমনটি নিখুঁত চেনাশোনাগুলি চান , তবে আপনি কোনও আদর্শিকৃত সিস্টেম ব্যতীত সেগুলি পাবেন না যেখানে গ্রহগুলি একে অপরের সাথে যোগাযোগ করে না এবং প্রাথমিক শর্তগুলি ঠিক সঠিকভাবে বেছে নেওয়া হয়েছে। যদি এটি হয় তবে আপনার কোনওোটাই সংহত করার দরকার নেই, যেহেতু এই জাতীয় বস্তুর কৌণিক বেগ (ইউনিট সময় প্রতি রেডিয়ানস) কেবল is যেখানে কেন্দ্রীয় বস্তুর ভর এবং কক্ষপথের ব্যাসার্ধ হয়। এটি আপনার সিমুলেশনের যথার্থতা পরীক্ষা করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

ω = \sqrt{\frac{জি এম}{R^{3}}},

$\omega = \sqrt{\frac{GM}{r^3}},$

M

$M$

r

$r$

আরে, আপনি আমাকে ব্যাখ্যা করতে পারবেন কেন আমাকে 0.5ফ্যাক্টরের দরকার নেই ? মনে হচ্ছে এটি কয়েক n-1/2dtসেকেন্ড আগে গতি গ্রহণের মতোই করছে , যা মনে হচ্ছে আপনি প্রস্তাব দিচ্ছেন।

— jcora

এটি কেবল তখনই হবে যদি গতি 0 হয় তবে আপনি যা চান তা এবং ( পরে আপনি জানেন না) এর প্রথম অর্ডারের অনুমান , না গড় এবং ।

(n - 1)

$(n-1)$

v_{n}

$v_n$

v_{n + 1}

$v_{n+1}$

v_{n}

$v_n$

0

$0$