'শূন্য' দ্বারা সম্ভাব্য বিভাগের সাথে সংখ্যাগত সংহতকরণ

আমি একীভূত করার চেষ্টা করছি

\int_{0}^{1} t^{2 n + 2} \exp (\frac{α r_{0}}{t}) d t

$\int^1_0 t^{2n+2}\exp\left({\frac{\alpha r_0}{t}}\right)dt$

যা একটি সাধারণ রূপান্তর

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α r_{0} x) d x

$\int^{\infty}_1 x^{2n}\exp(-\alpha r_0 x)dx$

ব্যবহার করা হচ্ছে কারণ করা কঠিন to এটি শূন্যের কাছাকাছি নতুন সংহত মূল্যায়নের সমস্যার দিকে নিয়ে যায়। চতুর্ভুজ নোডের সঠিক সংখ্যাটি পাওয়া খুব সহজ হবে কারণ অন্তরটি কেবল দৈর্ঘ্য 1 এর (যেমন তুলনাযোগ্য খুব ছোট করা যেতে পারে), তবে শূন্যের নিকটে সংহত করার সময় আমার কী ধরণের বিবেচনা করা উচিত? $t = \frac1{x}$ $dt$

কিছু পর্যায়ে, আমি মনে করি যে কেবল গ্রহণ একটি ভাল ধারণা কোথায় কিছু ছোট সংখ্যা । তবে, আমার কোন সংখ্যাটি বেছে নেওয়া উচিত? এটি কি মেশিনের অ্যাপসিলন হওয়া উচিত? মেশিন এপসিলন দ্বারা বিভাজন কি ভাল পরিমাণযুক্ত? তদুপরি, বিভাগটি যদি আমার মেশিনের এপসিলন (বা এটির কাছাকাছি) অবিশ্বাস্যভাবে বড় সংখ্যা দেয়, তবে আরও বড় হয়ে যায়। $\int^1_\epsilon t^{2n+2}\exp({\frac{\alpha r_0} {t}})dt$ $\epsilon$ $\exp(\frac{1}{\epsilon})$

আমি এর জন্য কীভাবে অ্যাকাউন্ট করব? এই ফাংশনটির একটি সংজ্ঞায়িত সংখ্যাসূচক অবিচ্ছেদ্য থাকার কোনও উপায় আছে কি? যদি তা না হয় তবে ফাংশনটি সংহত করার সর্বোত্তম উপায় কী?

quadrature accuracy

— drjrm3
সূত্র

আপনি মন্টি কার্লো ব্যবহার বিবেচনা করেছেন?

— ফাহিম মিঠা

আমার মনে হচ্ছে এটি সমস্যার সমাধান করবে না। মন্টি কার্লো ইন্টিগ্রেশন প্রায়শই উচ্চ মাত্রিক সংহতগুলির জন্য সংরক্ষিত থাকে। আমি মন্টি কার্লোর সাথে ঠিক একই সমস্যাগুলিতে চলে যাব, যেখানে আমার ফাংশনটি মূল্যায়ন হচ্ছে সেখানে আমার নিয়ন্ত্রণ কম থাকবে control

— drjrm3

আপনি সঠিক হতে পারে।

— ফাহিম মিঠা

আমি মনে করি এখনও জবাব বিশ্লেষণাত্মকভাবে অবিচ্ছেদ্যভাবে সম্পাদন করা সম্ভব নয় এমন সাধারণ ক্ষেত্রে যেখানে ফাংশনটি একটি সীমাতে বিচ্ছিন্ন হয় তখন কীভাবে সংখ্যাসঙ্গিকভাবে সংহত করা হয় তার ব্যাখ্যা (সম্ভবত একটি পৃথক, আরও সাধারণ প্রশ্নের উত্তর) পাওয়া এখনও ভাল হবে। তারপরে আবার এটিও সংখ্যাসূচক রেসিপিগুলিতে পাওয়া যাবে ...

— ডেভিড জেড

@ ফাহিম: "মন্টি কার্লো একটি অত্যন্ত খারাপ পদ্ধতি; এটি তখনই ব্যবহার করা উচিত যখন সমস্ত বিকল্প পদ্ধতি আরও খারাপ হয়।" - অ্যালান সোকাল

— জেএম

উত্তর:

এটি অংশ দ্বারা একীকরণের মাধ্যমে করা যেতে পারে: এবং প্রবর্তন দ্বারা চালিয়ে যাওয়া যাতে এবং ।

\int_{1}^{\infty} x e^{- a x} = \frac{- 1}{a} x e^{- a x} ∣_{1}^{\infty} - \frac{- 1}{a} \int_{1}^{\infty} e^{- a x} = \frac{e^{- a}}{a} + \frac{e^{- a}}{a^{2}} = \frac{a + 1}{a^{2}} e^{- a}

$\int^\infty_1 x e^{-ax} = \frac{-1}{a} x e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-1}{a} \int^\infty_1 e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{e^{-a}}{a^2} = \frac{a+1}{a^2} e^{-a}$

\int_{1}^{\infty} {এক্স}^{ট} ই^{- একটি এক্স} = \frac{- 1}{একটি} {এক্স}^{ট} ই^{- একটি এক্স} |_{1}^{\infty} - \frac{- ট}{একটি} \int_{1}^{\infty} {এক্স}^{ট - 1} ই^{- একটি এক্স} = \frac{ই^{- একটি}}{একটি} + + \frac{ট}{একটি} \int_{1}^{\infty} {এক্স}^{ট - 1} ই^{- একটি এক্স}

$\int^\infty_1 x^k e^{-ax} = \frac{-1}{a} x^k e^{-ax}\mid^\infty_1 - \frac{-k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax} = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} \int^\infty_1 x^{k-1} e^{-ax}$

আমি (ট) = \frac{ই^{- একটি}}{একটি} + + \frac{ট}{একটি} আমি (ট - 1)

$I(k) = \frac{e^{-a}}{a} + \frac{k}{a} I(k-1)$

I (0) = \frac{e^{- a}}{a}

$I(0) = \frac{e^{-a}}{a}$

— ম্যাট নিপলি
সূত্র

একেবারে ধারণা নেই যে আমি কীভাবে এটি উপেক্ষা করেছি। ধন্যবাদ.

— drjrm3

চতুর বিকল্পগুলি এবং অংশগুলির দ্বারা সংহতকরণ সর্বদা আপনি প্রথমে অযৌক্তিকভাবে একীকরণের সাথে প্রথম হওয়া উচিত।

— জেএম

আপনি যখনই এর মতো অবিচ্ছেদ্য থাকে তখন কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমটি জিজ্ঞাসা করা প্রায়শই ভাল ধারণা। ম্যাপেল " " অবিলম্বে ; আমি নিশ্চিত ম্যাথামেটিকাও একই কাজ করে। (এটি অবশ্যই সংখ্যাগতভাবে যাচাই করার জন্য একটি ভাল ধারণা অবশ্যই এই ছেলেরা সাধারণত করতে পারে।)

\int_{1}^{\infty} x^{2 n} \exp (- α x) d x assuming n :: nonnegint, α > 0

$\int_1^\infty x^{2n} \exp(-\alpha x) \mathrm{d}x \text{ assuming }n :: \text{nonnegint}, \alpha > 0$

Γ (2 n + 1, α) α^{- 2 n - 1}

$\Gamma(2n+1, \alpha) \alpha^{-2n-1}$

— এরিক পি।

আসলে ম্যাথমেটিকা উত্তরটি ExpIntegralE [-2 n, ar] হিসাবে উপস্থাপন করতে পছন্দ করে। আপনি যদি এটিতে ফাংশন এক্সপান্ড চালান, তবে এটি ম্যাপেলের মতো একই উত্তর দেয়।

— 3'12

কটাক্ষপাত আছে QUADPACK । এটিতে (আধা) অসীম ডোমেনগুলির সংহতকরণের রুটিন রয়েছে।

— GertVdE
সূত্র